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9.6 微分方程应用举例,解,建立坐标系如图所示,A 点受到的力:,(1) 干扰力: psint,(2) 弹性恢复力 : ky,据牛顿第二定律有,初始条件:,特征方程:,特征根:,齐次方程的通解:,被称为固有频率,下面求非齐次方程的特解,(1) 当 时 , 设非齐次方程的特解为,代入方程整理得,非齐次方程的特解:,非齐次方程的通解:,由,所以初值问题的解,(2) 当 时 , 设非齐次方程的特解为,代入方程可得:,非齐次方程的特解:,非齐次方程的通解:,由 可确定,所以初值问题的解,注意:,位移 y(t) 的振幅为,将随 t 的增大而无限增大 , 从而引起共振现象,当 时 ,解,0.1,根据牛顿第二定律有,若记 及注意到 v(0) = 200,( 可分离变量方程 ),由 v(0) = 200,设子弹穿透板的所用时间为 T ,则据题意,又 v (T) = 80,于是有,解,设所求曲线为 y = y(x) ,M 为曲线上的任意一点 ,则,由于,T,令 ,代入方程有,整理得,分离变量有,积分得,则,即,解,设时刻 t 时 , 水的温度为 T C , 则有,解得,由 T(24) = 50,
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