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13.3.1等腰三角形,第十三章 轴对称,等腰三角形性质的探究,北京五塔寺,西安半坡博物馆,斜拉桥梁,埃及金字塔,13.3.1等腰三角形性质的探究,图中有哪些你熟悉的图形,A,B,C,有两条边相等的三角形, 叫做等腰三角形.,等腰三角形的概念,相等的两条边叫做腰,另一条边叫做底边,底边与腰的夹角叫做底角,两腰所夹的角叫做顶角,腰,腰,底边,顶角,底角,回顾,13.3.1等腰三角形性质的探究,13.3.1等腰三角形性质的探究,学习目标: 1.经历剪纸、折纸等活动,进一步认识等腰三角形, 了解等腰三角形是轴对称图形. 2.能够探索、归纳、验证等腰三角形的性质,并学会运用等腰三角形的性质 3.学习分类讨论思想,提高添加辅助线解决问题的能力 学习重点: 探索并证明等腰三角形性质,如图,把一张长方形的纸按图中虚线对折,并剪去绿色部分,再把它展开,得到的ABC的形状是什么,为什么?,A,B,C,AB=AC,等腰三角形,一、剪一剪,13.3.1等腰三角形性质的探究,二、折一折,设问2:ABC 是轴对称图形吗? 它的对称轴是什么?,13.3.1等腰三角形性质的探究,AB=AC,等腰三角形,相等的线段: ABAC ADAD BDCD,相等的角: ADBADC BAD CAD BC, AD为底边BC上的中线, 两个底角相等, AD为顶角 BAC的平分线, AD为底边BC上的高,三、猜一猜,设问3:你还能发现剪出的等腰三角形角与边具有哪些特征吗?,继续猜想等腰三角形ABC有哪些 特性?,13.3.1等腰三角形性质的探究,命题1:等腰三角形的两个底角相等。,命题:等腰三角形的顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高互相重合。,1,2,13.3.1等腰三角形性质的探究,证法一:作底边的中线AD,证法二:作底边的高AD,证法三:作顶角的平分线AD,13.3.1等腰三角形性质的探究,命题1:等腰三角形的两个底角相等,已知:如图,ABC中 , AB=AC. 求证: B=C.,已知: 如图,在ABC中,AB=AC. 求证: B= C.,等腰三角形的两个底角相等。,D,证明:,作底边的中线AD,则BD=CD,AB=AC ( 已知 ),BD=CD ( 已作 ),AD=AD (公共边), BAD CAD (SSS)., B= C (全等三角形的对应角相等).,在BAD和CAD中,方法一:作底边上的中线,13.3.1等腰三角形性质的探究,已知: 如图,在ABC中,AB=AC. 求证: B= C.,等腰三角形的两个底角相等。,D,证明:,作底边的高线AD,则BDA=CDA=90,AB=AC ( 已知 ),AD=AD (公共边), RtBAD RtCAD (HL)., B= C (全等三角形的对应角相等).,方法二:作底边的高线,在RtBAD和RtCAD中,13.3.1等腰三角形性质的探究,已知: 如图,在ABC中,AB=AC. 求证: B= C.,等腰三角形的两个底角相等。,D,证明:,作顶角的平分线AD,则1=2,AB=AC ( 已知 ),1=2 ( 已作 ),AD=AD (公共边), BAD CAD (SAS)., B= C (全等三角形的对应角相等).,方法三:作顶角的平分线,在BAD和CAD中,1,2,13.3.1等腰三角形性质的探究,命题2:等腰三角形的顶角的平分线,底边上的中线, 底边上的高互相重合。,已知:如图,ABC中 , AB=AC. 求证:(1) 若AD平分BAC, 则AD为底边 BC的中线,ADBC (2) 若AD为底边BC的中线, 则AD平分BAC,ADBC (3) 若AD为底边BC的高, 则AD平 分BAC,AD为底边BC的中线.,13.3.1等腰三角形性质的探究,证明:,AD平分BAC , 则BAD=CAD,AB=AC ( 已知 ),BAD=CAD( 已证 ),AD=AD (公共边), BAD CAD (SAS)., BD= CD, BDA=CDA,在BAD和CAD中,已知:如图,ABC中 , AB=AC. 求证:(1) 若AD平分BAC, 则AD为底边 BC的中线,ADBC, AD为底边 BC的中线 ADBC,13.3.1等腰三角形性质的探究,证明: AD为底边BC的中线,则BD=CD,AB=AC ( 已知 ),BD=CD ( 已证 ),AD=AD (公共边), BAD CAD (SSS)., BAD=CAD, BDA=CDA,在BAD和CAD中,已知:如图,ABC中 , AB=AC. 求证: (2) 若AD为底边BC的中线, 则AD平分BAC,ADBC, AD平分BAC ADBC,13.3.1等腰三角形性质的探究,证明:,AD为底边BC的高,则BDA=CDA=90,AB=AC ( 已知 ),AD=AD (公共边), RtBAD RtCAD (HL)., BAD=CAD, BD= CD,在RtBAD和RtCAD中,已知:如图,ABC中 , AB=AC. 求证:(3) 若AD为底边BC的高, 则AD平 分BAC,AD为底边BC的中线., AD平 分BAC,AD为底边BC的中线,13.3.1等腰三角形性质的探究,命题1:等腰三角形的两底角相等。,命题:等腰三角形的顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高互相重合。,1,2,性质1:,性质2:,(简称等边对等角),(简称三线合一),13.3.1等腰三角形性质的探究,35 ,35,1.已知等腰三角形的一个底角是70则其余 两角为_; 2.已知等腰三角形一个角是70,则其余两 角为_; 3.已知等腰三角形一个角是110,则其余两 角为_;,70,40,70, 40或55, 55,跟踪训练,分类讨论思想,13.3.1等腰三角形性质的探究,已知:ABC中,ABAC,D是BC边上的中点,DFAC 于F,DEAB于E 。 求证:DEDF。,能力拓展,13.3.1等腰三角形性质的探究,在DBE与DCF中 DEBDFC(已证) BC(已证) BDDC(已证) BDE CDF(AAS) DEDF,已知:ABC中,ABAC,D是BC边上的中点,DFAC 于FDE AB 于E 。 求证:DEDF。,证明: DEAB,DFAC(已知) BEDCFD 又D是BC中点(已知) BDDC 又ABAC(已知) BC(等边对等角),方法二:连AD 。 ABAC,BDDC(已知) AD是BAC的平分线 又DEAB DFAC DEDF (角平分线上的点到这个角的两边距离相等),已知:ABC中,ABAC,D是BC边上的中点,DFAC 于FDE AB 于E 。 求证:DEDF。,(等腰三角形三线合一),方法三(面积法):连AD 。 BDDC 又 又 ABAC DE=DF,已知:ABC中,ABAC,D是BC边上的中点,DFAC 于F,DE AB 于E 。 求证:DEDF。,等腰三角形 三线合一,注:求解等腰三角形的顶角、底角的度数;,等边对等角,课堂小结,分类讨论,13.3.1等腰三角形性质的探究,分层作业,1、
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