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,第十一章,积分学 定积分二重积分三重积分,积分域 区 间 平面域 空间域,曲线积分,曲线弧,曲面域,曲线积分,曲面积分,对弧长的曲线积分,对坐标的曲线积分,对面积的曲面积分,对坐标的曲面积分,曲面积分,曲线积分与曲面积分,第一节,一、对弧长的曲线积分的概念与性质,二、对弧长的曲线积分的计算法,对弧长的曲线积分,第十一章,二、对弧长的曲线积分的计算法,基本思路:,计算定积分,定理:,且,上的连续函数,是定义在光滑曲线弧,则曲线积分,求曲线积分,说明:,因此积分限必须满足,(2) 注意到,因此上述计算公式相当于“换元法”.,如果曲线 L 的方程为,则有,如果方程为极坐标形式:,则,推广: 设空间曲线弧的参数方程为,则,例1. 计算,其中 L 是抛物线,与点 B (1,1) 之间的一段弧 .,解:,上点 O (0,0),例2. 计算半径为 R ,中心角为,的圆弧 L 对于它的对,称轴的转动惯量 I (设线密度 = 1).,解: 建立坐标系如图,则,例3. 计算,其中L为双纽线,解: 在极坐标系下,它在第一象限部分为,利用对称性 , 得,例5. 计算,其中 为球面,被平面 所截的圆周.,解: 由对称性可知,例6. 计算,其中 为球面,解:,化为参数方程,则,内容小结,1. 定义,2. 性质,( l 曲线弧 的长度),3. 计算, 对光滑曲线弧, 对光滑曲线弧, 对光滑曲线弧,补充,1. 已知
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