可降阶的高阶微分方程(26).ppt

第七节 可降阶的高阶微分方程,一、引言,二、 型方程的求解,三、 型方程的求解,四、 型方程的求解,华南理工大学数学科学学院 杨立洪 博士,一、引言,二阶或二阶以上的微分方程，统称为高阶微,2.降阶，而且要求降阶后能求解。,求解方法。,1.根据高阶微分方程本身的特殊性，寻找直接的,两条思路：,程困难得多。,一般来说，求解高阶微分方程比一阶微分方,分方程。,n阶微分方程： ；,特殊类型： （只含x）,二阶微分方程： ；,特殊类型： （不显含 ）, （不显含 ）, （不显含 ）,（关于线性）,二、 型方程的求解,反复积分n次，直至求出未知函数 ，即：,标准型： ； （1）,；,；,每积分一次，增加一个任意常数，积分n次，共有n个任意常数。,解法：,先介绍 型方程求解的例题。,是原方程的通解，其中， 是任意常数。,三、例题（I）,，,，,解,例1 求三阶微分方程 的通解。,例2 设 ，求 。,。,，,解,，,，,设 ，由牛顿第二定律，得,又 均匀减少，,例3 质量为m的质点受力F的作用沿 轴作直线运动，设力F仅是时间的函数： ； 时， ；随t增加，力F均匀地减少；直到时 ， 。如果开始时质点位于原点，初速度为0，求质点的运动规律。,解,（通解）,再由初始条件求得，故质点的运动规律为,，,标准型： (2),令 则 ，代入，得,四、 型方程的求解,于一阶微分方程中的四种特殊情形之一，而且能求,该方程是关于PP(x)的一阶微分方程，假如它属,解法：,出其解为 ，则有,为所求通解。,于是再解一个一阶微分方程，可得,下面介绍 型的方程求解的例题。,例4 设 ， ， ，求特解。,设 ，则 ，代入得,五、例题（II）,，,这是可分离变量方程，利用分离变量法，得,解,将 ， 代入得 ， ，, 所求特解为 。,即 或 ，,这是一个一阶微分方程。,例5 解方程 .,令 ，则 ，代入得, ，即, 为所求通解.,解,标准型： (3),令 则,= ，代入得,六、 型方程的求解,解法：,该方程是 关于的一阶微分方程。如果,并能求出其解 ，则, 为通解。,这也是一阶微分方程；,它属于一阶微分方程中的四种特殊类型之一，,下面介绍 型方程的求解的例题。,令 ，则 ，代入得,当 时，即 ，有 ；,当 时，得 ,七、例题（II）,；,解,例6 解方程 ., ，即 ；, ，或,解之得： ，故通解为 .,例7 解方程 .,令 ，则 ，代入得, 故 ，, 解之得,故通解为,，,解,本节主要内容如下：,1 型方程的求解；,2 型方程的求解；,方法：积分变换，令 则 ，,代入，得 ，转化为一阶微分方程。,3 型方程的求解；,关键：积分变换，令 ，则,= ，代入得 ，转化为关于,小结：,的一阶微分方程去求解。,方法：逐步积分n次，降阶。,本节重点介绍降阶法：对两种可降阶的,对 型方程的求解，其求解方法,本节难点在 中，令 ，,有 ，如何理解？见辅导。,重点：,难点：,本质上也是降阶法 : 逐步积分n次，降阶。,代换，转化为一阶微分方程来求解。,二阶微分方程的求解问题，采用相应的变量,1 型方程的求解；,2 型方程的求解；,3 型方程的求解；,主要题型：,降阶法是一种数学思想方法，将高阶方程降,学习方法建议：,后利用已知求解方法去求解。,阶，可以化难为易，化新题型为熟悉的题型，然,1为什么 中，令 降阶，要用 ，而不用 呢？,因 中不显含自变量 x，令,，再用 ，可将原方程化为仅含,反之，若用 去代换，则得到,学习辅导：,这就出现了三个变量，x,y与P，仍然不便于积分。,关于P和y的一阶微分方程：,答：,2 是怎样导出的？,.,答：,用复合函数求导法即可导出：,1解方程： ;,2解方程： ； ，,课堂练习,1解：,这属于 型；,令 ，则 ，代入得,即 ；,课堂练习题解,这是一阶线性方程，由公式得,，,2解,这属于 型；,令 代入得,将 代入上式得 ，所以,故所求特解为 。,，代入y(0)=1得C21，,（舍去负根），,；,1求 的通解。 2试求 的经过点M（0，1）且在此点与直线 相切的积分曲线。 3求微分方程 满足初始条件 的特解。 4解方程 . 5解方程 .,自测题,1,2,3,4,5,1解,自测题解,2解：,故所求曲线 .,由题设