换元法(或称凑微分法.ppt

一、第一换元法(或称凑微分法),第四章 不定积分,第二节 换元积分法,二、第二换元法,引例,(因为 d(3x) = 3dx).,一、第一换元法(或称凑微分法）,令 u = 3x，,则上式变为,那么，,也就是说上述结果正确.,一般地，能否把公式,定理 1 回答这个问题.,定理 1 (第一换元法),且 u = j (x) 为可微函数，,证 已知 F (x) = f (x)，,u = j (x)，,则,所以,则,用上式求不定积分的方法称为第一换元法或称凑微分法,定理 1 常写成：, 式就是把已知的积分,中的 x,所以说把基本积分表中的积分变量,换成可微函数 j (x) 后仍成立 .,其中 u = j (x) 可微.,换成了可微函数 j (x) .,例 1 求,解 对照基本积分表，,如果把 dx 写成了 d(3x + 2)，,那么就可用定理 1 及,为此将 dx 写成,代入式中，,那么,令 3x + 2 = u 则,a, b 均为常数，且 a 0.,例 2 求,解 上式与基本积分表中,相似，,为此将 dx 写成,那么,令 4x + 5 = u，,例 3 求,解 上式与基本积分表中,为此将 dx = d(x + 1) 代入式中，,那么,解 上式与基本积分表,解,等等.,例 6 求,解 将被积分式中的 xdx 因子凑微分，,则,经求导验算，,结果正确 .,即,即,例 7 求,解,凑微分，即,则,例 8 求,解,解,例 10 求,例 11 求,解,3.利用三角函数的恒等式.,例 12 求,解,例 13 求,解,例 14 求,解,例 15 求,解,例 16 求,解,4.利用代数恒等式,例 17 求,(a 0 常数).,解,例 18 求,解,例 19 求,解,例 20 求,解,例 21 求,解,二、第二换元法,定理 2 (第二换元法),设函数 f (x) 连续，,函数 x = j (t) 单调可微，,且 j (t) 0，,则,1.简单根式代换,例 22 求,解 为了去掉被积函数中的根号，,则 dx = 2tdt ，,于是有,回代变量，,得,例 23 求,解 被积函数含根式,为了去掉根号，,于是有,则 dx = 4t3 dt，,回代变量，,得,例 24 求,解 为了去掉被积函数中的根号，,于是有,2.三角代换,例 25 求,于是有,则 dx = acost dt，,把变量 t 换为 x . 为简便起见，,画一个直角三角形，称它为辅助三角形，如图.,于是有,x,a,t,例 26 求,解,则 dx = asec2 tdt ，,于是有,作辅助三角形，,得,a,x,t,其中 C = C1 - lna .,例 27 求,解 令 x = a sec t，,则 dx = a sec t tan t dt，,于是有,作辅助三角形，,得,其中 C = C1 lna .,作三角代换 x = a sin t 或 x = a cos t；,作三角代换 x = a tan t 或 x = a cot t；,作三角代换 x = a sec t 或 x = a csc t.,例 28 求,解法一 三角代换法.,令 x = tan t，,于是得,则 dx = sec2 tdt，,根据 tan t = x，,作