信号分析与处理习题答案.pdf

习题习题 1 1.1 判断题 1.1 图所示各信号的波形是连续时间信号还是离散时间信号？若是连续时间信号 是否为模拟信号？若是离散时间信号是否为数字信号？ (1) (2) (3) (4) 题 1.1 图 信号波形 解:（1）时间连续函数值连续，连续时间信号，模拟信号 （2）时间连续函数值离散，连续时间信号，不是模拟信号 （3）时间离散函数值离散量化，离散时间信号，数字信号 （4）时间离散函数值非量化，离散时间信号，不是数字信号 1.2 判断以下各信号是能量信号还是功率信号？是周期信号还是非周期信号？若是周期信 号，试求出其周期 T。 （1）sin() at et ( ) t （2）cos(10 )cos(30 )tt+ （3）cos(2 )sin()tt+ （4） 2 5sin (8 ) t （5）( )(10)tt （6） 1 0( ) ( )2 0 0 n n x n n = 则为指数衰减信号为能量信号。 () ( ) () () 2 2 -0 22 00 1 cos 2 sindd 2 1 dcos 2d 2 atat atat t Wetttet etett = = 22 0 11 d 022 atat ete aa = ()() ()() () () () () () () () 222222 000 22 00 22 22 11 cos 2dd+d 22 111 222 12 1 42 ajtajtatatj tj t ajtajt etteeeteet ee ajaj aa aa + + =+= =+ + = + () ()() 22 00 22 2222 1 dcos 2d 2 112 2 224 atat Wetett aa aaa a = + = + （2）cos(10 )cos(30 )tt+ 1 5 T = 2 15 T =则为周期信号 5 T = 时间上无限延续，则判断功率 Tdt t tt t dtttttdttxp T T T T T T = + + + = += 2 2 2 2 22 2 2 2 1 2 1)60cos( )20cos()40cos( 2 1)20cos( )30(cos)30cos()10cos(2)10(cos)( 余弦信号在一个周期内积分为零。 11lim 1 lim 1 = TT def p T p = 2 2 2 )( 1 lim T T T def dttx T p 00.10.20.30.40.50.60.70.80.91 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 8 75 8 75 lim 1 lim 1 = TT def p T p a a s X a atx 20 （4） 4 1 )4( 42 22 + += + + s s sss s )()2cos()( )4( 42 2 1 ttt ss s L+= + + ； （5） 22 )2( 1 )2( 1 ) 1( 1 )2)(1( 1 + + + = +sssss )()()( )2)(1( 1 22 2 1 ttetete ss L ttt = + ； （6） 4) 1( 11 52 11 )52( 5 222 + + = + + = + + s s sss s ssss s )()2cos()( )52( 5 2 1 ttet sss s L t = + + 。 21 习题 3 3-1 如题 3-1 图所示电路，已知 1 2R = ， 2 4R = ，1LH=，0.5CF=，( )2( ) t S utet Ve =， 列出( )i t的微分方程，求其零状态响应。 ( ) S ut 1 R 2 R CL ( )i t 题 3-1 图 解：设通过电容C的电流为)(tic，根据 KVL 定律列写回路方程，可得 )()()( )( )()( 12 tutitiR dt tdi LtitR sc =+ )( )()( )() )( )( ) )( )( 2 2 1211 1 2 1 2 tu dt tid CLR dt tdi CRRtiR dt tdi LtiR dt tdi LtiR dt d Ci s c =+ += 整理得，)(2)(6 )( 5 )( 2 2 teti dt tdi dt tid te =+ 两边求拉斯变换，在零状态响应下 3 1 2 2 1 1 )3)(2)(1( 2 )( 1 2 )()65( 2 + + + + = + = + =+ ssssss si s siss 求拉斯反变换得 )()2()( 32 teeeti ttt e += 3-2 已知描述系统的微分方程和初始状态如下，试求系统的零输入响应、零状态响应和全响 应。 （1） 2 2 ( )( ) 43 ( )( ) d y tdy t y tx t dtdt +=，(0)(0)1y y =，( )( )x tte= （2） 2 2 ( )( )( ) 44 ( )3 ( ) d y tdy tdx t y tx t dtdtdt +=+，(0)1y=，(0)2 y =， ( )( ) t x tete = 解： （1）求零状态响应)(tyzi 当激励为零时，0)(3 )( 4 )( 2 2 =+ty dt tdy dt tyd 特征方程，034 2 =+，解特征方程根，3, 1 21 =，则齐次解为 tt zi ececty 3 21 )( +=，代入初始条件：1)0()0( 21 =+=ccyy zi ， 13)0()0( 21 =ccyy zi ，解得1, 2 1 =cc， 即零输入响应)()2()( 3 teety tt zi e = 求零状态响应)(tyzs，)()(ttxe=， 设方程的特解， 0 )(ctyp=，将其代入微分方程得， 3 1 )(=typ )() 3 1 ( 3 21 tececy tt zs e+= ，代入初始条件，0 3 1 )0()0( 21 =+=ccyy zs 03)0()0( 21 =ccyyzs，解得 6 1 , 2 1 21 =cc 零状态响应，)() 6 1 2 1 3 1 ( 3 teey tt zs e +=； 全响应，).() 6 5 2 3 3 1 ( 3 teeyyy tt zizs e +=+= （2）求零输入响应)(tyzi 当激励为零时，齐次微分方程，0)(4 )( 4 )( 2 =+ty dt tdy dt tyd 特征方程，044 2 =+，解得特征根，2 21 =，则齐次解 t zi etccty 2 21 )()( +=，代入初始条件，4, 2)0(, 1)0( 2 1 =cycy 即零输入响应，)() 14()( 2 tetty t zi e +=； 求零状态响应)(tyzs，)()(tetx te =； 设方程的特解， t p ecty = 0 )(，代入微分方程得， t p ety = 2)( tt zs eetccy +=2)( 2 21 ，代入初始条件，2, 02)0( 11 =+=ccyzs 1, 01)0( 22 =+=ccyzs 零状态响应，)(2)2( 2 teety tt zs e +=； 全响应，)(2) 13( 2 teetyyy tt zszi e +=+=。 3-3 已知系统微分方程 2 2 ( )( )( ) 56 ( )2( ) d y tdy tdx t y tx t dtdtdt +=+ 求单位冲激响应。 解： ()( )()( ) 2 5621ssY ssX s+=+( )( )( )1x ttX s= ( )()( ) 23 35 tt y teete = + 3-4 已知系统微分方程 ( )( ) 2 ( )( ) dy tdx t y tx t dtdt += 求冲激响应和阶跃响应。 解：对系统两边求拉斯变换得，)()()(2)(sXssXsYssY=+ 当输入信号为单位冲激信号，),()(ttx=即1)(=sX 2 3 1 2 1 )( + = + = ss s sY 求拉斯逆变换得系统的单位冲激响应，)(3)()( 2 tetth te =； 当输入信号为阶跃信号时， s sXttx 1 )(),()(=e 2 2 3 2 1 )2( 1 )( + += + = ssss s sY 求拉斯逆变换得系统的阶跃响应，)() 2 3 2 1 ()( 2 tety t e +=。 3-5 计算下列函数的卷积 12 ( )( )x tx t。 （1） 1( ) ( )x tte=， 2 2( ) ( ) t x tete = （2） 1( ) ( )x ttte=， 2( ) ( )(2)x tttee= （3）)()( 2 1 tetx te =，)2()()( 2 =tttxee （4） 2 1( ) 2( ) t x tete =， 2( ) 3( ) t x tete = 解：(1) 根据卷积定义， ee dtedtxxtxtx t )()()()()()( )(2 0 2 0 121 = )()1 ( 2 1 2 1 2 0 )(2 0 )(2 teede ttt t t e =； （2）根据卷积定义， eeedttdtxxtxtx)2()( )()()()()( 0 2 0 121 = ( ) 2 21 56 s Y s ss + = + 35 23ss =+ + ( )( ) ()() ()() ()() 22 0202 222 ( ) ( )(2)2 ( )(2) ( )2(2)2 ( )(2)(2)(4) 2 111 ( )(2)(2 020222 tttt y tx th t ttd tt d tt dtdtdtdt ttt ttt e e ee e ee e e ee e e e e e eee = = = + =+ = ()()() () 2 22 22 222 2 1 )(4) 22 1 ( )4(2)2(2)24(4) 2 11 ( )2(2)2(4) 22 t t tttttttt tttttttt e eeee eee + =+ =+ )2()2( 2 1 )( 2 1 )2()()()( 22 2 0000 = = tttt dddtdt tt ee eeee ； （3）根据卷积定义， eee dttedtxxtxtx)2()( )()()()()( 0 2 2 0 121 = )2() 1( 2 1 )() 2 1 2 1 ( )2()()()( 422 )(2 2 00 2 0 2 0 2 += = = + tete dede dtedte tt t tt ee eeee ； （4）根据卷积定义 ee dteedtxxtxtx t )(3)(2)()()()( )( 0 2 2 0 121 = )()(6 )(6 )()(6 2 0 )( 0 )( tee tde dte tt t t t e e ee + + = = = 3-6 已知某 LTI 系统的冲激响应( )( )(2)h tttee=，求输入为下列函数时的零状态响应。 （1）( )(2)(3)x tttee= （2）( ) ( )(2)x ttttee= 解：解：系统的零状态响应，)()(thtxyzs= （1）)2()()3()2()()(=ttttthtxyzseeee )5()5()4()4()3()3()2()2( )2()3()2()2()()3()()2( += += tttttttt tttttttt eeee eeeeeeee （2）法一：定义式 法二：利用卷积的移位、积分性质 ( )( ) ( ) ( )(2)( )(2) ( )( )(2)( )( )(2)(2)(2) y tx th t ttttt tttttttttttt eeee eeeeeeee = = =+ () ( )( ) ( ) 1 0 2 ( )( )( )( ) 1 2 tt tttttt ddt tt eee e e e = = = ()() 21 ( )(2)22 2 ttttteee= ()() () 2 2 (2)(2) 1 244 2 1 44 2 ttt tt ttt ee e e = = () 222 11 ( )( )2(2)2(4) 22 y ttttttttteee =+ 3-7 已知当输入( )( ) t x tete =时，某 LTI 系统的零状态响应为 23 ( )(34) ( ) ttt zs yteeete =+ 求（1）系统函数； （2）系统的冲激响应； （3）描述该系统的微分方程。 解： （1） 1341 ( )( ) 1123 X sY s ssss =+ + 2 341 ( )28 123 ( ) 1 ( )56 1 Y ss sss H s X sss s + + + = + + （2） 42 ( ) 23 H s ss =+ + )()(*)(tttteee= ( )( )d( )d ( )( ) ( )d ttt xhxh tx th = () ()() ()() 1 2 2 (2)( )(2)( ) 22 1 42 2 tt tttttt ddt tt eee e e e = = = () ()() ()() 2 2 (2)( ) 2(2)( )2 (2)( ) 1 2(2)22(2) 2 1 42 2 ttt ttttt tttt tt ee eeee ee e =+ =+ = )(*)()(*)()(*)( 211221 thtttxtthttxtthttx= ( ) 1 ( )h tLH s =()( ) 23 42 tt eete = （3） 2 ( )28 ( ) ( )56 Y ss H s X sss + = + ()() 2 56( )28( )ssY ssX s+=+ 2 2 ( )( )( ) 56 ( )28 ( ) d y tdy tdx t y tx t dtdtdt +=+ 3-8 已知某 LTI 系统的阶跃响应 2 ( )(1) ( ) t s tete =，欲使系统的零状态响应为 )()1 ()( 22 tteety tt zs e = 求系统的输入信号( )x t。 解：系统的阶跃响应)()1 ()( 2 tets t e =,则求其拉斯变换得， 2 11 )( + = ss sS, 得， 2 2 1 )( )( + = s s sS sY， 系统的单位冲激响应， 2 2 1 )( )( + = s sY sH， 当系统的零状态的响应)()1 ()( 22 tteety tt zs e =， 则 22 )2( 4 )2( 1 2 11 )( + + = + + = ss s sss sY， 得 )2(2 11 )2(2 4 )( )( )( + = + + = ssss s sH sY sX， 求拉斯逆变换得系统的输入信号，)() 2 1 1 ()( 2 tetx t e =。 3-9 如题 3-9 图所示电路是最平幅度型（巴特沃思（Butterworth） ）三阶低通滤波器，他接于 电源（含内阻 R）与负载 R 之间。已知 L=1H，C=2F，R=1，求系统函数 2 1 ( ) ( ) ( ) Us H s U s =及其 阶跃响应。 R RC LL 2( ) u t 1( ) u t 题 3-9 图 解：设通过电容 C 的电流为)(tic，通过负载电阻的电流为)( 1 ti， 根据 KVL,KCL,可列方程 )( )()()( )( )()( )( )()()( )( )()( )( )( 2 2 2 2 2 2 3 2 32 1 1 2 2 2 2 2 2 1 tu dt tdu R L dt tud CL dt tud R CL tu dt titid Ltu dt tdu C dt tud R LC dt tdu Cti tu dt du R L tu R tu ti c c cc c c +=+ + = += += = )(2 )( 4 )( 4 )( 2 2 22 2 2 2 tu dt tdu dt tud dt tud += 两边求拉斯变换得，)(2)(4)(4)(2)( 222 2 2 3 1 sUssUsUssUssU+= 得 ) 122(2 1 )( 23 + = sss sH， 阶跃响应， ) 122(2 11 )()( 23 + = sssss sHsY， 对其两边求拉斯逆变换得阶跃响应， )() 2 3 sin( 3 2 1( 2 1 )( 2 1 tteety t e +=。 3-10 已 知 系 统 函 数 2 ( )2(4) ( ) ( )22 Y ss H s X sss + = + ， 初 始 值(0 )1y =，(0 )0y =， 输 入 ( )2cosx tt=，求0t 时的全响应。 解：求零输入响应， 特征方程，022 2 =+ ss得特征根11, 11 21 jsjs=+=， 得该方程的齐次解为，tectecy tt zi sincos 21 +=， 代入初始条件，, 0)0(, 1)0( = yy得1, 1 21 =cc，得 tetety tt zi sincos)( +=； 求零状态响应，输入信号，ttxcos2)(=，得 1 2 )( 2 + = s s sX， ) 1)(22( )4(4 )()()( 22 + + = sss ss sXsHsY 1 5 28 5 24 1) 1( 5 32 ) 1( 5 24 22 + + + + + = s s s s ， 求拉斯逆变换得零状态响应， tttetety tt zs sin 5 28 cos 5 24 sin 5 32 cos 5 24 )(+= ； 即全响应，tetetttytyty tt zszi sin 5 21 cos 5 19 sin 5 28 cos 5 24 )()()( +=+=。 3-11 求下列系统函数的零极点，并定性绘出系统冲激响应的波形。 （1） 2 ( ) 0.3 H s s = ， （2） 2 5 ( ) 10125 s H s ss = + ， （3） 2 10 ( ) 20500 s H s ss + = + 解： （1）系统的极点3 . 0=p，系统的冲激响应，)(2)( 3 . 0 teth te =， （2）系统的零点5 1 =z，极点105,105 21 jpjp=+=， 系统的冲激响应teeeeeeth ttjjttjtj 10cos)( 2 1 2 1 2 1 )( 510105)105()105( =+=+= + ； （3）系统的零点10 1 =z，极点2010,2010 21 jpjp=+=， 系统的冲激响应teeeth ttjtj 20cos)( 2 1 )( 10)2010()2010(+ =+=。 3-12 已知连续时间系统的单位冲激响应，求系统的系统函数、描述系统的微分方程，并判断 系统是否稳定。 （1）)()()(tetth te =； （2）)()1 ()(teth t e =； （3）)()(tteth te =； （4）)()(2)( 2 teeth tt e =。 解： （1） 1 )( + = s s sH ；)()()(txtyty=+ ； 系统的极点 p=-1，稳定 （2） ss sH + = 2 1 )( ；)()()(txtyty=+ ； 系统的极点 p=0，-1，不稳定 （3） 12 1 )( 2 + = ss sH ；)()()(2)(txtytyty=+ ； 系统的极点 p1,2=-1，稳定 （4） 23 2 )( 2 + = ss sH ；)(2)(2)(3)(txtytyty=+ ； 系统的极点 p=-1，-2，稳定 3-13 已知连续时间系统的系统函数，求系统的冲激响应、描述系统的微分方程，并判断系统 是否稳定。 （1） 2 1 )( + = s sH； （2） 22 1 )( 2 + = ss sH； （3） 22 1 )( 2 + + = ss s sH； （4） 22 1 )( 2 2 + + = ss s sH。 解： （1）=)(th)( 2 te te ；)()(2)(txtyty=+ ；稳定 （2） 1) 1( 1 22 1 )( 22 + = + = sss sH =)(th)(sintte t e ；)()(2)(2)(txtytyty=+ ；稳定 （3） 1) 1( 1 22 1 )( 22 + + = + + = s s ss s sH =)(th)(costte t e ；)()()(2)(2)(txtxtytyty+=+ ；稳定 （4） 1) 1( 12 1 22 1 )( 22 2 + + = + + = s s ss s sH =)(th)(sincos2)(ttetet tt e + ；)()()(2)(2)(txtxtytyty+ =+ ；稳定 3-14 已知系统微分方程为 2 2 ( )( ) 56 ( )( )(1) d y tdy t y tx tx t dtdt +=，求该系统的频率响应。 解： () () 2 56( )1( ) j jjYeX += 2 ( )1 ( ) ( )56 j Ye H Xj = + 3-15 已知某 LTI 系统的频率响应为 1 ( ) 5 H j = + ，输入信号为 4 ( )( ) t x tete =，求系统的零 状态响应。 解：输入信号的傅里叶变换， 4 1 )( + = j X 0 j 0 e )()( t Xttx )()j ( d )(d FX t tx n n n = 则 )5( 1 )4( 1 )5)(4( 1 )()()( + + = + = jjjj XHY 求傅里叶反变换得零状态响应，)()( 54 teey tt zs e =。 3-16 已知某 LTI 系统的频率响应为 1 ( ) 1 j H j = + ，当输入信号为阶跃信号时，求系统的零 状态响应。 解：当输入信号为阶跃信号时，)( 1 )( += j X )( 1 ( 1 1 )()()( + + = jj j XHY 系统的零输入响应，)()21 ()()( 1 teYFty t zs e =。 3-17 已知某 LTI 系统的频率响应为 1 ( ) 1 H j = + ，输入信号为( )sinsin3x ttt=+，试求响应 ( )y t，示意画出( )x t与( )y t的波形，讨论经传输产生的失真问题。 解: ( )()()()()3311+=jX ( )( ) ( )()()()()3311 1 + + = j j XHY ( )()()()() de j j ty tj + + =3311 12 1 + + + + + = tjtjtjtj e j e j e j e j j )3()3()1()1( 1)3( 1 1)3( 1 1) 1 ( 1 1) 1( 1 2 += 3 )3( 3 )3( 4 )1( 4 )1( 1010 22 2 jarctg tj jarctg tj j tj j tj e e e e e e e ej () + = + + 3333 44 10 1 2 1 2 1 jarctgtjjarctgtj jjtjjt eeee j ()() () + = 333344 2 1 10 1 2 1 2 1 arctgtjarctgtj tjtj ee j ee j )249. 13sin(316. 0)785. 0sin(707. 0) 3arctan3sin( 10 1 ) 4 sin( 2 1 )(+=ttttty )3sin()sin()(tttx+= 该系统是一个低通滤波器。从输出信号看，该滤波器不但改变了输入信号中每个频率分 量的幅度，也改变了各频率分量的相位。 3-18 已知某 LTI 系统的频率响应为 2 ( ) 2 j H j = + ，输入信号为( )cos(2 )x tt=，求该系统的 响应( )y t。 解：输入信号)2cos()(ttx=进行傅里叶变换得 )2()2()(+=X )2()2( 2 2 )()()(+ + = j j XHY 该系统的响应，teeeeYFty tjtj 2sin)()( 2902901 = 3-19 电路如题 3-19 图所示，求电压( )u t对输入电流( )i t的频率响应 ( ) ( ) ( ) U H I =，为了能 无失真地传输，试确定 R1、R2的值。 ( )i t 1 R 2 R 1H1F + _ ( )u t 题 3-19 图 解： ( ) ( ) ( ) 0 j t ke X Y H = () () 12 12 12 2 12 2 1 1 22 2 2 12 1 ( ) ( ) ( )1 ()(1) () 1 1 () 1 RjR jV H I RjR j Rjj R jRR R jR RR R jRR + = + + = + + = + 无失真传输的条件为 112 2 1 2 1 1 RRR R R R +=+ = 12 1 RR= 3-20 如题 3-20 图所示电路为由电阻 R1、R2组成的分压器，分布电容并接于 R1和 R2两端， 求频率响应 2 1 ( ) ( ) ( ) U H U =，为了能无失真地传输，电阻和电容应该满足何种关系？ 1 R 2 R 1 C 2 C + _ 1( ) u t 2( ) u t 题 3-20 图 解： )( 1 1 1 1 1 1 1 )( )( )( 2121 21 11 21 1 1 1 2 2 2 2 1 2 CCRR RR j CR j CC C Cj R Cj R Cj R U U H + + + + + = + + + + = 其幅频特性为 2 21 2 2 2 1 2 2 2 12 2 1 2 1 2 21 1 )( )( 1 )( CCRR RR CR CC C jH + + + + + + = 相频特性为 21 2121 11 )( arctanarctan)( RR CCRR CR + + = 若要无失真传输，相频特性必为过原点的一条直线，则有 21 2121 11 )( RR CCRR CR + + = 即 2211 CRCR= 检验， 21 1 )( CC C jH + =为常数，此时系统满足无失真传输条件。 3-21 理想高通滤波器的幅频和相频特性如题 3-21 图所示，求该滤波器的冲激响应。 O ( )H 1 c c O ( ) d t 题 3-21 图 解：由傅里叶变换得 deeeFdejHHFth tjtjtjtj c c dd = 2 1 )()( 2 1 )()( 11 )()( )( )(sin )( dc c d dc dcc d ttSatt tt tt tt= = 3-22 如题 3-22 图 （a） 所示系统， 已知冲激响应 sin5 ( ) t h t t =， 输入信号( )x t的频谱如题 3-22 图（b）所示，求输出( )y t的频谱，并画出频谱图。 ( )x t( )y t cos(5) t ( )h t )2cos(t 1 ( )X O （a） （b） 题 3-22 图 解：)5(5 5 )5sin(5)5sin( )(tSa t t t t th = 傅里叶变换)5()5()()(ee+= HthF 设)2cos()()(ttxte= )2()2( 2 1 )()(+=XXEteF, 设经过滤波器输出为 g(t)，则)()()( 1 HEFtg =, )2()2( 2 1 )(+=XXG 有（a）图可得，)5()5( 2 1 )5cos()()(+=GGttgFY )7()3()3()7( 4 1 +=XXXX 3-23 如题 3-23 图（a）所示系统中，带通滤波器（BP）的幅频响应如题 3-23 图（b）所示， 相频响应( )0 =。若输入信号)1000cos()(, 2 2sin )( 21 ttx t t tx= ，试求其输出信号( )y t。 BP 1( ) x t 2( ) x t 12 ( )( )x t x t ( )y t 1 ( )H O 1000-1000 -999-10019991001 （a） （b） 题 3-23 图 解：)2( 1 2 )2sin( )( 1 tSa t t tx = ( )( ) 14 1 , 2 XR= 其中( )()() 22 R e e =+ 2( ) (1000)(1000)X =+ )(H )(ty )( 2 tx )( 1 tx 调制滤波 ( ) ()() 124 44 11 F( )( ) (1000)(1000) 22 1 10001000 4 x tx tR RR =+ =+ )(*)( 2 1 )()( 2121 XXtxtxF= )(H 1 10019999991001 10001000 )()( 21 txtxF 1002998998 1002 10001000 4 1 ( ) ()() ( )()() 12 22 2 F( )( )( ) 1 10001000 4 1 10001000 4 Yx tx tH RR R = =+ =+ )1000cos()( 2 1 )1000cos( 1 )( 1 2 4 1 )(ttSattSaty = 3-24 题 3-24 图（a）是抑制载波振幅调制的接收系统。低通滤波器（LP）的幅频响应如题 3-24 图 （b） 所示， 相频响应( )0 =。 若输入信号 1 sin ( )cos(1000 ) t x tt t =， 2( ) cos(1000 )x tt=， 试求其输出信号( )y t。 LP 1( ) x t 2( ) x t 12 ( )( )x t x t ( )y t 1 1 ( )H O1 （a） （b） 题 3-24 图 解：设)12000(cos 2 1 sin )1000(cos sin )()()( 2 21 +=t t t t t t txtxte )( 1 )2000cos()( 1 2 1 tSattSaF += )1() 1( 2 1 )2001()1999()1999()2001( 4 1 )1() 1()2000()2000()1() 1( 2 1 2 1 += += eeeeee eeee )1() 1( 2 1 )()()(+=eeHEY 对其求傅里叶逆变换得输出信号)( 2 1 )(tSaty =。 习题 4 4-1 确定下列信号的最低抽样频率， （1）)100sin(t； （2）)50sin()100sin(tt +； （3）)100(sin 2 t； （4）)60(sin)100sin( 2 tt +。 解：最小采样频率 ms 2=。 （1）srad ms /20010022=； （2）srad ms /20010022=； （3） 2 1200cos2 )100(sin 2 = t t，srad ms /40020022=； （4）) 1120cos2( 2 1 )100sin()60(sin)100sin( 2 +=+tttt， srad ms /24012022=。 4-2 有限频带信号)(tx的最高频率为 100HZ，若对下列信号进行时域采样，求最小采样频率 s f。 （1）)3( tx； （2）)( 2 tx （3）)2()(txtx； （4）)()( 2 txtx+。 解：)(tx的最高频率为 s f=100Hz，信号进行时域采样时最小采样频率 ms ff2=； （1）) 3 ( 3 1 )3( XtxF=,)3( tx的最高采样频率3001003= m fHz； 信号进行时域采样时最小采样频率 60030022= ms ffHz。 （2）)()( 2 1 )( 2 XXtxF=,)( 2 tx的最高采样频率2001002= m fHz， 信号进行时域采样时最小采样频率40020022= ms ffHz; (3) ) 2 ( 2 1 )()2()( XXtxtxF=,)2()(txtx的最高采样频率100= m fHz, 信号进行时域采样时最小采样频率20010022= ms ffHz。 （4）)()( 2 1 )()()( 2 XXXtxtxF+=+,)()( 2 txtx+的最高采样频率 200= m fHz，信号进行时域采样时最小采样频率40020022= ms ffHz。 4-3 两信号)( 1 tx与)( 2 tx的傅里叶变换为 =X 22 0)(=X 试决定抽样信号 S( ) y t经过理想低通滤波器重现( )y t时的最大抽样周期 S T。 )( 1t x )( 2t x )(tp )(ty )( St y 题 4-4 图 解：)()( 2 1 )()()( 2121 XXtxtxFY=, )( 1 X,)( 2 X最高角频率 2211 ,= ss ，则)(Y的最高角频率为)(2 21 += s ； 则经过抽样信号)(tys的最大抽样周期 )()(2 22 2121 + = + = m S T。 3 4-5 若连续信号)(tx的频谱)(X如题图所示。 （1）利用卷积定理说明当 12 2=时，最低采样频率只要等于 2 就可以使抽样信号不 产生频谱混叠； （2）证明带通抽样定理，该定理要求最低抽样频率 S 满足下列关系 m 2 S 2 = 其中 m 为不超过 12 2 的最大整数。 )(X 1 O 1 2 2 )(X 1 O 1 2 2 s 题 4-5 图 题 4-5 图（1） 解： （1） 11 ( ) ( ) ( )( )( )() 2 k SS k S XF x t p tXPXk T = = = ， 采样信号的频谱)( S X是周期信号为 s 的周期函数， 由)( S X的频谱可知， 当 s21 2= 时，频谱如题 4-5 图（1）所示。由图可见，抽样信号不会发生频谱混叠。 （2）证明：此题的证明过程较为复杂，以下只做简要说明。 如果按照低通信号的抽样定理对( )x t抽样，最低抽样频率为 2 2。当 2 比较大时，抽样 频率就比较高。注意到( )x t为实带通信号， 一般而言，信号的带宽 21 B=远远小于 2 ， 如果将它的正频率部分搬移至低频，如图（2）所示，则抽样频率就有可能减少。一般来说， ( ) 1 x t为复信号。 如果令 12 c 2 + =，( )( )( ) 11r1i x txtjxt=+，则有 ( )( ) ( )()( )() c 1 1rc1ic Re cossin jt x tx t e xttxtt = = 把带通信号转换成低通信号进行抽样的框图如图（3）所示。由图（2） ，对( ) 1 x t的实 部和虚部进行抽样的频率都为B，所以抽样频率为() s21 22B=。 假定上限频率 2 是带宽B的整数倍，即 2 mB=，或 2 21 m = ，则抽样频率 2 s 2 m = 4 可以证明用( )x t的偶数样本能够得到低通信号分量( ) 1r xt的样本，而用( )x t的奇数样 本能够得到低通信号分量( ) 1i xt的样本。 如果上限频率 2 不是带宽B的整数倍，可加宽信号的带宽，使之满足整数倍关系。由 于带宽加宽后的信号包括了原信号的谱，因而也就能恢复出原信号。 由以上分析得出：最低抽样率满足 2 s 2 m =，其中 m 为不超过 2 21 的最大整数。 )(X O 1 ( )x t () c cost () c sint A/D A/D ( ) 1r xt ( ) 1i xt 低通滤波器 低通滤波器 输出 输出 时钟振荡器 带通信号 题 4-5 图（2） 题 4-5 图（3） 4-6 写出图示各序列的闭合形式表示式和逐个列出序列值的表示式。 (1) (2) (3) (4) 题 4-6 图 解：(a) )(nx的闭合形式 1 2n )(nx= )2()(+=nnx 0 n 为其他 （b）)(nx的闭合形式 1 63 n )(nx= )7()3()(=nnnx； 0 n 为其他 （c）)(nx的闭合形式 1 2n )(nx= )2()(+=nnx； 0 n 为其他 5 （d）)(nx的闭合形式 n ) 1( 0n )(nx= )() 1()(nnx n =。 0 n 为其他 4-7 用单位样值序列( )n的加权和表示题 4-7 图所示的序列。 x(n) -3 -2-1 O 123