2020版高中数学第一章常用逻辑用语1.3.2命题的四种形式学案新人教B版.docx

13.2命题的四种形式学习目标1.了解四种命题的概念，能写出一个命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.理解并掌握四种命题之间的关系以及真假性之间的关系.3.能够利用命题的等价性解决问题知识点一四种命题的概念四种命题的定义命题“如果p，则(那么)q”是由条件p和结论q组成的，对p，q进行“换位”或“换质”后，一共可以构成四种不同形式的命题(1)原命题：如果p，则q；(2)条件和结论“换位”：如果q，则p，这称为原命题的逆命题；(3)条件和结论“换质”(分别否定)：如果綈p，则綈q，这称为原命题的否命题(4)条件和结论“换位”又“换质”：如果綈q，则綈p，这称为原命题的逆否命题知识点二四种命题间的相互关系(1)四种命题间的关系(2)四种命题间的真假关系原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性，即两命题等价；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系，即两个命题不等价1有的命题没有逆命题()2两个互逆命题的真假性相同()3对于一个命题的四种命题，可以一个真命题也没有()4一个命题的四种命题中，真命题的个数一定为偶数()题型一四种命题的概念例1把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题和逆否命题(1)相似三角形对应的角相等；(2)当x3时，x24x30；(3)正方形的对角线互相平分解(1)原命题：若两个三角形相似，则这两个三角形的三个角对应相等；逆命题：若两个三角形的三个角对应相等，则这两个三角形相似；否命题：若两个三角形不相似，则这两个三角形的三个角不对应相等；逆否命题：若两个三角形的三个角不对应相等，则这两个三角形不相似(2)原命题：若x3，则x24x30；逆命题：若x24x30，则x3；否命题：若x3，则x24x30；逆否命题：若x24x30，则x3.(3)原命题：若一个四边形是正方形，则它的对角线互相平分；逆命题：若一个四边形对角线互相平分，则它是正方形；否命题：若一个四边形不是正方形，则它的对角线不互相平分；逆否命题：若一个四边形对角线不互相平分，则它不是正方形反思感悟四种命题的写法(1)由原命题写出其它三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件和结论互换即得逆命题，将条件和结论同时否定即得否命题，将条件和结论互换的同时进行否定即得逆否命题(2)如果原命题含有大前提，在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意各命题中的大前提不变跟踪训练1写出下列各个命题的逆命题、否命题和逆否命题(1)若sin，则tan；(2)若ab是偶数，则a，b都是偶数；(3)等底等高的两个三角形是全等三角形；(4)当1x2时，x23x20；(5)若ab0，则a0或b0.解(1)逆命题：若tan，则sin.否命题：若sin，则tan.逆否命题：若tan，则sin.(2)逆命题：若a，b都是偶数，则ab是偶数否命题：若ab不是偶数，则a，b不都是偶数逆否命题：若a，b不都是偶数，则ab不是偶数(3)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高(4)逆命题：若x23x20，则1xbc2，则ab”的逆命题其中是真命题的是_(填序号)考点四种命题的真假判断题点利用四种命题的关系判断真假答案解析“四条边相等的四边形是正方形”的否命题是“四条边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；“若ac2bc2，则ab”的逆命题是“若ab，则ac2bc2”，是假命题故填.反思感悟要判断四种命题的真假：首先，要熟练掌握四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握跟踪训练2按要求写出下列命题并判断真假(1)“正三角形都相似”的逆命题；(2)“若m0，则x22xm0有实根”的逆否命题；(3)“若x是有理数，则x是无理数”的逆否命题考点四种命题的真假判断题点利用四种命题的关系判断真假解(1)原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形都是正三角形”，故为假命题(2)原命题的逆否命题为“若x22xm0无实根，则m0”方程无实根，判别式44m0，m1，即m0成立，故为真命题(3)原命题的逆否命题为“若x不是无理数，则x不是有理数”x不是无理数，x是有理数又是无理数，x是无理数，不是有理数，故为真命题题型三等价命题的应用例3判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集非空，则a1”的逆否命题的真假解方法一原命题的逆否命题：已知a，x为实数，若a1，则关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集为，判断如下：二次函数yx2(2a1)xa22的开口向上，令x2(2a1)xa220，则(2a1)24(a22)4a7.因为a1，所以4a70的解集为R，则a0的解集为R，且二次函数yx2(2a1)xa22的开口向上，所以(2a1)24(a22)4a70，所以a.所以原命题是真命题因为互为逆否命题的两个命题同真同假，所以原命题的逆否命题为真命题反思感悟由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的两个命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接地证明原命题为真命题跟踪训练3证明：若a24b22a10，则a2b1.证明“若a24b22a10，则a2b1”的逆否命题为“若a2b1，则a24b22a10”a2b1，a24b22a1(2b1)24b22(2b1)14b214b4b24b210，命题“若a2b1，则a24b22a10”为真命题由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，结论正确1命题“若aA，则bB”的否命题是()A若aA，则bBB若aA，则bBC若bB，则aAD若bB，则aA答案B解析命题“若p，则q”的否命题是“若非p，则非q”，“”与“”互为否定形式2命题“若a，b，c成等差数列，则ac2b”的逆否命题是()A若a，b，c成等差数列，则ac2bB若a，b，c不成等差数列，则ac2bC若ac2b，则a，b，c成等差数列D若ac2b，则a，b，c不成等差数列考点四种命题的相互关系题点四种命题相互关系的应用答案D解析命题“若a，b，c成等差数列，则ac2b”的逆否命题是“若ac2b，则a，b，c不成等差数列”3下列命题：“全等三角形的面积相等”的逆命题；“正三角形的三个内角均为60”的否命题；“若k0，则方程x2(2k1)xk0必有两相异实数根”的逆否命题其中真命题的个数是()A0B1C2D3答案C解析的逆命题“面积相等的三角形是全等三角形”是假命题；的否命题“不是正三角形的三个内角不全为60”为真命题；当k0，方程有两相异实根，原命题与其逆否命题均为真命题4下列命题中：若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；若一个四边形对角互补，则它内接于圆；正方形的四条边相等；圆内接四边形对角互补；对角不互补的四边形不内接于圆；若一个四边形的四条边相等，则它是正方形其中互为逆命题的有_；互为否命题的有_；互为逆否命题的有_考点四种命题的相互关系题点四种命题相互关系的应用答案和，和和，和和，和解析命题可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题可改写为“若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补”；命题可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”，再依据四种命题间的关系便不难判断5已知命题“若m1xm1，则1x2”的逆命题为真命题，则m的取值范围是_答案1,2解析命题：“若m1xm1，则1x2”的逆命题为“若1x2，则m1x2，则a1”以及它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数为()A0B1C2D4考点四种命题的真假判断题点利用四种命题的关系判断真假答案C解析“若a2，则a1”为真命题，所以其逆否命题亦为真命题又其逆命题、否命题为假命题，所以真命题的个数为2.5有下列四个命题：“若xy0，则x，y互为相反数”的逆命题；“全等三角形的面积相等”的否命题；“若q1，则x22xq0有实根”的逆否命题；“非等边三角形的三个内角相等”的逆命题其中真命题为()ABCD考点四种命题的真假判断题点利用四种命题的关系判断真假答案C解析命题：“若x，y互为相反数，则xy0”是真命题；命题：可考虑其逆命题“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题，因此命题是假命题；命题：“若q1，则x22xq0有实根”是真命题，则其逆否命题也为真命题；命题是假命题6已知命题“如果ab0，则a0或b0”，则下列结论正确的是()A真命题，否命题：“如果ab0，则a0或b0”B真命题，否命题：“如果ab0，则a0且b0”C假命题，否命题：“如果ab0，则a0或b0”D假命题，否命题：“如果ab0，则a0且b0”答案B解析如果ab0，则a与b至少有一个小于等于0，故“如果ab0，则a0或b0”是真命题，该命题的否命题为“如果ab0，则a0且b0”7下列说法错误的是()A命题“如果x24x30，则x3”的逆否命题是“如果x3，则x24x30”B“x1”是“|x|0”的充分不必要条件C若p且q为假命题，则p，q均为假命题D命题p：“xR，使得x2x10”，则綈p：“xR，均有x2x10”答案C解析C选项中，p且q为假命题，则p与q至少有一个为假命题8设原命题：若ab2，则a，b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是()A原命题真，逆命题假B原命题假，逆命题真C原命题与逆命题均为真命题D原命题与逆命题均为假命题考点四种命题的真假判断题点利用四种命题的关系判断真假答案A解析因为原命题“若ab2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆否命题为“若a，b都小于1，则ab2”，显然为真，所以原命题为真；原命题“若ab2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题为“若a，b中至少有一个不小于1，则ab2”，是假命题，反例如a1.2，b0.3.二、填空题9已知原命题“两个无理数的积仍是无理数”，则逆命题是“乘积为无理数的两数都是无理数”；否命题是“两个不都是无理数的积也不是无理数”；逆否命题是“乘积不是无理数的两个数都不是无理数”其中正确的是_(填序号)答案解析原命题的逆命题、否命题叙述正确逆否命题应为“乘积不是无理数的两个数不都是无理数”10在命题“若抛物线yax2bxc的开口向下，则x|ax2bxc1且b1，则ab2”的否命题其中真命题的序号是_考点四种命题的真假判断题点利用四种命题的关系判断真假答案解析显然为真；为假；对于，原命题“若x是有理数，则x是无理数”为假命题，所以其逆否命题为假命题；对于，“若a1且b1，则ab2”的否命题是“若a1或b1，则ab2”为假命题三、解答题12分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假(1)当m时，mx2x10无实根；(2)当abc0时，a0或b0或c0.解(1)逆命题：当mx2x10无实根时，m，真命题；否命题：当m时，mx2x10有实根，真命题；逆否命题：当mx2x10有实根时，m，真命题(2)逆命题：当a0或b0或c0时，abc0，真命题；否命题：当abc0时，a0且b0且c0，真命题；逆否命题：当a0且b0且c0时，abc0，真命题13判断命题：“若b1，则关于x的方程x22bxb2b0有实根”的逆否命题的真假解方法一(利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题的真假即可方程判别式为4b24(b2b)4b，因为b1，所以40，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真方法二(利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于x的方程x22bxb2b0无实根，则b1”方程判别式为4b24(b2b)4b，因为方程无实根，所以0，即4b0，所以b1成立，即原命题的逆否命题为真14若命题“若xm1，则x22x30”的逆命题为真、逆否命题为假，求实数m的取值范围考点题点解由已知，易得x|x22x30x|xm1又x|x22x30x|