《导数和极限》PPT课件.ppt

第二章 导数与极限,2.1 导数的概念,2.2 极限,2.3 函数的连续性,2.4 导数的计算,2.5 高阶导数,2.1 导数的概念,1 问题的引出,2 导数的定义,3 由定义求导数,4 导数的几何意义和物理意义,-瞬时速度问题,设作直线运动的质点，它的路程规律是s=s(t)，求它在任意时刻t0的速度v(t0),.,时间:,路程:,第一步,第二步,在这段时间间隔内的平均速度,最后,切线问题,播放,切线问题,割线的极限位置切线位置,如图,如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.,极限位置即,二、导数的定义,定义,其它形式,即,思考,三、由定义求导数,步骤:,例1,例,四、导数的几何意义与物理意义,1.几何意义,切线方程为,法线方程为,2.物理意义,在均匀情况下，凡是用除法定义的物理概念，在不均匀情况下，绝大多数是导数,均匀,不均匀,速度,加速度,电流强度,线密度,角速度,关于导数的说明：,五 小结,1. 导数的实质: 增量比的极限;,2. 导数的几何意义: 切线的斜率;,3. 求导数最基本的方法: 由定义求导数.,2.2 极限,1 数列极限的定义,2 函数极限的定义,2.2.1 数列的极限,1 数列的定义,2 数列极限的定义,3 数列极限的性质,一尺之棰，日取其半，万世不竭,一根一尺长的木棒，每天拿去剩下的一半，却永远拿不完。,一、数列的定义,例如,注意：,1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取,2.数列是整标函数, 有界性,例如,有界,无界, 单调性,单调增加,单调减少,单调数列,二、数列的极限,问题:,当 无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?,问题:,“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.,如果数列没有极限,就说数列是发散的.,注意：,数列极限的定义未给出求极限的方法.,例1,证,所以,注意：,例2,证,所以,说明:常数列的极限等于其本身.,小结:,用定义证数列极限存在时,关键是任意给定 寻找N,但不必要求最小的N.,例3,证,例4,证,三、数列极限的性质,四则运算法则, 子数列,注意：,例如，,定理1 以下三个命题等价,有一子列发散的数列必发散 或两个子列都收敛但收敛于不同值的数列也发散，例,定理2 收敛的数列必定有界.,证,由定义,注意：有界性是数列收敛的必要条件.,推论 无界数列必定发散.,例,2.2.2 函数极限的定义,1 自变量趋于有限值时函数的极限,2 自变量趋于无穷大时函数的极限,1 自变量趋向于有限值时函数的极限,问题:,如何用数学语言刻划函数“无限接近”.,记作,几何解释:,注意：,单侧极限:,例如,左极限,右极限,例,2 自变量趋向于无穷大时函数的极限,另两种情形:,几何解释:,例,函数极限的统一定义,小结, 2.2.3 函数极限的性质,1 唯一性 2局部有界性 3局部保序性 4局部保号性,2.有界性,1.唯一性,一 函数极限的性质,注意：这是极限存在的一个必要不充分条件。,可得又一个判断极限不存在的方法： 函数在某点的去心邻域内无界，则在这点的极限必不存在。,3.不等式性质,定理7(保序性),定理（比较区别）,推论1(保号性),推论2, 2.2.4 无穷小与无穷大,1 无穷小的定义与性质 2 无穷大的定义与性质 3 无穷小与无穷大的关系,1、定义:,极限为零的变量称为无穷小.,二 无穷小与无穷大,注意,（1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;,（2）零是唯一可以作为无穷小的常数.,性质：无穷小与函数极限的关系,意义,（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);,定义 绝对值无限增大的变量称为无穷大.,2 无穷大,若 ，则称函数f(x)为 时的无穷大。,特殊情形：正无穷大，负无穷大,注意,（1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;,（3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是 无界变量未必是无穷大.,定理9 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.,3 无穷小与无穷大的关系,意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.,性质: (1)若在x的某一变化过程中，f(x)是无穷大， g(x)是有界量，则f(x)+g(x)是无穷大。,(2)若在x的某一变化过程中，f(x)是无穷大，g(x)满足|g(x)|M(M0),则f(x)g(x)是无穷大。, 2.2.5 极限的运算法则,A 无穷小的运算法则,B 极限的运算法则,C 复合函数求极限的换元法,D 夹逼准则,A、无穷小的运算性质:,定理10 在同一过程中,有限个无穷小的和仍是无穷小.,定理11 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积 是无穷小.,推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.,推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.,定理12,B 极限的运算法则,推论1,常数因子可以提到极限记号外面.,推论2,小结:,解,商的法则不能用,由无穷小与无穷大的关系,得,例,解,例,(消去零因子法),例,解,(无穷小因子分出法),小结:,无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母, 以分出无穷小,然后再求极限.,思考题,在某个过程中，若 有极限， 无极限，那么 是否有极限？为什么？,极限不存在,在某个过程中，若f(x)极限不存在，g(x)极限也不存在，则f(x)+g(x)极限是否存在？为什么？,不一定，可能存在，可能不存在,意义：,D 极限存在准则,C 复合函数求极限的换元法,E 两个重要极限, 2.2.5 极限的运算法则, 2.2.6 无穷小的比较,A 无穷小的阶,B 等价无穷小代换定理,C 无穷小的主部,D 极限存在准则,1.夹逼准则,例,E、两个重要极限,(1),(2),证明:不妨设,显然,即,有,即,两个重要极限的推广,例1,例2,例3,例4,例5,例6,另一个常用的重要极限,例1,例2,例3,其中,结论,例4, 2.2.6 无穷小的比较,例如,极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.,不可比.,观察各极限,A 无穷小的阶,定义:,例2,例1,例3,从而得,例4,即,即,B 等价无穷小代换,定理12(等价无穷小代换定理),若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限,注意,不能滥用等价无穷小代换.,切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小不能分别代换.,例1,显然,而,所以,即,=1,例2,解:由题意知,所以a=2,例3,例4,例5,注意:在用等价无穷小代换时,必须是在乘积形式 的极限中,和差形式不能代换.,例6,C 无穷小的主部,意义：用等价