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第十二章 压杆的稳定性12-1 图示细长压杆,两端为球形铰支,弹性模量,对下面三种截面用欧拉公式计算其临界压力。(1)圆截面,;(2)矩形截面,(3)16号工字钢,。解:结构为两端铰支,则有圆截面杆,矩形截面杆, 16号工字查型钢表知 题12-1图 题12-2图12-2 图示为下端固定,上端自由并在自由端受轴向力作用的等直压杆。杆长为,在临界力作用下杆失稳时有可能在平面内维持微弯曲状态下的平衡。杆横截面积对轴的惯性矩为,试推导其临界压力的欧拉公式,并求出压杆的挠曲线方程。解:,结合 设,则有微分方程: 通解为边界条件:则,解出 (转角为零),解出解得挠曲线方程为:因为在处为,则,由于,可得: (最小值)而,得注:由,本有,计算可见(时),对应的值是最小的,这一点与临界力的力学背景是相符的。12-3 某钢材,试计算和值,并绘制临界应力总图()。解:式中 题12-3图12-4图示压杆的横截面为矩形,杆长,材料为优质碳钢,。两端约束示意图为:在正视图()的平面内相当于铰支;在俯视图()的平面内为弹性固定,并采用。试求此杆的临界应力。题12-4图解:在正视平面内,俯视平面内, 因为,对同一结构,按正视平面内的公式计算(取较小值):12-5 钢结构压杆由两个的等边角钢组成,杆长,两端为球形铰支受轴向压力,角钢为钢。试确定压杆的临界应力及工作安全系数。解:查型钢表得:,则 采用抛物线公式: 题12-5图 题12-6图12-6 图示立柱,长,由两根10号槽钢组成,下端固定,上端球形铰支。试问当为多大时立柱的临界压力最高,其值为何?已知材料的弹性模量,比例限。解:的变化只会引起的变化,对没有影响;在两个平面内,值相同,同,同一结构,仅仅由的大小决定结构在那一平面内最易失稳(最小)可见,立柱的临界压力最高时,应该有则由,有,查型钢表,为而解得 此时, 题12-7图 题12-8图12-7 由三根相同的钢管构成的支架如图所示,钢管的外径,内径,长度,材料的弹性模量。支架顶点三杆铰接,取稳定安全系数求支架的许可载荷。解:结构和载荷对称,各管所受压力相等,设为,取,则载荷 即许可载荷为。12-8 在图示结构中,为圆形截面杆,直径端固定,端为铰支;为正方形截面杆边长,端为铰支。、两杆可独自发生弯曲变形而互不影响,材料均为钢,。已知,压力,规定的稳定安全系数,试校核结构的稳定性。解:作用下,两段的压力均为,现分别求出各自的临界压力段:,(与方向无关),即,段安全段,(与方向无关),即,段安全综上分析,结构安全。12-9 四根等长杆相互铰接成正方形,并与杆铰接如图所示。各杆的弹性模量、截面积极惯性矩均相等。当(1)两点处受一对拉力,图();(2)两点处受一对压力,图(),分别求达到临界状态的最小载荷。题12-9图解:图示作用下,四杆受拉,受压,若按受压失稳与否确定值,只需考查杆:(压),即图示作用下,四杆受压,(压),受拉。 ,即12-10 图示结构中,为铸铁圆杆,直径,许用应力,弹性模量。为钢圆杆,直径,许用应力,若横梁可视为刚性,试用折减系数法求载荷的许用值。题12-10图解:问题是一次超静定的,设杆中拉力为,杆中压力为有平衡条件:,且有变形条件:虎克定律代入得: (公共项消掉未写)即 ,代回平衡方程中,解得若杆完全发挥力学性能,则此时,若杆完全发挥力学性能,查表得,有此时,综合两种情况,取(较小者)。12-11 工字钢压杆两端铰支,杆长,承受压力,若许用应力 ,试用折减系数法选折工字钢的型号。解:,稳定条件为,因为与均未知,只能试算:取,则 查型钢表,选取16号,查表时按160取,得得到 。工作应力为,不合理,所设过大,再取时,减小,取,则 ,选取工字钢,安全。所以,经计算校核,应选用
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