几何与代数二次型(微改2).ppt

,几何与代数,主讲: 王小六,东 南 大 学 线 性 代 数 课 程,第6章 二次型与二次曲面,第1节 二次型,一. 二次型及其矩阵表示,第六章 二次型与二次曲面,6.1 二次型,f(x1, x2, , xn) = a11x12+a22x22+annxn2 +2a12x1x2+2a13x1x3+2an1,nxn1xn,n元实二次型,aij = aji,n aijxixj i, j =1,6.1 二次型,第六章 二次型与二次曲面,n f(x1, x2, , xn) = aijxixj i, j =1,xTAx,f 的矩阵,A的二次型,f 的秩: r(A),r( f ),6.1 二次型,第六章 二次型与二次曲面,n f(x1, x2, , xn) = aijxixj i, j =1,k1y12 + k2y22 + +knyn2,?,f 的标准形,(y1, y2, , yn),=,k1 0 0 0 k2 0 0 0 kn,y1 y2 yn,6.1 二次型,第六章 二次型与二次曲面,f(x) = xTAx = (Py)TA(Py) = yT(PTAP)y = g(y),寻求可逆矩阵P, 使得,寻求可逆的线性变换x = Py, 使得,第六章 二次型与二次曲面,6.1 二次型,二. 用正交变换化实二次型为标准形,定理6.1. (主轴定理)对于任何一个n元实二次型 f = xTAx, 都有正交变换x = Qy, 使f化为标准形 f = 1y12+ 2y22 + + nyn2, 其中1, 2, , n为A的n个特征值, Q的列向量 就是A的对应的n个单位正交特征向量.,正交变换下的标准形,第六章 二次型与二次曲面,6.1 二次型,例1. 用正交变换将二次型 f(x1, x2, x3) = x12+x22+x322x1x3 化为标准形.,|EA| = (1)(2). 所以A的特征值为1= 0, 2= 1, 3= 2. 代入(EA)x = 求得对应的特征向量 1 = 1, 0, 1T, 2 = 0, 1, 0T, 3 =(1, 0, 1)T. 它们是两两正交的.,第六章 二次型与二次曲面,6.1 二次型,把它们单位化可得正交矩阵,令x = Qy, 得该二次型的标准形为,= yT y = y22 +2y32.,f = xTAx = (Qy)TA(Qy) = yT(QTAQ)y,0 0 0 0 1 0 0 0 2,第六章 二次型与二次曲面,6.1 二次型,三. 用配方法化实二次型为标准形,例3. 用配方法化f =4x12+3x22+3x32+2x2x3为标准形.,解: f =4x12+3x22+3x32+2x2x3,令,则 f =4y12+3y22+(8/3)y32.,P,第六章 二次型与二次曲面,6.1 二次型,第六章 二次型与二次曲面,6.1 二次型,四. 惯性定理与规范形,主轴定理告诉我们，对于实二次型f(x) = xTAx，存在正交变换将其化为标准型 f = 1y12+ 2y22 + + nyn2； 配方法告诉我们，对于实二次型f(x) = xTAx，存在一个或多个可逆线性变换(可以非正交)将其化为标准型 f = k1y12 + + kmym2,问：1 , 2 , , n与 k1 , k2 , , km有何关系？,第六章 二次型与二次曲面,6.1 二次型,定理6.2. 实二次型f(x) = xTAx总可以通过Rn 中的可逆线性变换将其化为标准形 f = k1y12 + + knyn2 其中k1, , kn中非零的个数r =秩(f), 且 正项的个数p与负项的个数q (p+q=r)都 是在可逆线性变换下的不变量.,1. 惯性定理,从矩阵角度来理解定理6.2 ： 对于实对称阵A，存在可逆阵(正交阵)Q使得 QTAQ= ,那么k1 kn与1 n 的非零元个数及正负数个数是一样的,都等于A的秩和正负惯性指数.,第六章 二次型与二次曲面,6.1 二次型,如果还存在某个可逆矩阵P使得 PTAP = .,第六章 二次型与二次曲面,6.1 二次型,推论6.1. 实二次型f(x) = xTAx总可以通过Rn中 的可逆线性变换将其化为规范形 且规范形是唯一的(按正项,负项,零项排列).,注：推论6.1和6.2可以分别被证明，也可互推.,交换第一三列,交换第一三行,如果从矩阵的角度证明推论6.2，下述例题隐含着一些思路.,例6. 设A= ，N= ， 证明：存在可逆矩阵P使得 PT A P = N.,-4 0 0 0 0 0 0 0 3,1 0 0 0 -1 0 0 0 0,第六章 二次型与二次曲面,6.1 二次型,-4 0 0 0 0 0 0 0 3,0 0 3 0 0 0 -4 0 0,3 0 0 0 0 0 0 0 -4,3 0 0 0 -4 0 0 0 0,P(2,3)P(1,3)AP(1,3) P(2,3),=,3 0 0 0 -4 0 0 0 0,P(2,3)P(1,3)AP(1,3) P(2,3),1/ 0 0 0 1/2 0 0 0 1,1/ 0 0 0 1/2 0 0 0 1,=,1 0 0 0 -1 0 0 0 0,P,PT (此处不等于P-1 ),第六章 二次型与二次曲面,6.1 二次型,定义: 对于方阵A, B, 若存在可逆矩阵P, 使得 PTAP = B, 则称A与B合同，记为A B.,易见, 矩阵间的合同关系满足 反身性: A A; 对称性: A B B A; 传递性: A B, B C A C. 即矩阵间的合同关系是一种等价关系.,二次型f(x) 二次型g(y),x = Py,A B= PTAP,定理6.1. 设n阶实对称矩阵A与对角阵合同.,Q为正交阵， QT = Q-1,进一步，由推论6.2可得n阶实对称矩阵A与下列对角阵合同,Ep,Eq,O,( p,q分别为A的 正负惯性指数 ),第六章 二次型与二次曲面,6.1 二次型,思考： n阶实对称矩阵A还会与什么样的 对角阵合同？,第六章 二次型与二次曲面,6.1 二次型,推论6.3 两个n阶实对称矩阵A和B合同 它们具有相同的秩和正惯性 指数.,A与B具有相同的规范形,注：,n阶实对称矩阵A和B合同,A与B具有相同的秩和正惯性指数,由秩和惯性指数的定义可得,第六章 二次型与二次曲面,6.1二次型,五. 二次型的正定性,1. 定义:,设实二次型f(x) = xTAx 满足对Rn中任何 非零向量x, 有f(x) 0, 则称之为正定二 次型, 称A为正定矩阵. 若对Rn中任何非零向量x, 有f(x) 0, 则 称之为负定二次型, 称A为负定矩阵.,2. 性质,6.1 二次型,第六章 二次型与二次曲面,(0, , 1, , 0),= di,= (0, , di , , 0),i,命题1. diagd1, , dn正定 i, di 0.,命题1.二次型 f =d1y12+d2y22+dnyn2是正定的 当且仅当 d1, d2, , dn全大于零.,6.1 二次型,第六章 二次型与二次曲面,(x1, , xn),= d1x12 + + dnxn2,命题1. diagd1, , dn正定 i, di 0.,命题1.二次型 f =d1y12+d2y22+dnyn2是正定的 当且仅当 d1, d2, , dn全大于零.,6.1 二次型,第六章 二次型与二次曲面,x , Px , (Px)TA(Px) 0, xT(PTAP)x 0,命题2. 可逆线性变换不改变二次型的正定性.,命题2. A正定, P可逆 PTAP正定.,6.1 二次型,第六章 二次型与二次曲面,3. 判定,Ann正定,PTAP = diagd1, , dn,P可逆, d1, , dn 0, A的正惯性指数 = n,6.1 二次型,第六章 二次型与二次曲面,3. 判定,Ann正定, A的正惯性指数 = n,QTAQ = diag1, , n,Q正交, 1, , n 0,6.1 二次型,第六章 二次型与二次曲面,3. 判定,QTAQ =,= E,Ann正定, A的正惯性指数 = n, A的特征值1, , n 0,6.1 二次型,第六章 二次型与二次曲面,3. 判定, E与A合同,Ann正定, A的正惯性指数 = n, A的特征值1, , n 0, A与单位矩阵E合同,可逆阵P使得PTEP = A, 可逆阵P使得A = PTP,6.1 二次型,第六章 二次型与二次曲面,3. 判定,Ann正定, A的正惯性指数 = n, A的特征值1, , n 0, A与单位矩阵E合同, 可逆阵P使得A = PTP,x , Px , xTAx =xT(PTP)x= (Px)T(Px) = |Px|2 0, A正定,6.1 二次型,第六章 二次型与二次曲面,Ann正定,A的正惯性指数 = n,A的特征值1, , n 0,A与单位矩阵E合同,可逆阵P使得A = PTP,定理6.4. 设A为n阶实对称阵, 则下列条件等价:,(1),(2),(3),(4),(5),(即x xTAx 0),|A| = 1n,或 |A| = |PTP|,= |PT|P|,= |P|P|,推论 6.4. 设 A 是正定矩阵, 则 |A|0 .,第六章 二次型与二次曲面,6.1 二次型,例7. 同阶正定矩阵A,B的和A+B仍为正定矩阵.,例8. 设实对称矩阵A满足A23A+2E = O, 证明 存在可逆矩阵P, 使得A = PTP.,证明: 设为A的一个特征值, 则23+2 = 0,故 = 1或2, 因此A的特征值均大于零.,所以A是正定的.所以存在可逆矩阵P, 使得A = PTP.,xT(A+B)x =,xTAx + xTBx,第六章 二次型与二次曲面,6.1 二次型,例9. 设A是正定的n阶实对称矩阵, 证明A+E的 行列式大于1.,证明: 因为A是正定的n阶实对称矩阵,所以|A+E| = (1+1)(n+1) 1.,所以A的n个1, , n均大于零.,第六章 二次型与二次曲面,6.1 二次型,定理6.5. n阶实对称矩阵A是正定矩阵的充分 必要条件是A的各阶顺序主子式,1 = a11,均大于零.,n = |A|,故A不是正定的.,6.1 二次型,第六章 二次型与二次曲面,例10. 若f(x1, x2, x3),= x12 + x22 + 5x32 + 2ax1x2 2x1x3 + 4x2x3,是正定的, 求a的取值范围.,解: f(x1, x2, x3)的矩阵A =,f(x1, x2, x3)是正定的,1 a 1 a 1 2 1 2 5,的顺序,主子式1 = 1 0,3 = |A| = a(5a+4)., 1a2 0, a(5a+4), 4/5 a 0.,6.1 二次型,第六章 二次型与二次曲面,例11. 设A, B都是实对称矩阵, M =,A O O B,证明: M正定 A, B都正定.,证明: (), M正定,x, y , 0, 0, A, B都正定.,6.1 二次型,第六章 二次型与二次曲面,例11. 设A, B都是实对称矩阵, M =,A O O B,证明: M正定 A, B都正定.,证明: (), 设P1AP =,M正定 1, , s, 1, , t 0, A, B都正定.,6.1 二次型,第六章 二次型与二次曲面,例11. 设A, B都是实对称矩阵, M =,A O O B,证明: M正定 A, B都正定.,证明: (), 设A为s阶的, 则当i s时,M正定 M的顺序主子式 0, A, B的顺序主子式 0,A,B,O,O,M的i阶顺序主子式,= A的i阶顺序主子式,当i s时, M的i阶顺序主子式,= |A|B的is阶顺序主子式, A, B都正定.,6.1 二次型,第六章 二次型与二次曲面,例11. 设A, B都是实对称矩阵, M =,A O O B,