2018年高中数学数列2.5等比数列的前n项和学案新人教A版.docx

2.5第一课时等比数列的前n项和预习课本P5558，思考并完成以下问题(1)公比是1的等比数列的前n项和如何计算？(2)能否根据首项、末项与项数求出等比数列的前n项和？(3)能否根据首项、公比与项数求出等比数列的前n项和？(4)等比数列前n项和的性质有哪些？1等比数列的前n项和公式已知量首项a1与公比q首项a1，末项an与公比q公式SnSn点睛在应用公式求和时，应注意到Sn的使用条件为q1，而当q1时应按常数列求和，即Snna1.2等比数列前n项和的性质(1)等比数列an中，若项数为2n，则q；若项数为2n1，则q.(2)若等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列(其中Sn，S2nSn，S3nS2n均不为0)(3)若一个非常数列an的前n项和SnAqnA(A0，q0，nN*)，则数列an为等比数列，即SnAqnA(A0，q0，q1，nN*)数列an为等比数列1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)求等比数列an的前n项和时可直接套用公式Sn来求()(2)首项为a的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n项和为Snna()(3)若某数列的前n项和公式为Snaqna(a0，q0且q1，nN*)，则此数列一定是等比数列()解析：(1)错误在求等比数列前n项和时，首先应看公比q是否为1，若q1，可直接套用，否则应讨论求和(2)正确若数列既是等差数列，又是等比数列，则是非零常数列，所以前n项和为Snna.(3)正确根据等比数列前n项和公式Sn(q0且q1)变形为：Snqn(q0且q1)，若令a，则和式可变形为Snaaqn.答案：(1)(2)(3)2设等比数列an的前n项和为Sn，已知a12，a24，那么S10等于()A2102 B292C2102 D2112解析：选D等比数列的公比q2，所以前10项和S102112，选D.3等比数列an中，公比q2，S544，则a1的值为()A4 B4C2 D2解析：选A由S544，得a14.4设等比数列an的公比q2，前n项和为Sn，则等于()A2 B4C. D.解析：选C.等比数列的前n项和公式的基本运算典例在等比数列an中，公比为q，前n项和为Sn.(1)a18，an，Sn，求n；(2)S3，S6，求an及Sn.解(1)显然q1，由Sn，即，q.又ana1qn1，即8n1，n6.(2)法一：由S62S3知q1，由题意得，得1q39，q38，即q2.代入得a1，ana1qn12n12n2，Sn2n1.法二：由S3a1a2a3，S6S3a4a5a6S3q3(a1a2a3)S3q3S3(1q3)S3.1q39，q38，即q2.代入得a1，ana1qn12n12n2，Sn2n1.在等比数列an的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q表示an与Sn，从而列方程组求解，在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用活学活用已知a6a424，a3a564，求S8.解：法一：由题意，得化简得，得q213，负值舍去，q24，q2或q2.当q2时，代入得a11.S8255.当q2时，代入得a11.S8.综上知S8255或.法二：由等比数列的性质得a3a5a64，a48.当a48时，a6a424，a632，q24，q2.当a48时，a6a424，a616.q22，无解故q2.当q2时，a11，S8255.当q2时，a11，S8.综上知，S8255或.等比数列的前n项和的性质典例等比数列an的前n项和Sn48，前2n项和S2n60，则前3n项和S3n_.解析法一：设公比为q，由已知易知q1，由所以S3n1(qn)36463.法二：由Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列，得(S2nSn)2Sn(S3nS2n)，即(6048)248(S3n60)S3n63.答案63运用等比数列求和性质解题时，一定要注意性质成立的条件否则会出现失误如Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列的前提是Sn，S2nSn，S3nS2n均不为0.活学活用1设等比数列an的前n项和为Sn，若3，则()A2 B.C. D3解析：选B由等比数列的性质：S3，S6S3，S9S6仍成等比数列，于是，由S63S3，可推出S9S64S3，S97S3，.故选B.2一个项数为偶数的等比数列an，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求数列的通项公式解：设数列an的首项为a1，公比为q，所有奇数项、偶数项之和分别记作S奇，S偶，由题意可知，S奇S偶4S偶，即S奇3S偶因为数列an的项数为偶数，所以有q.又因为a1a1qa1q264，所以aq364，即a112，故所求通项公式为an12n1.等比数列及其前n项和的综合应用典例(1)已知an是等比数列，a22，a5，则a1a2a2a3anan1()A16(14n) B16(12n)C.(14n) D.(12n)(2)设Sn为数列an的前n项和，Sn(1)nan，nN*，则a3_；S1S2S100_.解析(1)由a5a2q3，得q3，所以q，而数列anan1也为等比数列，首项a1a28，公比q2，所以a1a2a2a3anan1(14n)(2)anSnSn1(1)nan(1)n1an1(n2)，an(1)nan(1)n1an1.当n为偶数时，an1，当n为奇数时，2anan1，当n4时，a3.根据以上an的关系式及递推式可求得a1，a3，a5，a7，a2，a4，a6，a8.a2a1，a4a3，a6a5，S1S2S100(a2a1)(a4a3)(a100a99).答案(1)C(2)求解数列综合问题的步骤(1)分析题设条件(2)分清是an与an1的关系，还是an与Sn的关系(3)转化为等差数列或等比数列，特别注意anSnSn1(n2，n为正整数)在an与Sn的关系中的应用(4)整理求解活学活用1公差不为0的等差数列an的部分项ak1，ak2，ak3，构成等比数列，且k11，k22，k36，则k4_.解析：设等差数列an的公差为d，因为a1，a2，a6成等比数列，所以aa1a6，即(a1d)2a1(a15d)，所以d3a1，所以a24a1，所以等比数列ak1，ak2，ak3，的公比q4，所以ak4a1q3a14364a1.又ak4a1(k41)da1(k41)(3a1)，所以a1(k41)(3a1)64a1，a10，所以3k4264，所以k422.答案：222(浙江高考)设数列an的前n项和为Sn，已知S24，an12Sn1，nN*.(1)求通项公式an；(2)求数列|ann2|的前n项和解：(1)由题意得则又当n2时，由an1an(2Sn1)(2Sn11)2an，得an13an，所以数列an的通项公式为an3n1，nN*.(2)设bn|3n1n2|，nN*，则b12，b21.当n3时，由于3n1n2，故bn3n1n2，n3.设数列bn的前n项和为Tn，则T12，T23，当n3时，Tn3，因为当n2时，也符合Tn.所以Tn层级一学业水平达标1设an是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若Sn是等差数列，则q等于()A1B0C1或0 D1解析：选A因为SnSn1an，又Sn是等差数列，所以an为定值，即数列an为常数列，所以q1.2已知数列an是公比为3的等比数列，其前n项和Sn3nk(nN*)，则实数k为()A0 B1C1 D2解析：选C由数列an的前n项和Sn3nk(nN*)，当n1时，a1S13k；当n2时，anSnSn13nk(3n1k)23n1.因为数列an是公比为3的等比数列，所以a123113k，解得k1.3已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于()A31 B33C35 D37解析：选B根据等比数列性质得q5，25，S1033.4已知等比数列an的前n项和为Sn，a1a3，且a2a4，则()A4n1 B4n1C2n1 D2n1解析：选D设等比数列an的公比为q，则解得2n1.故选D.5等比数列an的前n项和为Sn，S52，S106，则a16a17a18a19a20等于()A8 B12C16 D24解析：选C设等比数列an的公比为q，因为S2nSnqnSn，所以S10S5q5S5，所以622q5，所以q52，所以a16a17a18a19a20a1q15a2q15a3q15a4q15a5q15q15(a1a2a3a4a5)q15S523216.6等比数列an共有2n项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q_.解析：设an的公比为q，则奇数项也构成等比数列，其公比为q2，首项为a1，偶数项之和与奇数项之和分别为S偶，S奇，由题意S偶S奇3S奇，即S偶2S奇，因为数列an的项数为偶数，所以q2.答案：27等比数列an中，若a1a3a99150，且公比q2，则数列an的前100项和为_解析：由q，q2，得2a2a4a100300，则数列an的前100项的和S100(a1a3a99)(a2a4a100)150300450.答案：4508在等比数列an中，a1a2a610，5，则a1a2a6_.解析：由等比数列的前n项和公式，a1a2a610，5，把a1a6q10(1q)代入，得a1a62，又a1a2a6(a1a6)3238.答案：89设等比数列an的前n项和为Sn.已知a26,6a1a330，求an和Sn.解：设an的公比为q，由题设得解得或当a13，q2时，an32n1，Sn3(2n1)；当a12，q3时，an23n1，Sn3n1.10已知an为递减的等比数列，且a1，a2，a34，3，2,0,1,2,3,4(1)求数列an的通项公式；(2)当bnan时，求证：b1b2b3b2n1.解：(1)an是递减的等比数列，数列an的公比q是正数，又a1，a2，a34，3，2,0,1,2,3,4，a14，a22，a31.q，ana1qn1.(2)证明：由已知得bn，当n2k(kN*)时，bn0，当n2k1(kN*)时，bnan.即bnb1b2b3b2n2b2n1a1a3a2n18 000，即1 6008 000，n6，lgnlg 6，n8.029 6.大约第9年后，旅游业总收入超过8 000万元8在数列an中，若an求数列an的前n项和解：当n1时，S1a11.当n2时，若a0，有an则Sn1(n1).若a1，有an则Sn1(n1).若a0且a1，则Sn11(n1)(aa2an1).综上所述，Sn第二课时数列求和(习题课)1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)如果数列an为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn()(2)当n2时，()(3)求Sna2a23a3nan之和时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得()(4)数列的前n项和为n2()(5)若数列a1，a2a1，anan1是首项为1，公比为3的等比数列，则数列an的通项公式是an()解析：(1)正确公比不等于1的等比数列的前n项和Sn.(2)正确化简即得(3)错误a的值不能确定(4)错误设数列的通项公式为an2n1，则用分组转化法求和，Snnn1nn2n1n2.(5)正确由题意ana1a2a1an1an2anan1.答案：(1)(2)(3)(4)(5)2已知an为等差数列，Sn为其前n项和，若a1，S2a3，则S40()A290B390C410 D430解析：选C设数列an的公差为d.S2a3，2a1da12d，d，S4040410.3设等比数列an的前n项和为Sn，已知a12，且an2an1an20(nN*)，则S2 016_.解析：设等比数列an的公比为q，则an2an1an2an(12qq2)0，an0，q22q10.解得q1，S2 0160.答案：04已知数列an的通项公式an，其前n项和Sn，则项数n等于_解析：an1，Snnn15，n6.答案：6分组转化法求和典例已知数列cn：1，2，3，试求cn的前n项和解令cn的前n项和为Sn，则Sn123(123n)1n.即数列cn的前n项和为Sn1n.若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和而后相加减 活学活用1数列(1)nn的前n项和为Sn，则S2 016等于()A1 008 B1 008C2 016 D2 016解析：选AS2 016(12)(34)(2 0152 016)1 008.2数列an的通项ann2，其前n项和为Sn，则S30为_解析：ann2n2cos ，S3012cos 22cos 32cos 2302cos 20122232425262282292302(1222232)(4252262)(2822922302)(1232)(4262)(282302)(2232)(5262)(292302)2(4101658)(5111759)470.答案：470裂项相消法求和典例已知等比数列an的各项均为正数，且2a13a21，a9a2a6.(1)求数列an的通项公式；(2)设bnlogan，求数列的前n项和Tn.解(1)设数列an的公比为q，由a9a2a6得a9a，q2.由条件可知q0，故q.由2a13a21得2a13a1q1，a1.故数列an的通项公式为an.(2)an，bnlog2n，Tn.(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和(2)裂项求和的几种常见类型：；若an是公差为d的等差数列，则. 活学活用已知等差数列an的前n项和为Sn，且S315，a5a930.(1)求an及Sn；(2)若数列bn满足bn(Snn)2(nN*)，数列bn的前n项和为Tn，求证：Tn2.解：(1)设等差数列an的公差为d，由题意可得则an32(n1)2n1，Sn3nn22n.(2)证明：由题意可得bn2，Tnb1b2bn220.由题意得(2d)223d8，解得d2.故ana1(n1)d2(n1)22n.(2)bnan22n22n，Snb1b2bn(222)(424)(2n22n)(242n)(222422n)n(n1).10在等差数列an中，a34，a78.(1)求数列an的通项公式an；(2)令bn，求数列bn的前n项和Tn.解：(1)因为d1，所以ana3(n3)dn1.(2)bn，Tnb1b2bn2.Tn，由得Tn211213，所以Tn6.层级二应试能力达标1已知数列an的前n项和为Sn，a11，Sn2an1，则Sn()A2n1B.n1C.n1 D.解析：选B因为an1Sn1Sn，所以由Sn2an1，得Sn2(Sn1Sn)，整理得3Sn2Sn1，所以，所以数列Sn是以S1a11为首项，为公比的等比数列，故Snn1.2已知数列an：，那么数列bn前n项的和为()A4 B4C1 D.解析：选Aan，bn4.Sn44.3某厂去年的总产值是a亿元，假设今后五年的年产值平均增长率是10%，则从今年起到第5年年末该厂的总产值是()A11(1.151)a亿元 B10(1.151)a亿元C11(1.141)a亿元 D10(1.141)a亿元解析：选A由题意可知，今年年末的总产值为1.1a，从今年起每年年末的总产值构成一个等比数列，首项为1.1a，公比为1.1.所以其前5项和为S511(1.151)a亿元，故选A.4已知是an等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，若a3，a4，a8成等比数列，则()Aa1d0，dS40 Ba1d0，dS40Ca1d0，dS40 Da1d0解析：选C在等差数列an中，a3，a4，a8成等比数列，(a13d)2(a12d)(a17d)a1d，S42(a1a4)2(a1a13d)d，a1dd20，dS4d20，故选C.5求和：Sn11_.解析：被求和式的第k项为：ak12.所以Sn22222n2.答案：2n26已知等比数列an及等差数列bn，其中b10，公差d0.将这两个数列的对应项相加，得一新数列1,1,2，则这个新数列的前10项和为_解析：设数列an的公比为q，则an的前三项分别为1，q，q2，bn的前三项分别为0，d,2d，于是解得(舍去)或于是新数列的前10项和为(a1b1)(a2b2)(a10b10)(a1a2a10)(b1b2b10)100(1)978.答案：9787已知数列an的前n项和Sn，满足Snn(n6)，数列bn满足b23，bn13bn(nN*)(1)求数列an，bn的通项公式；(2)记数列cn满足cn求数列cn的前n项和Tn.解：(1)当n1时，a1S15，当n 2时，anSnSn1n26n(n1)26(n1)2n7，n1也适合上式，an2n7.bn13bn(nN*)，且b20，3，bn为等比数列，bn3n1，(2)由(1)得，cn当n为偶数时，Tnc1c2cn.当n为奇数时，Tnc1c2cn.综上所述：Tn8设数列an的前n项和记为Sn, 且Sn2an，nN*，设函数f(x)logx，且满足bnf(an)3. (1)求出数列an，bn的通项公式；(2)记cnanbn，cn的前n项和为Tn，求Tn的最小值解：(1)当n1时，S12a1得a11.当n2时，anSnSn1(2an)(2an1)anan1，可得anan1，an是首项为1，公比为的等比数列，ann1.由题意得bnf(an)3logan3logn13n4.(2)由(1)得cn(n4)n1.法一：c130，c210，的前n项和Tn的最小值为T3T4.法二：Tn302112(n4)n1，Tn3122(n5)n1(n4)n，Tn312n1(n4)n3(n4)n2.Tn4.Tn1Tn，当n2时，Tn1T的前n项和Tn的是小值为T3T4.(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1等比数列an的公比q，a1，则数列an是()A递增数列B递减数列C常数数列 D摆动数列解析：选D因为等比数列an的公比为q，a1，故a20，所以数列an是摆动数列2若互不相等的实数a，b，c成等差数列，a是b，c的等比中项，且a3bc10，则a的值是()A1 B1C3 D4解析：选D由题意，得解得a4，b2，c8.3在数列an中，a1，an(1)n2an1(n2)，则a5等于()A B.C D.解析：选Ba1，an(1)n2an1，a2(1)22，a3(1)32，a4(1)42，a5(1)52.4在等比数列an中，已知前n项和Sn5n1a，则a的值为()A1 B1C5 D5解析：选D因为Sn5n1a55na，由等比数列的前n项和Snqn，可知其常数项与qn的系数互为相反数，所以a5.5已知数列an满足a11，an1则254是该数列的()A第8项 B第10项C第12项 D第14项解析：选D当n为正奇数时，an12an，则a22a12，当n为正偶数时，an1an1，得a33，依次类推得a46，a57，a614，a715，归纳可得数列an的通项公式an则22254，n14，故选D.6已知数列an是等差数列，其前n项和为Sn，若a1a2a315，且，则a2()A2 B.C3 D.解析：选CS1a1，S33a2，S55a3，a1a2a315，a23.故选C.7如果数列a1，a2a1，a3a2，anan1，是首项为1、公比为的等比数列，那么an()A. B.C. D.解析：选A由题知a11，q，则anan11n1.设数列a1，a2a1，anan1的前n项和为Sn，Sna1(a2a1)(a3a2)(anan1)an.又Sn，an.8设Sn为等差数列an的前n项和，a12 014，2，则S2 016的值为()A2 016 B2 016C2 015 D2 015解析：选B因为Sn为等差数列an的前n项和，所以数列是等差数列设数列的公差为d，则由2，得2d2，解得d1，所以2 015da12 015d2 0142 0151，所以S2 0162 016.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分把答案填在题中横线上)9已知an是等差数列，Sn为其前n项和，nN*.若a316，S2020，则a1_，d_，S10_.解析：由已知得，解得a120，d2，S101020(2)110.答案：20211010(浙江高考)设数列an的前n项和为Sn.若S24，an12Sn1，nN*，则a1_，S5_.解析：an12Sn1，Sn1Sn2Sn1，Sn13Sn1，Sn13，数列是公比为3的等比数列，3.又S24，S11，a11，S53434，S5121.答案：112111已知数列an的通项公式为an2 0153n，则使an0成立的最大正整数n的值为_解析：由an2 0153n0，得n671，又nN*，n的最大值为671.答案：67112某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(nN*)等于_解析：每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列，其前n项和Sn2n12.由2n12100，得2n1102.由于2664,27128，则n17，即n6.答案：613已知数列an满足an1an2n(nN*)，a13，则an_，的最小值为_解析：an1an2n，a2a121，a3a222，a4a323，anan12(n1)，以上各式相加可得ana122n2n，a13，ann2n3.n1.f(x)x在(0，)上单调递减，在(，)上单调递增，又113，21，所以的最小值为.答案：n2n314已知等差数列an，bn的前n项和分别为An，Bn，且满足，则_.解析：根据题意，由，可设：An2n2，Bnn(n3)，则：a1A12, 当n2时，anAnAn14n2，b1B14，当n2时，bnBnBn12n2，.答案：15定义函数f(x)xx，其中x表示不小于x的最小整数，如1.22，2.62.当x(0，n(nN*)时，函数f(x)的值域记为An，记An中元素的个数为an，则an_，_.解析：当x(0,1时，x1，xxx，则f(x)xx1，即A11，故a11；当x(0,2时，x1,2，xxx或2x，则f(x)xx1,3,4，即A21,3,4，故a23；当x(0,3时，x1,2,3，xxx或2x或3x，则f(x)xx1,3,4,7,8,9，即A31,3,4,7,8,9，故a36；同理可得a410，注意到an，所以.答案：三、解答题(本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16(14分)已知函数f(x)，数列xn的通项由xnf(xn1)(n2且xN*)确定(1)求证：是等差数列；(2)当x1时，求x2 016.解：(1)证明：xnf(xn1)(n2且nN*)，(n2且nN*)，是等差数列(2)由(1)知(n1)2.x2 016.17(15分)在ABC中