高等数学第八章D空间曲线.ppt

,第八章,一、空间曲线的一般方程,二、空间曲线的参数方程,三、空间曲线在坐标面上的投影,第五节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,空间曲线及其方程,基本练习： 能绘出常见曲面（球面、锥面、柱面，平面等）相交构成的曲线的图形,会求交线在坐标面上的投影。 应注意的事项： 绘出常见曲面（球面、锥面、柱面，平面等）相交构成的曲线的图形，求交线在坐标面上的投影（求以交线为准线的投影柱面）是学习多元函数微积分的基础，从本节开始到本章第七节都应注意进行这方面的练习。,一、空间曲线的一般方程,空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特点： 曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程.,例如,方程组,表示怎样的曲线？,又如,方程组,表示上半球面与圆柱面的交线C.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、空间曲线的参数方程,将曲线L 上的动点M坐标x, y, z表示成参数t 的函数:,称它为空间曲线的参数方程.,当给定t 时，就得到曲线上的一个点；随着参数的变化，可得到曲线L上全部的点。,上升高度,例1 如果空间一点M在圆柱面x2+y2=a2上以角速度绕z轴旋转，同时又以线速度v沿平行于z轴的正方向上升(其中、都是常数),那么点M构成的图形叫做螺旋线.试建立其参数方程.,解：取时间t为参数，动点从A点出发，经过t，运动到M点，M点在xoy面上的投影为M,称为螺距 .,例2. 将下列曲线化为参数方程表示:,解: (1),根据第一方程引入参数 ,(2) 将第二方程变形为,故所求为,得所求为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,消去变量z后得：,曲线关于 的投影柱面,设空间曲线的一般方程：,以此空间曲线L为准线，母线垂直于所投影的坐标面.,投影柱面的特征：,注意：曲线L上的所有点都在该柱面上。,投影柱面与xoy面的交线称为曲线L在xoy面上的投影曲线，简称投影。,三、空间曲线在坐标面上的投影,设空间曲线 L 的一般方程为,消去 z 得投影柱面,则L 在xoy 面上的投影曲线 L为,消去 x 得L 在yoz 面上的投影曲线方程,消去y 得L 在zox 面上的投影曲线方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,如图:投影曲线的研究过程.,空间曲线,投影曲线,投影柱面,（2）确定投影柱面与 xoy 面的交线,在 xoy 面上的投影曲线方程的一般步骤,（1）消去变量z后得 xoy 面上的投影柱面：,求空间曲线：,即为所求投影曲线的方程,例3 求,在xoy 面上的投影曲线方程。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解: 先从两方程消去z，可得交线C关于xOy面的投影柱面方程（母线平行于z轴）为：,故C在xoy 面上的投影曲线方程为,例4 求曲线 L 在三个坐标面上的投影。,例4 求曲线L 在三个坐标面上的投影.,解,（1）消去变量z后得,L 在 面上的投影为,例4 求曲线L 在三个坐标面上的投影。,解,（2）因为曲线在平面 上，,所以在 yoz 面上的投影为线段.,（3）同理在 xoz 面上的投 影也为线段.,例5,所围的立体在 xoy 面上的投影。,求上半球面,和锥面,C在 xoy 面上的投影曲线,解：半球面和锥面的交线为,所求立体在 xoy 面上的投影为圆域:,交线在,xoy 面上的投影曲线所围之域 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注：所求投影区域为:,C,从方程组中消去z，可得交线C关于xOy面的投影柱面方程为,截线方程为,解,截线方程为,解,补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.,空间立体,曲面,空间曲线的一般方程、参数方程,四、小结,空间曲线在坐标面上的投影,课堂练习,求曲线,绕 z 轴旋转的曲面与平面,的交线在 xoy 平面的投影曲线方程.,解：,旋转曲面方程为,交线为,此曲线向 xoy 面的投影柱面方程为,此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为,它与所给平面的,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2),(1),机动 目录 上页 下页 返回 结束,画出下