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第4章 平行四边形,4.5 三角形的中位线,三角形的中位线,例1 （1）在ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，若BC=5，则DE的长为（ ） A. 2.5 B. 5 C. 10 D. 15 （2）如图，ABC中，D是AB上一点， 且AD=AC，AECD于点E， F是BC的中点. 求证：BD=2EF.,分析：（1）由D，E分别是边AB，AC的中点可知，DE是ABC的中位线，根据中位线定理即可求得DE的长； （2）要证BD=2EF，由于F是BC的中点，则只需证E是CD的中点即可.,解：（1）A （2）AD=AC，AECD，CE=DE. 又F是BC的中点，则EF是CBD的中位线. BD=2EF.,注意点：中位线定理是说明线段倍分关系的重 要定理，也是证明直线平行的一种特殊方法.,三角形中位线的应用,例2 如图，AD是BAC的外角平分线，CDAD于点D，E是BC的中点. 求证：DE= (AB+AC).,分析：直接证明DE= （AB+AC）比较困难，注 意到E是BC的中点，联想到三角形的中位线定理，于是延长CD与BA交于F点，只需证D是CF的中点及AF=AC即可.,证明：如图，分别延长CD，BA交于F点. AD是BAC的外角平分线，CAD=FAD. CDAD，ADC=ADF=90，ACD=F，AC=AF，CD=DF. 即D是CF的中点. E是BC的中点，DE= (AB+AF)= (AB+AC).,注意点：应用三角形的中位线定理解决倍分问题时，常将线段加倍或折半.,例3 如图，已知在四边形ABCD中，AB=CD，E，F分别为AD与BC的中点，连结EF与BA的延长线相交于点N，与CD的延长线相交于点M. 求证：BNF=CMF.,分析：BNF和CMF并不处于同一个三角形中， 也难找到一对全等的三角形，故需要考虑将这两 个角转移.,证明：如图，连结AC，取AC的中点K，再连结KE，KF. E，K分别为AD与AC的中点. EKDC，且EK= DC，同理FKAB，且FK= AB， BNF=MFK，FEK=CMF. 又AB=CD，EK=FK， MFK=FEK， BNF=CMF.,注意点：从添辅助线的角度来看，遇到中点或中线时，可考虑是否将中线延长一倍. 当出现两个中点时，可以连结它们构造中位线来解题，如本例中通过中位线把两个角平移到同一个三角形中去，使它们处于同一个三角形或一对能够全等的三角形之中.,例 如图，在ABC中，ACB=52，点D，E分别是AB，AC的中点. 若点F在线段DE上，且AFC=90，则F
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