概率论习题集第七章.pdf

20/ 20学年第学期 概率论与数理统计同步练概率论与数理统计同步练概率论与数理统计同步练 概率论与数理统计同步练 习习习 习 姓名姓名 班级班级 学号学号 任课教师任课教师 1 第七章第七章区间估计区间估计 习题一习题一点估计点估计 一、选择题一、选择题 1. .12;12;2; , 1 x(D)x(C)x(B)x(A) UX的矩估计为则服从均匀分布设总体( ). 2. 设总体X的概率密度是 其它, 0 0, );( 2 2 2 2 xe x f x 则的极大似然估计是 ( ). (A)x;x 2 ; n x n i i 2 1 2 ; n i i x n 1 2 1 .(C)(D)(B) 3. 设总体X服从正态分布),( 2 N其中 2 ,未知. n xxx, 21 是来自该总体的样本, 则 2 的极大似然估计是 ( ). (A) n i i xx n 1 2 )( 1 1 ; n i i xx n 1 2 )( 1 ; (C) n i i x n 1 2 1 ;(D) n i i xx n 1 2 )( 1 1 . (B) 4. 设总体X服从,0上的均匀分布, n XXX, 21 为样本,记X 为样本均值,则下列统计量不是的矩法估计量的是( ). (A)(B) (C)(D)X2 4 . n i i XX n 1 2 2 )( 12 ;X 2 1 1 ; n i i X n 1 2 3 3 ; 2 二、填空题二、填空题 5. 设总体X服从参数为p的两点分布 )1, 0(,)1( 1 kppkXP kk , X为样本均值,则以下结论中错误的是( ). (A)X是p的矩法估计量; (B)的极大似然估计量; (C)的无偏估计量,但不是有效估计量; (D)的一致估计量. X是p X是p X是p 1 设总体), 1(pBX,其中未知参数10p, n XXX, 21 是X 的子样,则p的矩估计为_,子样的似然函数为_. ( xx pppxf)1(),(为X的概率密度函数). , 2. ._, , ,0 0, 3 );( 21 2 3 的矩估计量则是样本均值的样本是 其它 有概率密度设总体 XX XXX xx xf X n 3. 随机地取 8只活塞环, 测得它们的直径为 (单位:mm): 74.001, 74.005, 74.003, 74.001, 73.889, 74.000, 74.006, 74.002 则均值的矩估计是 _; 方差 2 的矩估计是 _. 4. 设总体X具有几何分布, 分布列为 , 2, 1,)1 ( 1 kppkXP k 其中. 10p (1) p的矩估计是 _; p的极大似然估计是 _.(2) 5. 设总体X服从均匀分布., 0U取得容量为 6 的样本值: 0.6, 1.7, 2.2, 0.3, 1.1. 则: (1) 总体均值的最大似然估计是 _; (2) 总体方差的最大似然估计是 _. 1.3, 3 三、解答题三、解答题 1. 设总体X服从正态分布),( 2 N其中,未知. 求 2 XP 的极大似然估计. 2. 设总体服从二项分布B(N, P),其中参数0 PN为正整数, n , 21 为其子样,求N及P的矩法估计量. 1, 3. 设总体X有概率密度函数 x xf 0 0 1 )( (1)试说明 i ni X 1 max 是的极大似然估计量,其中n XX, 1 为X的简单样本; (2)当( 61 ,XX) 时,写出 似然估计,并求的矩法估计. , (1.3, 0.6, 1.7, 2.2, 0.3, 1.1)的极大 , 4 4. 设总体的密度为: xx xf 0 1, 10)1( )( 求参数的极大似比估计. , , 5. n ba XXXXbabaUX21 , , 的极大似然估计与求参数一个样本 是来自未知参数设总体的 . 6. 的最大似然估计量的矩估计量 的样本是来自 的分布率为设总体 pp XXXX xppxXP X n x ),( ,2, 1,)1( 21 1 (1)(2) 试求, ;. 5 7. . , ,2, 1,)1 ()( , 21 1 极大似然估计量 的矩估计与求参数的一个简单随机样本是 即的几何分布服从参数为设总体 PXXXX kPPkXP PX n k 8. .(2);(1) :, 3, 2, 1,2,0,10 )1 (3)1 (3)1 ( 3210 32 23 的矩估计值的极大似然估计值 试求样本值 是来自该总体的简单随机为未知参数其中 的分布律为设总体 pp p ppppppp X X k 6 习题二习题二估计量的评选标准估计量的评选标准 一、选择题一、选择题 1. .; ; ,0)(, 2222 2222 D 的估计量不是的无偏估计量不一定是 的无偏估计量是的无偏估计量不是 则且的无偏估计量是参数设 (A)(B) (C)(D) ( ). 2. .(D);)(C) ;(B);(A) ( ). , 11 11 21 的估计量不是估计量一致的相合是 的极大似然估计量是的无偏估计量是 列结论中正确的是 则下的样本为来自的数学期望为设总体 XX XX XXXXX n 3. 总体X在区间, 0上均匀分布,),( 21n XXX是它的样本, 下列估计量是的一致估计的是( ). (A) n X; (B) n X2; (C) n i n X n X 1 1 ; (D) n XXXMax, 21 ., 则 4. ).1()(D); 1 1)|(|(C) ;(B);(A) ( ). ,1, , 2 2 2 2 2 21 Xn n XP XX XXXXX n 的无偏估计是的极大似然估计是 则 为其样本均值的样本为来自总体设 E X( ) )(XD 5. 的极大似然估计量.是 有效比 的无偏估计是的无偏估计是 是错误的.参数 和并且是未知参数和并且 的样本是来自于总体设 22 1 21 121 2 121 2 2 21 )( 1 , ,)(,)(, n i i n X n XX XX XDXEXXXX (A)(B) (C) (D) ; ; ( ) , 下面结论, ; 是未知 7 二、填空题二、填空题 三、解答题三、解答题 1. .,_ ,32 , 321 321 是的无偏估计量也时当 的无偏估计量是总体分布中参数设 a a 2. ._, ,)( 1 1 ,)( 1 , ),(,)(,)(: 2 1 22 2 1 22 1 21 2 的无偏估计量是总体方差中 则在下面的两个统计量中抽取的一个样本 是从总体满足设总体 n i i n i i n XX n XX n X XXXXDXEX 3. 设 21, 是 2的 2 个独立的无偏估计量, 且假定 ),(2)( 21 DD 令 2211 cc若为的无偏估计, 又使)(D达到最小 , 则 ., 21 cc值 4. 设总体X服从两点分布 又设总体Y也服从两点分布 设 1 , 21n xxx为来自总体X的样本, 2 , 21n yyy为来自总 Y的样本, 2 组样本独立, 则: (1) 21 pp的一个无偏估计是 _; (2) 这一无偏估计的方差是 _. 01 p X 1 p 1 q )10,1( 111 ppq 01 p Y 2 p 2 q )10,1( 222 ppq 体 5. ._)( ,),0(, 2 2 21 的无偏估计量为 则的简单随机样本为来自总体设 XD NXXXX n 1. 设二总体,分别服从),2,(),1,( 21 aNaN分别独立抽取二子样 ),(),( 21 2121nn 试求 21 aaa的无偏估计a.,: 8 2. 设总体服从正态N(a, , 321 ,为其子样, 证明下述三个估计量: (1) 3211 2 1 10 3 5 1 a;(2) 3212 12 5 4 1 3 1 a; (3) 3213 2 1 6 1 3 1 a 等都是a的无偏估计,并求出每一估计量的方差,问那一个最小? 1), a 试 . 3. 设总体X服从正态分布),( 2 N n xxx, 21 是来自X的一 试确定常数c , 使 1 1 2 1 )( n i ii xxc为 2 的无偏估计.个样本. 9 三、四三、四证明题证明题 1. 设总体X的值)(XE已知, 方差)( 2 XD 未知. n x xx, 21 为一样本. 证明: n i i x n 1 2 2 )( 1 是 2 的无偏估计. 2. 设总体X的期望E(X),方差D(X)均存在, 21,x x是X的一个样 本,试证明统计量 (1) 21211 3 2 3 1 ),(xxxxf; (2)都是E(X)的无偏估计量,并说明那一 个较为有效? 21212 6 5 6 1 ),(xxxxf 10 习题三习题三区间估计区间估计 一、选择题一、选择题 1. 对参数的一种区间估计及一个样本观测值),( 21n XXX来说, 下列结论中正确的是( ). (A)置信度越大,对参数取值范围估计越准确; (B)置信度越大,置信区间越长; (C)置信度越大,置信区间越短; (D)置信度大小与置信区间的长度无关. 2. 设),( 21 是参数的置信度为1的区间估计,则以下结论正 确的是( ). (A)参数落在区间),( 21 之内的概率为1; (B)参数落在区间之外的概率为; (C)区间),( 21 包含参数的概率为1; (D)对不同的样本观测值,区间),( 21 的长度相同. ),( 21 3. 设 n XXX, 21 是来自总体X的样本,X的分布由参数和 确定.假定和都未知,为了对区间估计,( ). (A),( 21n XXXfY使得Y的分布与,无关; (B),( 21n XXXfY使得Y的分布与无关,但可与 有关; (C),( 21n XXXfY使得Y的分布与无关; (D),( 21n XXXfY使得Y的分布与无关., 一般是先构造 4. 已知标准正态分布分布函数)(x的函数值: 95. 0)645. 1(, 975. 0)96. 1(, 90. 0)282. 1(. 现有一容量为25n的样本X,已知2X,4D则在置信水 05. 0,E的置信区间为( ). (A)784. 2,216. 1(; (B)658. 2,342. 1(; (C)5128. 2,4872. 1(;(D) 25 96. 12 2, 25 96. 12 2. 平X( ) X( ) , 11 二、填空题二、填空题 三、解答题三、解答题 5. 设总体),( 2 0 NX其中 2 0已知. 取样本 , 1n xx若置信 0.95 的置信区间的长度不大于 0 0.5 , 则 n应不小于( ). (A) 54; (B) 75; (C) 62; (D) 87. 度为 1. .%95,_, , 21 2121 置信区间的是未知参数则称随机区间 如果满足的函数的样本都是总体和设 n XXXX 2. 设总体X服从正态分布),( 2 N其中 2 ,皆未知, 则的 95% 的置信区间是 _.置信度为 3. ._)( _)10(1,0, ,),(, 2 2 21 LE L NXXX n 数学期望 置信区间长度的则未知 其中参数的一个样本为来自正态总体设 _, 4. .95. 0,5 16)1,( 的置信区间是的置信度为则未知参数本均值 的简单随机样本算出样的容量为设由来自正态总体 x N _ 5. ). _, 1.),( 22 需给出表达式 则样本容量至少应取的置信区间的长度不大于 的置信度为为使总体均值已知设总体 L NX (只 1. 岩石密度的测量误差服从)02. 0( 2 N,其中均方差0.2是由容量为 12的子样估计得到,求的90%的置信区间. (注: )23. 5)12( ,03.21)12(,575.4)11(,68.19)11( 2 05. 0 2 95. 0 2 05. 0 2 95. 0 . 12 2. 在总体),( 2 11 NX),( 2 22 NY中分别抽取容量 16 ,13 2 1 n n 的两个独立样本,测得样本方差分别为 15. 2,38. 4 2 2 2 1 SS 求二总体方差比的90%的置信区间. (注: 1 . 2)12,15( ,62. 2)12,15(,02. 2)15,12(,48. 2)15,12( 9 . 0 95. 09 . 095. 0 F FFF ) . 3. 某产品件重近似服从正态分布,随机抽取10件,测得其重量如下 (单位:斤/件) 试对该产品平均件重量进行区间估计.给定 (注:)2281. 2)10(,8331. 1)9(,2622. 2)9( 975. 095.0975.0 ttt. 482 , 493 , 457 , 471 , 510 , 446 , 435 , 418 , 394 , 469, (0.05). : 13 4. 设从正态分布变量X采用了n个相互独立的观察值算, 均值61.58X及方差 2 2 )8 . 5(S,求随机变量X的均值和方差的 90%的置信区间. (注:77.43)30(,6973. 1)30(,29. 1,64. 1 2 95 . 0 95 . 0 90 . 0 95 . 0 tuu, 49.18)30( 2 05. 0 )985.44)31(,28.19)31( 2 95 . 0 2 05 . 0 . 31 , 得子样 5. 在总体),( 2 1 NX抽取容量10 1 n的样本,算得 2 2 10. 1 ,500 x Sx ,而在总体),( 2 2 NY抽取容量20 2 n的样本,算得 2 2 20. 1,496 Y S y ,已知X,Y相互独立,求两总体均值差 21 的 95% 的置信区间. (注: )048. 2)28( ,697. 1)30(,699. 1)29(,701. 1)28( 975. 0 95. 095. 095. 0 t ttt . 14 复复 习习 题题 一、选择题一、选择题 1. 在参数的区间估计中,给定了置信度,则分位数( ). (A)将由置信度的大小唯一确定; (B)将由有关随机变量的分布唯一确定; (C)可按置信度的大小及有关随机变量的分布来选取; (D)可以任意规定. 2. 设n个随机变量 n , 21 独立同分布 2 )( i D, n i i X n X 1 1 , n i i XX n S 1 22 )( 1 1 则( ). (A)S是的无偏差估计量;(B)S是的最大似然估计量; (C)S与X相互独立;(D)S是的一致估计量. 3. 容量为1n的样本 1 X来自总体), 1(pBX,其中参数10p, 下述结论正确的是( ). (A) 1 X是p的无偏统计量;(B) 1 X是p的有偏统计量; (C) 2 1 X是 2 p的无偏统计量;(D) 2 1 X是p的有偏统计量. 则 4. ., ;, ;, ;, ( ).%95, ,),( 05. 005. 0 05. 005. 0 025. 0025. 0 025. 0025. 0 21 22 t n Xt n X(D) Z n XZ n X(C) t n Xt n X(B) Z n XZ n X(A) XXXXNX n 的信置区间为的置信度为则一个样本 的为来自总体已知其中设 15 二、填空题二、填空题 三、解答题三、解答题 5. .(D);)(C) ;(B);(A) ( ). , 11 11 21 的估计量不是估计量一致的相合是 的极大似然估计量是的无偏估计量是 列结论中正确的是 则下的样本为来自的数学期望为设总体 XX XX XXXXX n 1. 样本方差 () n i in XX n D 1 2 1 1 是总体),( 2 NX中 2 的 _偏估计; ()2 1 * 1 n i i XX n D是总体X中 2 的_偏估计. 2. 设 21, 是的两个无偏估计量,若_ ,则称 1较2有效. 若对固定的n,)(D的值达到_ ,则称为的有效估计量. 3. 设总体)1,(NX,是未知参数, 21,X X是样本,则 211 3 1 3 2 XX及 212 2 1 2 1 XX 都是的无偏估计,但_有效. 4. 设( 21,X X)是取自正态总体)1,(NX的一个容量为2, 则易证 21 XX(其中1)是的无偏估计量, 且当 _时是的最小方差估计_.,量, 的样本 , 其最小方差是 5. 在处理快艇的 6 次试验数据中, 得到下列最大速度值 (m/s): 27, 38, 30, 37, 35, 31 则: 最大艇速的均值的无偏估计是 _. (2) 最大艇速的方差的无偏估计是 _. (1) 1. 设总体X服从于区间a, b上的均匀分布,求a和b的矩估计量, 并估计区间长度. 2. 设母体X服从泊松分布P( ),是未知参数, 65 4321 , , xx xxxx 是一个子样,试写出子样的联合分布,并求出 的矩法估计. 0 16 3. x xexf X . )( 2 1 )( 的极大似然估计则求 具有概率密度为设总体 4. . , ,),0( 2 1 21 和极大似然估计的矩估计量求中抽取的简单随机样本 是从总体上的均匀分布服从设随机变量 X XXXX n 量 5. 设X服从分布 x xf 0 0 1 )( 考虑仅由一个观察值 1 X组成的样本,由于 2 E,故 估计量为 11 2X,另一方面的极大似然估计为 12 X问 1 与 2 ? , , , X( ) 有效性如何 , 的矩法 6. ? , ,0 , 1 )( 21 估计量吗 的无偏是并问的矩估计量试求总体的简单随机样本 为来自该为未知参数为已知参数其中 的概率密度函数为设总体 n x XXX xexf X 7. 为确定某种溶液中甲醛的浓度,取样得9个独立测定值的平均值 %34. 7x,样本标准离差S并设被测总体近似地服从正 态分布,求总体均值的90%的置信区间. (注:)8331. 1)9(,8595. 1)8(,3968. 1)8( 95. 095. 0)9 . 0( ttt. 0.04%, 8. .%90 ),( 5 .34, 1 .48, 1 .66,4 .53,8 .69,2 .42,8 .44, 3 .54,9 .54,7 .50 ) :(,10 2 的置信区间度为 求燃烧时间标准差设燃烧时间服从正态分布 如下 单位测得燃烧时间个进行试验从一批火箭推力装置中抽取 N s: 的置信 17 四、证明题四、证明题 9. ? ,195. 0)2( .95.0)1( .1500 10 1 ,10),8 . 2,( 10 1 101 2 多少 最少应取观察值个数的置信区间长度小于要想使 的置信区间的置信度为 求知 个观察值的现有设随机变量 n xx xxXNX i i 已 : 10. 有 2 位化验员 A, B 独立地对某种聚合物的含氯量用相同的方 10 次和 11 次测定. 测定的方差分别为 .0.6065,0.5419 2 2 2 1 ss 设 A, B位化验员测定的值服从正态分布, 其总体方差分别为 ., 2 2 2 1 求方差比 2 2 2 1 的置信度为0.95的置信区间. 法作 2 1. 设 n xxx, 21 为服从正态分布),( 2 aN的总体中选取的一个子 样,试确定常数A使 1 1 2 1 )( n i ii xxA成为 2的无偏估计. 2. 设总体X服从泊松分布)(P , 2, 1, 0, ! xe x xXP k 证明: 其极大似然估计x是的相合估计. 18 自自 测测 题题 一、选择题一、选择题 1. 样本 n XX, 1 来自总体),( 2 N,则总体方差 2的无偏估计 为( ). (A)(B) (C)(D) n i i XX n S 1 22 4 )( 1 1 . n i i XX n S 1 2 2 2 )( 2 1 ; n i i XX n S 1 22 1 )( 1 1 ; n i i XX n S 1 22 3 )( 1 ; 2. . 2 , 2 (D) ; 2 , 2 (C) ; 2 , 2 (B) ; 4 , 4 (A) ( ).1, ,)4,(, 22 22 1 22 21 n ux n ux n ux n ux n ux n ux n ux n ux xNxxx n 的置信区间为的置信度为则值 表示样本均的一个样本为正态总体设 设总体X在, 0上均匀分布,从中抽取容量为1的样本 1 X, 述是的无偏差估计量的是( ). (A) 1 X; (B) 1 2X; (C) 1 2 1 X;(D) 2 1 X. 则下 3. 设n个随机变量 n , 21 独立同分布 2 )( i D, n i i X n X 1 1 , n i i XX n S 1 22 )( 1 1 则( ). (A)S是的无偏差估计量;(B)S是的最大似然估计量; (C)S与X相互独立;(D)S是的一致估计量. 19 二、填空题二、填空题 三、解答题三、解答题 4. 设 n XXX, 21 是来自总体X的样本,且X有分布 nk k e kXP k ,21,0, ! , 记 n i i X n X 1 1 , n i in XX n S 1 2 2 )( 1 则下列结论中错误的是( ). (A) 2 n S是的矩法估计量;(B) 2 n S是的极大似然估计量; (C) 2 n S是的渐近无偏估计量;(D) 2 n S是的一致估计量. , , 5. 设总体X在, 0上均匀分布,从中抽取容量为1的样本 1 X, 述是的无偏差估计量的是( ). (A) 1 X; (B) 1 2X; (C) 1 2 1 X;(D) 2 1 X. 则下 1. 通常用的三条评选估计量的标准是_. 2. 1 X是总体X中抽得的容量n的样本,当X服从,0( 分布时, 1 X是未知参数的_估计,当),( 2 NX时, 1 X 是未知参数的_估计. 1上均匀 3. NX ._, ,),( 22 使用统计量的区间估计时值 则在求总体均已知其中服从正态分布设总体 4. 设总体X服从均匀分布,1,U其中未知, 则的矩估计 _.是 5. 某冶金研究者对铁的熔点做了4 次试验, 其结果为(单位: C): 1550, 1540, 1530, 1560 总体均值的置信度为0.95的置信区间是 _. 1. (1)设总体X服从区间a, 上的均匀分布,求a的矩估计量. (2)设总体X服从区间上的均匀分布,求b的矩估计量 8 3, b. 20 四、证明题四、证明题 2. 设 n xxx, 21 为子样,试用极大似然法估计总体参数, 总体具有密度为 0 0,10 ),( 1 xx xf , , , . 已知 3. . ,0 2 1 2 1 ,1 );( 的极大似然估计求 其它 的概率密度为设总体 x xf X , 4. 某厂生产的灯泡使用时数X服从正态分布,随机抽取9个灯作试 验,算得样本均值5.1983X(小时),样本方差 2 2 )85.168(S ( 2 小时),求总体均值的95%的置信区间. (注:2622.2)9(,8595. 1)8(,306. 2)8( 975 . 0 95 . 0 975 . 0 ttt). 5. 设炮弹飞离炮口的速度服从于正态分布,随机测了九次,算得样 本方差 2 S米/秒),求分布的方差 2 的90%的置信区间. (注: )733. 2)8( ,507.15)8(,919.16)9(,362.13)8( 2 05. 0 2 95. 0 2 95. 0 2 9 . 0 11( . 6. 为)( ,5,4 欧 测根批导线中抽取又从根批导线中抽取随机地从BA 140. 0138 . 0 136. 0142. 0140. 0 137 . 0 143 . 0 142 . 0 143 . 0 批导线 批导线 B A . 0.95, 21 的置信区间 的置信水平为试求均为未知, 2 2 ,. ),(),( 1 2 2 2 1 又 且两样本相互设测定数据分别来自分布NN 得电阻 独立 .0)(, 22 无偏估计. 不是证明又的一个无偏估计是参数设D:的 21 考研训练题考研训练题 一、选择题一、选择题 1. .)( 1 1 ;)( 1 ;)( 1 1 ;)( 1 ( )., ,),(, 1 22 4 1 22 3 1 22 2 1 22 1 2 2 21 n i i n i i n i i n i i n X n (D)X n (C) XX n (B)XX n (A) XNXXX 最佳的是的下列估计量中则在总体方差 是样已知的样本是正态总体设 本均值 设总体X在, 0上均匀分布,从中抽取容量为1的样本 1 X, 述是的无偏差估计量的是( ). (A) 1 X; (B) 1 2X; (C) 1 2 1 X;(D) 2 1 X. 则下 2. 设 n XX, 1 是来自随机变量X的样本 n i i XX n S 1 2 2 )( 1 1 (无偏样本方差),则下列结论正确的是( ). (A)(B) (C)(D)( ) 1( )( 2 2 XD n n SE. )( 1 )( 2 XD n n SE;)()( 2 XDSE; )( 1 )( 2 XD n n SE; 3. 设 n XXX, 21 是来自总体X的样本,X的分布由参数和 确定.假定和都未知,为了对区间估计,( ). (A),( 21n XXXfY使得Y的分布与,无关; (B),( 21n XXXfY使得Y的分布与无关,但可与 有关; (C),( 21n XXXfY使得Y的分布与无关; (D),( 21n XXXfY使得Y的分布与无关., 一般是先构造 22 二、填空题二、填空题 4. .,1)( ;,1)( ;,1)( ;,1)( , D C B A 则置信区间的长度变短变大置信度 则置信区间的长度变短变小置信度 则置信区间的长度样本容量增加一定时置信度 则置信区间的长度样本容量增加一定时置信度 正确的说法是的区间估计中总体均值).( 变长 变短 5. 设( n XXX, 21 )是正态总体),( 2 NX的样本,统计量 )/()(nXU 服从)1, 0(N,又知16,64. 0 2 n,及样本均值X,利用U对 作区间估计,若已指定置信度1,并查得U的临界值为 96. 1 2 1 U, 则( ). (A)396. 0,(XX;(B)196. 0,196. 0(XX; (C)392. 0,392. 0(XX;(D)784. 0,784. 0(XX. 的置信区间为 1. 总体X服从密度函数为 )(, )(1 1 ),( 2 x x xf 的哥西分布.),( 1n XX为从X抽得的样本,则当1n时 极大似然估计为_ . ,有 2. 某次数学测验的分数呈正态分布, 随机抽取 20 名学生, 得平均 ,72x样本方差.16 2 s则总体方差 2 的置信度为 98% 的置信区间是 _. 分数 3. 若样本值的频率数分布为 设, 1 m i i nn则样本均值,x样本方差. 2 s m m nnn xxxX 21 21 频数 23 三、解答题三、解答题 4. 设总体), 1(pBX,其中未知参数10p, n XXX, 21 是X 的子样,则p的矩估计为_,子样的似然函数为_. ( xx pppxf)1(),(为X的概率密度函数). , 5. 设正态总体X服从正态分布),( 2 11 N正态总体Y服从正态 ),( 2 22 N其中 2 2 2 121 ,皆未知. 设 821 ,xxx 来自总体X的样本, 1221 ,yyy是来自总体Y的样本, 2 个 2 2 2 1, ss分别为 2个样本的样本方差. 则 2个总体方差 2 2 2 1 的置信度为 90% 的置信区间是 _. 分布是 样本独立. 之比 1. 设母体X服从分布( , ),其密度函数为 0 ) 1( 1 00 )( 1 xex x x x x 求, 的估计量. , , , 2. 设总体X的分布密度为 00 )0( , 0 ),( x xe x x 今从X中抽取10个个体,得数据如下: 1050 , 1100 , 1080 , 1200 , 1300 , 1250 , 1340 , 1060 , 1150 , 1150 试用最大似然估计法估计. , , 3. 设总体X的分布密度为 )0,( 2 1 ),(xex x n xxx, 21 为X的样本,求参数的矩估计量., 4. 设炮弹飞离炮口的速度服从于正态分布,随机测了九次,算得样 本方差11 2 S(米/秒),求分布的方差 2 的95%的置信区间. (注: )18. 2)8( ,733. 2)8(,535.17)8(,507.15)8( 2 025. 0 2 05. 0 2 975. 0 2 95. 0 . 24 四、证明题四、证明题 5. 对方差 2 为已知的正态总体来说,问需抽取容量n为多大子样, 才能使得总体的数学期望a的置信水平为0.95的置信区间的长度 不大于已给数L? 已知当 N( ,1时,P| |1.96 .0) 0.95 6. .488.27)15(,996.24)15(,296.26)16( ,132 . 2 )15(,753 . 1 )15(,746. 1)16( ;95 . 0 .16. 0,10,16 ).,():( 2 025. 0 2 05. 0 2 05. 0 025. 005. 005. 0 2 2 ttt sx NXcm 附表的置信区间信度为 求样本方差测得样本均值的样本为 今抽取容量单位设某机器生产的零件长度 的置 7. 设 n xxx, 21 为服从正态分布),( 2 aN的总体中选取的一个子 样,试确定常数A使 1 1 2 1 )( n i ii xxA成为 2的无偏估计. 1. 设有一批产品,为估计其合格率p,随机取一样本 n x xxx, 321 其中: nixi,2, 1 ,1 ,0 第二次取得合格品 第二次取得不合格品 则 n i i x n Xp 1 1 是p的合格率p的一致而且是无偏的估计量. , 1 参考答案或提示参考答案或提示 习习 题题 一一 一、1 . C2.C3.B4.A5.C 二、1 . 答答答 答 n i i X n 1 1 , i i X n i X pp 1 1 )1(. 2 . . 3 4 X答答答 答 3 . 提示提示提示 提示 2 的矩估计是.)( 1 1 22 n i i xx n 答答答 答 .106,74.002 62 4 . 答答答 答 应填 (1) . 1 (2); 1 xx . 1 )1 ()( 1 1 1 1 p pkqppkXE k k k k (参见本书 4-21 题). 设 n xxx, 21 为来自该总体的样本, 以 n i i x n x 1 1 代),(XE 得, 1 x故. 1 x . 0 1 ) 1(ln ln)1ln() 1(ln .)1()1 ()( .)1 ()(2) ) 1( 1 1 1 p n p xn p L npxnL ppppxpL ppxp nxnn nx n i i x i n i i i 解得. 1 x (1) ,p 2 5 . 答答答 答 填 (1) 1.1; (2) 0.4033. 的最大似然估计是 .max )(ni xx (见教材19 例 13). 因为, 0UX令),(),( 2 XDXE则 12 , 2 2 2 因 2 ,皆是的函数. 在上面的式子中以代, 即得 2 , 的最大似然估计: 0.4033 12 . 2.2 212 ,1.1 2 2.2 22 22 )( 2 2 )( n n x x 三、1 . 解解解 解 ,的极大似然估计为 2 12 )( 1 , 1 2 Xp xx n x n i i 上式中以,代, , 得 的极大似然估计为 .11 22x 2 . 解解解 解 KNKK N PPCKP)1()( ),1()(,PNPNPE n i i n i i n S n 1 2 2 1 )( 1 , 1 )1( 2 PPNS PN 解得 2 2 1 ,1 S N S P. )( 3 3 . 解解解 解 (1)样本 n XX, 1 的似然函数为: niX L i n 0 1,0 1 )( 在max( n XX, 1 )的范围内,越小,L()就越大. 因为,0 i X故可取 i ni X 1 max为的极大似然估计. (2)由(1)知所给样本的观测值的 1为2.2是极大似然估计值.又 , 2 1 0 dxxEE2 故XXE22 4 . 2)1 . 13 . 02 . 27 . 16 . 03 . 1( 6 1 22 2 X 是的矩法估计. , ( ) X( )X( ), , 4 . 解解解 解 设子样为 n , 21 , 似然函数为: i n i n i n i BL 11 )1()1()( n i i nL 1 ln)1ln()(ln n i i n L 1 ln 1 )(ln 解之得的极大似然估计 1 1 ln 1 1 n i i n . 4 5 . n i ni i ni i ba L ba L bXXa L ba nibxa ab L 11 2 , . , )( 1 maxmin , , ,0 ),2, 1(, )( 1 的极大似然估计为与参数因此 达到最大值则有似然函数 因此若取 根据定义非零使似然函数 的极大似然估计值从极大似然估计值的定义出发来确定 其它 似然函数为解解解 解 ab n )( 1 i ni X 1 max i ni X 1 min i ni X 1 min i ni X 1 max ba, i ni X 1 min i ni X 1 max , .要 . 6 . ; 1 , 1 1 1 )1()()1( 1 1 1 1 1 1 X pX p pp q pqpxqp ppxxXxPXE x x x x x x x 从而由矩法估计知 解解解 解 0 1 1)(ln )1ln(ln)(ln )1()1 ()( 2 1 1 1 11 1 nx pp n p pL pnxpnpL ppppxXPpL n i i n i i nx nx n i ii n i n i i i 似然函数为( ) . 1 X p得最大似然估计为 . 5 7 . . 1 ,0 1 )(ln ),1ln(ln)(ln ,)1()1 ();( . 1 ,)( . 1 )1 (1 1 )1 ()( 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 X PP P nx P n dP PLd PnxPnPL PPPPPxL X PPXXE Pq P q PqP kqPPkPXE n i i n i i nx n n i x k k k k k k n i i i 的极大似然估计量为得 令 的矩估计为故令 解解解 解 8 . . 15 8 , 15 8 , 0 )1 ( 158 1 78)(ln( )1ln(7ln827ln)(ln( )1(27)1 (3)1 (3)1 ()( (1) 7832223 的极大似然估计值为则得解似然方程 似然方程为 对数似然函数为 似然函数为解解解 解 ppp pp p ppdp pLd pppL pppppppppL .3)(), 3(, ,33)1 (32)1 (31)1 (0)(2) 3223 pXEpBX pppppppXE 所以服从二项分布实际上 . 15 8 , 15 8 3 6 . 1 ,6 . 13 ,6 . 1 5 8 5 32120 的矩估计值为则 得令 又样本均值为 pp p p x 6 习习 题题 二二 一、1.A2.A3.D4.C5.D 二、1. .)(,0 ,) 1(32)(3)(2)()( . 0 321 Ea aaEEaEE 时所以当 答答答 答 2. .)( 1 1 , 1 )( 1 1 )( , 1 )( 1 )( .)( 1 1 2 1 22 2 2 1 22 2 2 1 22 1 1 22 2 的无偏估计量是总体方差所以 由于 答答答 答 n i i n i i n i i n i i XX n n n XX n EE n n XX n EE XX n 3. 答答答 答 分别填. 3 2 , 3 1 设,)( 2 2 D则.2)( 2 D因 21, 独立, 故 .)(2)( 2 2 2 2 1 2 2 2 1 ccDcDcD 又是的无偏估计, 即 .)()( 21 ccEE 得. 1 21 cc 故问题化为在1 21 cc的条件下, 求 2 2 2 1 21 2),(ccccf取得 最小值的条件极值问题. 解得 . 3 2 , 3 1 21 cc 2211 cc)( 1 )( 2 )( 2211 cc 7 4. 答答答 答 应填 (1);yx .(2) 2 22 1 11 n qp n qp .)( 1 )(, 1 1 1 11 111 1 1 1 p n pn xE n xEx n x n i i n i i 又,)(, 1 2 1 2 2 pYEy n y n i i 故 .)()()( 21 ppyExEyxE 即yx是 21 pp的无偏估计. .)()()(2) 2 22 1 11 n qp n qp yDxDyxD (1) 5. ,)( 1 )( , 1 . 22 2 1 22 2 1 22 无偏估计量不惟一的无偏估计量是所以 而的矩估计量是 不惟一答答答 答 n i i n i i XE n E X n 三、1. 解解解 解 记 21 1 2 1 1 1 , 1 n i i n i i nn 则a为a的无偏估计.事实上有 aaaEEaE 21 )(.( )( ) 2. 解解解 解 ;38. 0 4 1 100 9 25 1 )(, 210 3 5 )( 11 aDa aaa aE ;347. 0 144 1 16 1 9 1 )(, 12 5 43 )( 22 aDa aaa aE ,389. 0 4 1 36 1 9 1 )(, 263 )( 33 aDa aaa aE 321 ,aaa均为a的无偏估计量, 2 a的方差最小. 8 3. 解解解 解 E .)1(22) 1( 22 ncnc 要求取c , 使 故应有, 1)1(2nc得. ) 1(2 1 n c 1 1 2 1 )( n i ii xxc 1 1 2 1 )( n i ii xxcE 1 1 n i c)()(2)( 2 1 2 1 xExxExE iiii 1 1 n i c2 22222 E 1 1 2 1 )( n i ii xxc, 2 4. 证证证 证 E n E 1 )( . 1 22 n n 2 n i i x 1 2 )( n i i x n 1 2 )( 1 E n i n 1 1 )(xD i 5. 证证证 证 因为 21,x x是X的样本,故独立,同分布 )()()( 3 1 ),( 2121211 XExExExxExxfE 21,f f均是E(X)的无偏估计. 而 ),(),( 212211 xxfDxxfD ),( 211 xxf较有效. 3 2 3 1 3 2 )()()( 6 1 ),( 2121212 XExExExxExxfE 6 5 6 1 6 5 )()()( 3 1 ),( 2121211 XDxDxDxxDxxfD 3 2 9 1 9 4 9 5 )()()( 6 1 ),( 2121212 XDxDxDxxDxxfD 6 5 36 1 36 25 36 26 9 习习 题题 三三 一、1.B2.C3.D4.A5.C 二、1. .95. 0 21 P答答答 答 2. 答答答 答 填., 0.0250.025 n s tx n s tx 3. ).1( 4 ),1(2 2 2 1 2 2 1 nt n nt n S 答答答 答 4. ).49. 5,51. 4(答答答 答 5. . 2 ,2 . 4 2 22 2 2 2 2 Z L nLZ n Z L 得由 答答答 答 三、1. 解解解 解 111,95. 0 2 1,05. 0 2 ,9. 01n 575.4)11(68.19)11( 2 05. 0 2 95. 0 31. 0 575. 4 2 . 011 ,149. 0 68.19 2 . 011 22 的90%的置信区间为: (0.149, 0.31). , 2. 解解解 解 151,121,95. 0 2 1,05. 0 2 ,9 . 01 21 nn 48. 2)15,12( 95. 0 F 62. 2 1 )12,15( 1 )15,12( 95. 0 05. 0 F F04. 2 15. 2 38. 4 2 2 2 1 S S 2 2 2 1/ 的90%的置信区间为 )06. 5,78. 0(48. 204. 2, 62. 2 04. 2 . , 10 复复 习习 题题 3. 解解解 解 2622. 2)9(,025. 0 2 ,05. 0 975. 0 t 28.1240)( 9 1 ,5 .457 10 1 10 1 22 10 1i i i i XxSxX 2.25 16. 3 22.35 2622. 2)9(,22.35 2 1 n s tS 的95%的置信区间为 ).7 .482, 3 .432()2 .255.457, 2 .255 .457( 4. 解解解 解 64. 1 ,8 . 5,31,95. 0 2 1,05.0 2 ,9 . 01 95.0 u sn 71. 164. 1 n s 的90%的置信区间为 (58.611.71 , 58.61 或用)38.60,84.56()1( 2 1 n s ntX 49.18)30(77.43)30( 2 05. 0 2 95. 0 64.33 2