《微分与微分技术》PPT课件.ppt

3.4微分与微分技术,二、微分的几何意义,三、基本初等函数的微分公式与微分运 算法则,四、微分在近似计算中的应用,一、微分的概念,边长由,3.4.1 微分的概念,引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?,设薄片边长为 x , 面积为 S , 则,面积的增量为,关于x 的线性主部,高阶无穷小,时为,故,称为函数在 的微分,当 x 在,取,得增量,时,变到,其,定义3.4.1,的微分,若函数,在点 的增量可表示为,( A 为不依赖于x 的常数),则称函数,而 称为,记作,即,在点,可微,一、微分的定义,注意,定理3.4.1 函数,证: “必要性”,已知,在点 可微 ,则,故,在点 的可导,且,在点 可微的充要条件是,在点 处可导,且,即,重要结论：,“充分性”,已知,即,在点 的可导,则,说明:,时 ,所以,时,很小时, 有近似公式,与,是等价无穷小,当,故当,1.,2,若函数f (x)在区间I内点任一点都可导,则在I内,任意点x的微分记为,规定自变量x的微分为自变量的改变量,即,则有,从而有,即,函数微分与自变量微分之商等于函数的导数.,微分的几何意义,当 很小时,切线纵坐标的增量,二、几何意义,三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则,设 u(x) , v(x) 均可微 , 则,(C 为常数),分别可微 ,的微分为,微分形式不变,5. 复合函数的微分,则复合函数,(一)基本初等函数的微分公式(见教材P.111),(二)微分运算法则:,例3.4.1,求,解:,令u = 2x+1，则,例3.4.2,求,解:,例3.4.3,求,解:,3.4.2 隐函数的微分法,若由方程,可确定 y 是 x 的函数 ,由,表示的函数 , 称为显函数 .,例如,可确定显函数,可确定 y 是 x 的函数 ,但此隐函数不能显化 .,函数为隐函数 .,则称此,隐函数求导方法:,两边对 x 求导,(含导数 的方程),例3.4.4,求由方程,的导数。,解法1,解之得,确定的隐函数,解法2,方程两边对 x 求导,方程两边 求微分得,解之得,例3.4.5,求由方程,确定的隐函数,的二阶导数。,解,方程,两端对x求导得,（3.4.2）,解之得,将方程（3.4.2）两端再对x求导，注意到,也是,x 的函数，得,（3.4.3）,将（3.4.3）代入上式，得,补例,求椭圆,在点,处的切线方程.,解: 椭圆方程两边对 x 求导,故切线方程为,即,例3.4.6,求,的导数 .,解: 两边取对数 , 化为隐式,两边对 x 求导,说明:,1) 对幂指函数,可用对数求导法求导 :,注意:,2) 有些显函数用对数求导法求导很方便,例如,两边取对数,两边对 x 求导,又如,对 x 求导,两边取对数,若参数方程,可确定一个 y 与 x 之间的函数,可导, 且,则,时, 有,时, 有,(此时看成 x 是 y 的函数 ),关系,3.4.3 由参数方程确定的函数的导数,若上述参数方程中,二阶可导,且,则由它确定的函数,可求二阶导数 .,利用新的参数方程,可得,例3.4.8,已知椭圆的参数方程为,求椭圆在,相应点处的切线方程。,解,当,时，,椭圆上的相应点M0 的坐标是,曲线在M0 的切线斜率为,代入点斜式方程，,即,例3.4.9,计算由摆线的参数方程（图见教材P.117）,所确定的函数,的二阶导数。,即得椭圆在点M0 处的切线方程,解,x,y,o,pa,2pa,t,a,转化,内容小结,1. 隐函数求导法则,直接对方程两边求导,2. 对数求导法 :,适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数,3. 参数方程求导法,极坐标方程求导,求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式,四、 微分在近似计算中的应用(略),当,很小时,使用原则:,得近似等式:,特别当,很小时,常用近似公式:,很小),证明:,令,得,微分在估计误差中的应用,某量的精确值为 A ,其近似值为 a ,称为a 的绝对误差,称为a 的相对误差,若,称为测量 A 的绝对误差限,称为测量 A 的相对误差限,误差传递公式 :,已知测量误差限为,按公式,计算 y 值时的误差,故 y 的绝对误差限约为,相对误差限约为,若直接测量