六七八数理统计详细答案.doc

第六、七、八章 数理统计（抽样分布、参数估计、假设检验）一、 思考题1统计抽样工作中，得到的都是具体数值，即样本值。为什么说样本是随机变量？2参数的区间估计中，参数与置信区间谁是随机的？3假设检验中两类错误的关系如何？要想同时减少犯两类错误的概率，办法是什么？4在单边检验问题中，建立原假设与备择假设的原则是什么？二、单项选择题1. 设是来自正态总体的一个简单随机样本，为样本均值，则（ ）。（A） （B） （C） （D）2. 设是来自正态总体的一个简单随机样本，和S2分别为样本均值和样本方差，则（ ）。（A） （B） （C） (D)3. 设是来自正态总体N(0,1)的一个样本，则下列统计量中，服从自由度为n-1的 分布的是 （ ）。（A）（B）S2 （C）(n-1) （D）(n-1)S24. 设是来自正态总体的一个样本，则下列统计量中，服从自由度为n-1的t分布的是 （ ）。 （A）（B）（C）（D）5. 设随机变量，则（ ）。（A） （B） （C） （D）6. 总体均值的95%置信区间的意义是指这个区间 （ ）。（A）平均含总体95%的值 （B）平均含样本的95的值（C）有95%的可能含的真值 （D）有95%的可能含样本均值7. 设是来自总体X的样本，E(X)= ，D(X)=2，则可以作为2的无偏估计量的是（ ）。（A）当为已知时， （B）当为已知时，（C）当为未知时， （D）当为未知时，8. 设和是总体参数的两个估计量，说比更有效，是指 （ ）。（A）（B）（C） （D）9 设总体X服从正态分布，其中2已知，当样本容量固定时，均值的置信区间长度L与置信水平1的关系是（ ）（A）当1减小时，L变小 （B）当1减小时，L增大（C）当1减小时，L不变 （D）当1减小时，L增减不定10. 设是来自总体X的样本， D(X)=2，样本方差为S2，则（ ）（A）S是的矩估计量 （B）S是的极大似然估计量（C）S是的无偏估计量 （D）S是的一致估计量11设是参数的无偏估计量，且，则（ ）是的无偏估计量。（A）一定 （B）不一定（C）一定不 （D）可能12. 从正态总体中抽取容量为9的样本，测得样本均值=15，样本方差s2=0.42，2未知时，总体期望的置信度为0.95的单侧置信下限为 （ ）（A） 15-(0.4/3)1.8595 （B）15-(0.4/3)1.8331 （C） 15-(0.16/9)1.8595 （D）15-(0.16/9)1.833113 对正态总体的数学期望进行假设检验。如果在显著性水平0.05下，接受原假设Ho: =o，那么在显著性水平=0.01下 （ ）。（A）必接受Ho（B）可能接受，也可能拒绝Ho（C）必拒绝Ho（D）不接受，也不拒绝Ho三、填空题 1设为来自总体X的一个简单随机样本，则 服从的分布为 。(注明参数)2设总体X的密度函数为，为X的一个简单随机样本，S2为样本方差，则E(S2)= 。3设是来自总体的一个简单随机样本，是样本均值，则 ， 。4设总体X的密度函数为，为来自该总体的一个简单随机样本，则参数的矩估计量为 。5已知,是未知参数的两个无偏估计，且与不相关，。如果也是的无偏估计，且是,的所有同类型线性组合中方差最小的，则a= ，b= 。四、计算题1. 设为正态总体的一个样本，。求（1）；（2）所服从的分布。2. 设X1，X2，X3，X4是来自正态总体N(0,1)的一个样本，令Y=(X1+X2)2+(X3+X4)2，若统计量CY服从，求常数C。3. 设为正态总体的一个样本，为使，求样本容量n的取值。4. 设是正态总体的一个样本，求概率（1）；（2）5. 设从正态总体抽取一个容量为9的样本，测算得，S2=1。（1）若总体方差，求总体期望的置信度为0.95的置信区间（2）若总体方差未知，求的置信度为0.95的置信区间6. 设总体X，为使的置信度为0.95的置区间的长度不大于0.16，求抽取的样本的容量n的取值范围。7. 设总体X的密度函数为，其中未知参数。为X的一个样本，求的矩估计量。8. 设总体X的密度函数为，其中未知参数。为X的一个样本。（1）求的最大似然估计量；（2）证明为的无偏估计（3）求。 9. 设总体X的概率密度为，其中是未知参数。从总体X中抽取简单随机样本，记=min。（1） 求总体X的分布函数；（2） 求统计量的分布函数；（3） 如果用作为的估计量，讨论它是否具有无偏性。10 设总体的概率密度为 其中（00，为来自总体的简单随机样本。求参数a,b的最大似然估计量。12假设0.50，1.25，0.80，2.00是来自总体X的简单随机样本。已知服从正态分布， （1）求X的数学期望E(X)（记E(X)为b）； （2）求的置信度为0.95的置信区间； （3）利用上述结果求b的置信度为0.95的置信区间。13. 设是取自均匀分布总体的一个样本，若把，分别作为的估计量，问是否分别为的无偏估计量？如何修正，才能得到的无偏估计。14. 某溶液中的水分服从正态分布，总体均值为。现抽取一容量为10的样本，测算得，。在水平下，检验假设；。15. 酒厂用自动装瓶机装酒，每瓶规定重量为500克，标准差不超过10克。某天取样9瓶，测算得，。假设瓶装酒的重量X服从正态分布。问这天机器工作是否正常。（）16. 设总体服从01分布，参数未知，是取自此总体的一个样本，为样本均值，则对每个，样本容量应取多大才能使。17. 设样本为总体的样本，其中未知。设随机变量是关于的置信度为的置信区间的长度，求。18. 设总体X服从二项分布b(n,p)。检验假设H0:p=0.6，H1:p0.6，检验的拒绝域取为。设n=10，C1=1，C2=9，求显著性水平和p的真值为0.3时的第二类错误的概率。19. 关于正态总体的数学期望有如下二者必具其一的假设，H0: m=0和 H1: m1。考虑检验规则：当时拒绝H0接受H1，其中，而是来自总体X的一个样本。求犯第一类错误的概率a和犯第二类错误的概率b。五、证明题1设为正态总体的一个样本，试证统计量 。2. 设为正态总体的一个样本，试证对任意固定的，是的无偏估计，其中是标准正态分布函数。3. 设为来自正态总体的一个简单随机样本，。证明：统计量服从自由度为2的分布。第六、七、八章 数理统计 参考答案（抽样分布、参数估计、假设检验）二、 思考题1 统计抽样工作中，得到的都是具体数值，即样本值。为什么说样本是随机变量？因为总体有各种取值，统计抽样工作中，得到的具体数值只是某一个数值被取到，或者说是某一个结果发生，实际样本同样会有各种取值且抽取之前不清楚哪一个值被抽到，所以说样本是随机变量。2 参数的区间估计中，参数与置信区间谁是随机的？ 置信区间是随机的。3 假设检验中两类错误的关系如何？要想同时减少犯两类错误的概率，办法是什么？设犯第一类错误，即原假设成立而放弃原假设，也即弃真的概率为，犯第二类错误，即原假设不成立而接受原假设，也即取伪的概率为，在样本容量不变的情况下，减小则加大，加大则减小。要想同时减小犯两类错误的概率，应该加大样本容量。4 在单边检验问题中，建立原假设与备择假设的原则是什么？从题目的问法可以直接得到一个假设，其对立的论断为另一个假设。因为两个假设中有且仅有一个含等号，我们总是将含等号的假设作为原假设，不含等号的作为备择假设，这样当原假设中等号成立时，就可以确定检验统计量的分布了。二、选择题1. （B） ， ， 当n1，显然。结论：XN（，2）， 在左右同样距离，方差小者概率大。2. （C）设, YiN(0,1)，且Y1,Yn相互独立,.3. （D） 4. （A）, , , 与S2相互独立 5 （C） 设UN(0,1), V,则 . （注 ）6.（C）7.（A）8.（D）比较有效性的前提是都是无偏估计。9.（A）2已知时，的置信区间长度，当1减小时，增大，而分位点变小，所以L变小。10.(D) 因为S2不是2的矩估计量，所以S不是的矩估计量；最大似然估计量与具体分布有关，不能肯定S是的最大似然估计量；虽然S2是2的无偏估计量，但S不是的无偏估计量；S2依概率收敛到2，由依概率收敛的性质，S依概率收敛到，从而S是的一致估计量。11.(C) 因为，所以一定不是的无偏估计量。12.(A)13.(A) 是犯第一类错误的概率，即拒真的概率，越小，越不容易拒绝H0，故必接受Ho。三、填空题1 F (5，n-5) 。2 2 。提示：可用函数，性质3 n ， n/5 。4 。5. a=0.2，b0.8. 因为是的无偏估计，则，所以。由与不相关，计算求得极小值点为a=0.2，则b0.8。四、计算题1. .，与Xn+1相互独立，2. ， 同理 3. ， ， ， 至少应取164.， 5.（1）（2）6. 置信区间长， n至少取257. 解 的矩估计8.解（1）样本的似然函数为 ， 取对数，令，得， 所以为的最大似然估计量。（2）证明：因为， 所以为的无偏估计。（3）因为， 而， 及， 所以，得。第（2）、（3）问的解法2：可直接求|Xi|即|X|的分布，令Y=|X|，先求其分布函数，求导得概率密度函数，所以，即Y服从参数为的指数分布，。9.解 (1) 当 (2) 的值域为（, 对 (3) 10解：对样本值按照1或者1进行分组：，。 样本的似然函数为 ， ，所以。 11. 解：样本的似然函数为。(*)取自然对数 令得。由于需从似然函数本身出发找a的最大似然估计。由(*)知，固定b，要使达到最大，a应该取最大值，由于所以，当时，达到最大，故a的最大似然估计值为。综上，a ,b的最大似然估计量分别为 ，。 12. 解：（1）Y的密度为，于是 （2）因为，则的置信度为0.95的置信区间为，计算得，于是的置信度为0.95的置信区间是(-0.98,0.98)。 (3) 由（2）知，则，由的单调递增性知，因此b的置信度为0.95的置信区间为。13解：设总体的密度为 ， 其分布函数是 ， 则的密度为， 的密度为 由此可知，不是，的无偏估计。为得到无偏估计可作如下修正：从 可得 ，将其代入中得： 所以 又 ，从而 所以与的无偏估计分别为：， 14.解：设， 当H0真时，对于,查得临界值,得拒绝域为|t|-1.8331 计算 在下，接受H0，认为.15.解：（1）设，当时，检验统计量， 对于，拒绝域为，计算，没有落入拒绝域， 所以不拒绝H0，认为与500没有显著性差异。（2）设， 当时，检验统计量，对于，拒绝域为，计算，落入拒绝域，所以拒绝H0，认为标准差已超过10克。综上，认为机器工作不正常。16. 解： , ，若为未知数，,由此 要对每一个，上述不等式都成立，只要求值使最大，显然时，最大，所以当时，对每一个不等式均能成立。17. 解：当未知时，的置信度为的置信区间为，区间的长度，所以。由于，从而 。18. 解：n=10，当H0真时，Xb(10，0.6)（1）