《控制系统设计方法》PPT课件.ppt

,第7章 控制系统设计方法,本章讨论的系统设计问题可以认为是系统分析的逆问题，即对于给定的受控对象模型寻找控制策略，并按照性能指标的要求解出控制器的结构与参数，构成满足性能要求的反馈控制系统。,控制系统的设计过程可以在时域进行，也可以在频域进行。,如果对象模型是以传递函数的形式给出，通常采用经典控制理论中的频率特性法或根轨迹法完成控制器的设计，即在原有系统中引入适当的环节，用以对原有系统的某些性能（如相角裕度、剪切频率、误差系数等）进行校正，使校正后的系统达到期望的性能要求。,如果对象模型是在状态空间以状态方程形式描述的，则系统的设计过程是在时域进行的，通常是采用状态反馈和极点配置的方法得到控制策略，其中包括状态观测器的设计以及最优控制系统的设计等，其研究内容习惯上称为现代控制理论。,本章主要以线性时不变系统为对象讨论几种常用的设计方法，包括 串联校正、 PID控制器设计、 极点配置与状态观测器设计、 线性二次型最优控制系统设计等。,7.1 串联校正 本节讨论三种串联校正装置的频域设计方法，即相位超前、相位滞后、相位滞后超前校正装置设计。 相位超前校正主要用于改善闭环系统的动态特性，对于系统的稳态精度影响较小； 相位滞后校正可以明显地改善系统的稳态性能，但会使动态响应过程变缓； 相位滞后超前校正则把两者的校正特性结合起来，用于动态、静态特性均要求较高的系统。,下面具体讨论三种校正装置的设计与实现问题,7.1.1 相位超前校正 相位超前校正环节可以等效地由电阻电容构成的RC网络来表示。 其网络传递函数可以写为,其中,z=1/T,说明 超前校正环节具有极点 ,零点 ，由于 ，因此在s平面极点位于零点的左侧。,例7-1使用MATLAB绘制当 时的bode图和Nyquist图,T=1，,MATLAB 程序如下：,alpha0=0.1 T=1 for i=1:5 alpha(i)=i*alpha0 G(i)=tf(alpha(i)*T alpha(i),alpha(i)*T 1) end bode(G(1),G(2),G(3),G(4),G(5) figure nyquist(G(1),G(2),G(3),G(4),G(5),运行程序，得到结果：,由图可知： 1）最大超前角 与所对应的频率 随 的减 小而升高，并有关系式 2） 处于两个转折频率 和1/T的几何中心，即 3）超前校正环节提供的最大相位超前角约在 之间。若需要更大的超前角，可以采用多个超前环节的串联。,或,说明：由于此网络的增益为，所以在实际应用时，为保证系统的稳态性能，必须增加一个增益为的放大器，即校正网络为,例7-2 已知原系统开环传递函数为,试（1）用bode图设计超前校正装置，设计指标为： 静态速度误差系数 相角裕度,（2）用MATLAB语言绘制校正前后的bode图及单位阶跃响应。,理论分析,根据 可以求得校正环节的增益,MATLAB 程序如下：,ng=400 dg=1 30 200 0 G0=tf(ng,dg) kc=5 dPm=40+10 mag,phase,w=bode(G0*kc) Mag=20*log10(mag) Gm,Pm,Wcg,Wcp=margin(G0*kc) phi=(dPm-Pm)*pi/180 alpha=(1+sin(phi)/(1-sin(phi) Mn=-10*log10(alpha) Wcgn=spline(Mag,w,Mn),T=1/Wcgn/sqrt(alpha) Tz=alpha*T Gc=tf(Tz,1,T,1) figure(1) bode(G0*kc,G0*kc*Gc)； F0=feedback(G0*kc,1) F=feedback(G0*kc*Gc,1) figure(2) step(F0,F),运行程序，得到结果：,说明：运行以下语句，可以验证性能指标,margin(G0*kc*Gc),经比较看出：校正后系统的快速性得到提高，超调量有所降低，大约由原来的40%下降到29%。,例7-3 已知原系统开环传递函数为,（1）绘制原系统的bode图，标出相角裕度和幅值裕度； （2）现引入超前校正装置， 绘制校正后系统的bode图，并与原系统的bode图进行比较； （3）绘制校正前后的阶跃响应曲线并进行比较。,要求：,MATLAB 程序如下：,G0=tf(100,0.04,1,0) Gm0,Pm0,Wcg0,Wcp0=margin(G0) Gc=tf(0.0262,1,0.0106,1) G=Gc*G0 Gm,Pm,Wcg,Wcp=margin(G) bode(G0,G) T0=feedback(G0,1) T=feedback(G,1) figure step(T0,T),运行程序，得到结果：,Gm0 = Inf Pm0 = 28.0243 Wcg0 = Inf Wcp0 = 46.9701,Gm = Inf Pm = 47.5917 Wcg = Inf Wcp = 60.3251,%原系统,%校正后系统,从图中看出：展宽了频带，增加了相角裕度，提高了系统的快速性。,从图中看出：证明了不但减小了系统的超调量，而且提高了系统的快速性。,7.1.2 相位滞后校正 相位滞后校正的等效RC网络如图所示 其网络传递函数可以写为,其中,说明,滞后校正环节具有极点 ，零点,因此在s平面上，极点位于零点的右侧,由于 ，,例7-4 设滞后校正环节的传递函数为 设：T=1；=5，10，15， 试绘制滞后校正环节的bode图和Nyquist图,MATLAB 程序如下：,beta0=5 T=1 for i=1:3 beta(i)=i*beta0 G(i)=tf(T 1,beta(i)*T 1) end figure(1) bode(G(1),G(2),G(3) figure(2) nyquist(G(1),G(2),G(3),运行程序，得到结果：,说明： 最大相位滞后角所对应的频率 在转折频率 处，校正环节的幅值裕度衰减为 。,滞后校正环节对高频噪声可以有效的抑制，因此具有低通滤波器特性。,例7-5 已知原系统开环传递函数,要求：稳态误差 ,剪切频率 ，相角裕度 ，试用MATLAB语句编制滞后校正装置的设计程序，绘制校正前后的bode图和阶跃响应曲线。,MATLAB 程序如下：,num=10 den=1 5 0 G0=tf(num,den) wcg=2 kc=10 mag,phase,w=bode(G0*kc) magdb=20*log10(mag) Gr=-spline(w,magdb(1,:),wcg) alpha=10(Gr/20) T=10/(alpha*wcg) Gc=tf(alpha*T 1,T 1) F0=feedback(G0*kc,1) F=feedback(G0*kc*Gc,1) figure(1) bode(G0*kc,G0*kc*Gc) figure(2) step(F0,F),运行程序，得到结果：,说明： 从阶跃响应曲线看出，滞后校正使系统响应速度变慢，但平稳性得到改善，超调变小，振荡次数减少。,校正前相角裕度为,校正后相角裕度为,例7-6 已知原系统开环传递函数为,若采用滞后校正装置 ， 试绘制校正前后的bode图和阶跃响应曲线，并与超前校正结果进行比较。,MATLAB 程序如下：,G0=tf(100,0.04,1,0) Gc=tf(0.5,1,2.5,1) G=Gc*G0 Gm,Pm,Wcg,Wcp=margin(G) figure(1) bode(G0,G) T0=feedback(G0,1) T=feedback(G,1) figure(2) step(T0,T),运行程序，得到结果：,说明 滞后校正后系统的相角裕度由原来 的增加到 ，而剪切频率由原来 的减少到 ，同时阶跃响应的平稳性得到改善。,MATLAB 程序如下：,超前校正结果进行比较,G0=tf(100,0.04,1,0) Ga=tf(0.5,1,2.5,1) G1=Ga*G0 Gb=tf(0.0262,1,0.0106,1) G2=Gb*G0 T1=feedback(G1,1) T2=feedback(G2,1) step(T1,r,T2,b,1.5),运行程序，得到结果：,713 相位超前滞后校正 相位超前滞后校正装置的等效RC网络如图所示，其传递函数,其中,超前环节,滞后环节,例7-7 设,试绘制超前滞后校正环节的bode图和Nyquist图,=10,beta=10 T1=1 T2=10 num=conv(T1 1,T2 1) den=conv(T1/beta 1,T2*beta 1) Gc=tf(num,den) figure(1) bode(Gc) figure(2) nyquist(Gc),MATLAB 程序如下：,运行程序，得到结果：,说明 在bode图幅频特性上，低频段与高频段均为0dB，这表明该环节的总增益为1；在相频特性曲线上，曲线与 线交点处的频率刚好是在幅频特性曲线的最低点，其值 ， 当 时，整个环节起滞后作用， 当 时，起超前校正作用。,例7-8已知原系统开环传递函数,试设计超前滞后校正装置 ，满足下列性能指标：速度误差系数 ，相角裕度 ，幅值裕度,要求：,（1）用MATLAB语句绘制校正前后系统的bode图和校正后的阶跃响应； （2）用Simulink进行系统仿真，绘制仿真结构图。,理论分析： 为了满足速度误差系数 ，可求得 ，得未校正系统的相角裕度为 ，而幅值裕度 因此系统是不稳定的,现采用滞后超前校正。为了保持足够的响应速度，取校正后的剪切频率 （不至于距离校正前的剪切太远），求得滞后校正部分为： 超前校正部分为： 于是得滞后超前校正装置的传递函数为,MATLAB 程序如下：,G0=tf(10,conv(1 0,conv(1 1,0.5 1) figure(1) margin(G0) Gc1=tf(1.43 1,0.143 1) Gc2=tf(7.14 1,71.4 1) G=Gc1*Gc2*G0 figure(2) margin(G) T=feedback(G,1) figure(3) step(T),运行程序，得到结果：,说明： 校正后系统的bode图和阶跃响应曲线表明系统具有良好的动态特性，比原来有了明显的改善。,说明： 校正满足设计要求,用Simulink进行系统仿真，仿真结构图如图所示。,7.2 反馈校正 除了前面介绍的三种串联校正方法之外，反馈校正（又称并联校正），也是广泛采用的系统设计方法之一。 设含有反馈校正的控制系统框图如图所示。,待校正系统开环传递函数为,校正后系统开环传递函数为,若在我们感兴趣的频段（即可接受校正的频段，一般在低、中频段）内,则有,或写为,表明，在bode图上只要待校正的开环幅频特性与期望开环幅频特性相减，即可近似地获得 ，由于 已知， 可以立刻求出。,用期望特性法设计反馈校正装置的步骤如下： 1）根据稳态指标绘制未校正系统的开环对数幅频特性，即,2）根据给定性能指标绘制期望开环幅频特性，即,3）将以上两式相减，即可求得的对数频率特性，即,（要求 ）,4）检查局部反馈回路的稳定性，并检查在期望剪切频率 附近 的程度是否符合近似条件,5）由 求出,6）检验校正后的系统是否满足性能指标要求。,例7-9已知某随动系统如图所示，试设计反馈校正装置,设计指标为： 绘制校正前后的bode图及单位阶跃响应曲线，并作出仿真结构图。,首先对本题做理论分析,1）由 可确定k=100，故固有部分传递函数为,由Bode图可知系统的性能指标,2）求取期望频率特性。 根据性能指标 ， 可求得 再由 ，可得,由经验公式,近似取,取中频宽,取,取,低频段的转折频率可由几何方法求得。 则校正后系统开环传递函数（即期望特性）为,3）确定校正装置 的参数。 将原系统化为结构图如图所示,由于低于 和高于 的频率无需校正，故考虑 的校正频率段。由期望特性和原系统的频率特性可推得,故反馈校正装置的传递函数为,式中 是反馈校正装置的增益,G01=tf(100,conv(0.1 1,0.0067 1) G02=tf(1,1 0) Hc=tf(0.0167 0,0.2 1) G0=G01*G02 Ga=feedback(G01,Hc) G=Ga*G02 figure(1) bode(G0,G) T0=feedback(G0,1) T=feedback(G,1) figure(2) step(T0,T),MATLAB 程序如下：,运行程序，得到结果：,仿真结构图,7.3 PID控制器设计,PID控制是最早发展起来方法之一。由于其结构简单，应用中参数整定方便，因此在工业控制中得到广泛的应用。事实上，当今应用的工业控制器中，有半数以上是采用PID或变形PID控制方案的，其中包括传统的模拟式PID控制和近年来微处理器实现的数字PID控制器。,PID控制器的数学表达式为,其传递函数为,7.3.1 PID控制器的控制特性,PID控制有多种应用形式，如P、PI、PID等，下面通过具体实例说明比例、积分、微分各环节的控制作用。,例7-10考虑一个三阶对象模型， 研究分别采用P、PI、PID控制策略下闭环系统的阶跃响应。,G=tf(1,1 3 3 1) P=0.2:0.6:2.0 for i=1:length(P) G_c=feedback(P(i)*G,1) step(G_c) hold on end,MATLAB 程序如下（采用P控制）,运行程序，得到结果：,说明 当 值增大时，系统响应速度加快，幅值增高,说明 根轨迹分析可知，当 系统将不稳定。,G=tf(1,1 3 3 1) Kp=1 Ti=0.7:0.2:1.5 for i=1:length(Ti) Gc=tf(Kp*1,1/Ti(i),1,0) G_c=feedback(G*Gc,1) step(G_c) hold on end axis(0,18,0,2),MATLAB 程序如下（采用PI控制）,运行程序，得到结果：,说明 PI的控制作用时可以消除静差， 当 值增大时，系统超调变小，响应速度变慢； 若 变小，则超调增大，响应加快。,G=tf(1,1 3 3 1) Kp=1 Ti=1 Td=0.1:0.4:2.1 for i=1:length(Td) Gc=tf(Kp*Ti*Td(i),Ti,1/Ti,1,0) G_c=feedback(G*Gc,1) step(G_c) hold on end axis(0,20,0,1.6),MATLAB 程序如下（采用PID控制）,运行程序，得到结果：,说明 当 增大时，系统的响应速度加快，响应峰值提高,在实际应用时，由于纯微分环节无法实现，通常用带有滞后的近似一阶环节来代替。相应的PID控制器传递函数为,为了较好地近似，N取值的可以大些。理论上当 时，近似微分环节将趋于理想微分环节。,例7-11 考虑一个三阶对象模型， 采用PID控制方法，令 ，研究近似微分环节对闭环系统阶跃响应的影响。,G=tf(1,1 3 3 1) Td=1;Kp=1;Ti=1 N=100,1000,1:10 Gc=tf(Kp*Ti*Td,Ti,1/Ti,1,0) G_c=feedback(G*Gc,1) step(G_c) hold on for i=1:length(N) nn=Kp*(Ti*Td,0,0+conv(Ti,1,Td/N(i),1)/Ti dd=Td/N(i),1,0 Gc=tf(nn,dd) G_c=feedback(G*Gc,1) step(G_c) hold on end figure y,t=step(G_c) err=1-y plot(t,err),MATLAB 程序如下,运行程序，得到结果：,说明 当选择N=10时，近似精度是令人满意的,说明 N=10时误差信号的变化情况,7.3.2 PID控制器的参数整定,实现PID控制器的核心问题是根据给定的受控对象，合理的选择控制参数。PID控制器的三个参数选择，本质上是在三维空间的搜索问题。早在1942年，齐格勒-尼柯尔斯（Ziegler-Nichols）就在大量的实验基础上，提出了一种实用的参数整定规则，简称Z-N规则。,具有PID控制器的闭环系统框图。,由图可见，PID控制器是一种串联校正装置。当被控对象的数学模型已知时，可以采用各种不同的设计方法确定控制器的参数，包括解析方法和阶跃曲线等。但是被控对象模型无法精确获得，则不能用解析方法去设计控制器。在这种情况下，只能借助于实验的方法来整定控制器的参数。此时，Z-N整定规则更显出它的实用价值。,Z-N整定规则有两种实施的方法，它们共同的目标都是使系统阶跃响应的最大超调量不超过25%。,第一种方法（响应曲线法 ）,在被控对象的输入端加一阶跃信号，然后测出输出的响应曲线。如果被控对象既无积分环节，又无共轭复数极点存在，则阶跃响应曲线呈S形。,该曲线的特征可以用测得的延迟时间 和时间常数 T来表征,其相应的数学模型可以用下面的传递函数近似的描述：,（如果阶跃响应的曲线不是S形，则不能应用此方法） 根据实验测得的、T参数，再按表7-1，即可整定PID控制器的参数。,表7-1 第一种Z-N整定方法,第二种方法（临界比例度法）,对于图所示闭环系统，设 , ,即只采用比例控制。令 从零逐渐增大，直至系统阶跃响应呈现持续的等幅振荡。记下此时输出曲线对应的临界增益值 和振荡周期 （若无论怎样变化 值，系统都不会呈现持续振荡，则不能用此方法），再按表7-2给出的经验公式确定 、 和 。这种方法又称为临界比例度法。表中比例度 ，临界比例度,表7-2 第二种Z-N整定方法（临界比例度法）,例7-12 已知被控对象传递函数为,试用Z-N两种整定方法确定PID控制器的参数，并绘制阶跃响应曲线。,理论分析,根据实验测得的、T参数，按表7-1，即可整定PID控制器的参数。,MATLAB 程序如下,运行程序，得到结果：,G=tf(1,conv(1 1,conv(2 1,conv(5 1,10 1) step(G),可得 K=1， =4.05， T=26.9-4.05=22.85,理论分析,根据实验测得的 、 参数，按表7-2，即可整定PID控制器的参数。,MATLAB 程序如下,运行程序，得到结果：,G1=tf(1,conv(1 1,conv(2 1,conv(5 1,10 1) kc=7.698 G=feedback(G1*kc,1) step(G,40),第二中方法基本参数,MATLAB 程序如下,t1=0:0.5:150 k=1;t=22.85;tor=4.05 G=tf(1,conv(1 1,conv(2 1,conv(5 1,10 1) Gc,kc,ti,td=z_n1(k,t,tor,pid) Gcl1=feedback(G*Gc,1) step(Gcl1,150) hold on Kc=7.698;Tc=19.7 Gc,kc,ti,td=z_n2(Kc,Tc,pid) Gcl2=feedback(G*Gc,1) step(Gcl2,150),z_n1自定义函数程序清单,functionGc,kc,ti,td=z_n1(k,t,tor,varargin) controllertype=varargin1 switch controllertype case p delta=k*tor/t;Gc=tf(1/delta,1) kc=1/delta;ti=inf;td=0 case pi delta=1.1*k*tor/t;ti=3.3*tor;kc=1/delta; Gc=tf(ti 1,ti 0)*kc;td=0 case pid delta=0.85*k*tor/t;ti=2*tor;td=0.5*tor;kc=1/delta; Gc1=tf(ti 1,ti 0)*kc;Gc2=tf(td 0,1)*kc Gc=Gc1+Gc2 end,z_n2自定义函数程序清单,functionGc,kc,ti,td=z_n2(Kc,Tc,varargin) controllertype=varargin1 switch controllertype case p kc=Kc/2;Gc=tf(kc,1) ti=inf;td=0 case pi kc=Kc/2.2;ti=0.833*Tc; Gc=tf(ti 1,ti 0)*kc;td=0 case pid kc=Kc/1.7;ti=0.5*Tc;td=0.125*Tc Gc1=tf(ti 1,ti 0)*kc;Gc2=tf(td 0,1)*kc Gc=Gc1+Gc2 end,运行程序，得到结果：,例7-13 已知被控对象传递函数为,(1)试用MATLAB语句输入 ，并绘制阶跃响应曲线，估计模型参数K、T值。,(2)根据模型参数，用Z-N第一种方法设计P、PI、PID控制器，并绘制阶跃响应曲线。,理论分析,MATLAB 程序如下,运行程序，得到结果：,K=0.42,G=tf(10,conv(1 1,conv(1 2,conv(1 3,1 4) step(G) k=dcgain(G),=0.61,T=3.11-0.61=2.5,可知,MATLAB 程序如下,k=0.42;l=0.61;t=3.11-l G=tf(10,conv(1 1,conv(1 2,conv(1 3,1 4) Gc1,Kp1=ziegler(1,k,l,t,10);Kp1 Gc2,Kp2,Ti2=ziegler(2,k,l,t,10);Kp2,Ti2 Gc3,Kp3,Ti3,Td3=ziegler(3,k,l,t,10);Kp3,Ti3,Td3 G_c1=feedback(G*Gc1,1);step(G_c1);hold on G_c2=feedback(G*Gc2,1);step(G_c2) G_c3=feedback(G*Gc3,1);step(G_c3),function Gc, Kp, Ti, Td=ziegler(key, vars) Ti=;Td=;k=vars(1);l=vars(2); T=vars(3);N=vars(4);a=k*l/T; if key=1, Kp=1/a; elseif key=2, Kp=0.9/a; Ti=3.33*1; elseif key=3 Kp=1.2/a; Ti=2*1; Td=1/2; end switch key case 1 Gc=Kp; case 2 Gc=tf(Kp*Ti, 1, Ti, 0); case 3 nn=Kp * Ti *Td *(N+1)/N, Kp*(Ti+Td/N), Kp; dd= Ti*Td/N, 1, 0; Gc=tf(nn,dd); end,Ziegler自定义函数程序清单,运行程序，得到结果：,说明 在P控制下，系统存在稳态误差。可以看出PID的响应速度一般高于PI控制器,关于Z-N参数整定方法的几点说明：,对象数学模型已知时，Z-N规则当然可以使用，但同时还有许多其它的解析方法 和图解方法。实践证明，在对象模型不能精确确定的情况下（特别是在工业过程控制中），Z-N规则的使用价值更加明显。,注意Z-N规则的使用条件：第一种方法要求对象的阶跃响应曲线呈S 形；第二种方法要求当以增益为参量变化时，闭环系统的输出响应必须呈现等幅振荡状态，否则不适用。,使用Z-N整定方法，闭环系统阶跃响应呈现出10%60%的超调量，经过Z-N整定，最大超调量的平均值约为25%。实际上，Z-N整定方法对参数值提供了一种科学的估测，并为进一步精调提供了起点。,PID控制器由于其算法简单，鲁棒性好以及可靠性高，被广泛应用于过程控制和运动控制。 随着计算机技术与智能理论的发展，近年来出现了许多智能PID控制器的设计和各种参数优化方法，为复杂动态不确定性系统的控制提供了新的途径，出现了神经网络PID控制、遗传算法PID参数优化、非线性系统PID鲁棒控制、专家系统和模糊PID参数整定方法等，使传统的PID控制方法与现代各种控制技术融为一体，展现出广阔的发展前景。 MATLAB辅助工具的作用愈显突出。,7.3.3 PID控制器参数的智能整定（参数优化方法）,经典控制理论通常采用输出反馈，用频率法或根轨迹法设计控制系统，使闭环极点在期望的位置上。 现代控制理论则更多地采用状态和极点任意配置的方法进行综合。由于状态反馈可以提供更丰富的状态信息和选择的自由度，因此使系统容易获得更优良的性能。,7.4 状态反馈与极点配置,设受控系统 的状态空间表达式为,7.4.1 状态反馈,若用状态向量的线性反馈构成闭环系统，则称其为状态反馈系统,状态反馈系统的结构图如图所示,由图可见，状态反馈控制规律为,将此式代入状态方程，可得闭环系统状态方程为,闭环系统的特征方程为,K称为状态反馈增益矩阵,例7-14 已知受控系统 的系数矩阵分别为,期望极点在-5和-6，试确定状态反馈矩阵,由已知条件可写出闭环系统特征方程为,理论分析,期望特征方程为,两式比较，可求得反馈矩阵,编写程序求反馈矩阵,MATLAB 程序如下：,a=-1 3;0 -2 b=1;1 c=1 0 d=0 G=ss(a,b,c,d) p=-5 -6 syms k1 k2 s k=k1 k2 eq=simple(det(s*eye(size(a)-a+b*k) er=1 for i=1:2 er=simple(er*(s-p(i) end er=er-eq k1 k2=solve(jacobian(er,s),subs(er,s,0),运行程序，得到结果：,表明：通过选择合适的状态反馈矩阵K能使闭环极点（即特征根）配置到所期望的位置。但是，这样做的充要条件是状态必须完全可控。反言之，如果系统是状态完全可控的，则可以通过状态反馈来任意配置闭环极点的位置。,k1 = 5 k2 = 3,控制系统的性能主要取决于系统极点的位置。 作为系统性能指标的一种形式，往往是给出一组期望极点。 所谓极点配置，就是对于给定对象的状态模型，通过选择状态反馈矩阵，使闭环系统的极点正好配置在期望极点上，以便获得所需要的动态性能。由于期望极点具有任意性，因此极点配置也应具有任意性。,7.4.2 极点配置控制器设计,期望极点的选取，实际上是确定设计目标的问题，要考虑到期望极点对系统品质影响的多方面因素，如动、静特性，抗干扰，灵敏度，实现的可能性等。 事实上，在经典控制理论中的根轨迹法和频率特性法本质上也是极点配置问题，只不过没有采用状态反馈的方法而已。,只讨论单输入、单输出系统的极点配置算法,假定给定系统的状态空间描述为,如果给定系统 完全能控，我们可以引入状态反馈，并假定进入受控系统的信号为,则闭环系统的状态方程可写为,极点配置的核心是研究在指定极点分布的情况下，如何设计状态反馈增益矩阵的问题。 下面给出几种算法,1、矩阵变换法（Bass-Gura算法）,设期望的闭环极点为 则闭环系统的期望特征方程为,再设原系统的开环特征方程为,若原系统完全能控，则状态反馈向量可以由下式给出,其中,T为定义的变换矩阵,为能控性矩阵,说明： 通过变换矩阵T，可以定义一个新的状态向量 ，且 。,如果能控性矩阵C的秩为n（满秩意味着系统状态完全能控），则矩阵T的逆存在，并且可将原系统状态方程写为,其中,这样就把原方程变换成能控标准型。如果原系统给出时就采用能控标准型，则可免去状态变换，根据特征多项式系数直接计算状态反馈阵K,应用矩阵变换算法进行极点配置的步骤：,1）检查给定系统的能控性 2）确定原系统系数矩阵A的特征多项式系数，即,3）确定变换矩阵,4）确定期望特征多项式系数 ，即,5）求反馈增益阵K，即,2、爱克曼公式（Ackermann）,设给定系统状态方程为,设系统状态完全能控，又设期望的闭环极点为 利用状态反馈控制 的闭环系统状态方程为,定义,则期望的特征方程为,定义,则对于系数矩阵有,根据凯利哈密尔顿（Cayley-Hamilton）定理， 应满足其自身的特征方程，即,将 代入，可求得反馈矩阵K为,此式称为爱克曼公式,式中的 是能控性矩阵。,根据爱克曼公式配置极点的步骤为,1）检查给定系统的能控性,2）确定 的系数 ， 即,3）求,4）求反馈增益阵K，即,例7-15 已知受控对象,试 1）设计控制器 ，使期望闭环极点,2）试用矩阵变换法、爱克曼公式法以及工具箱place()函数或acker()求解本题。,理论分析,定义状态变量,则系统的状态空间描述为,其中,编写程序计算,MATLAB 程序如下（矩阵变换法）：,a=0 1 0;0 0 1;-6 -11 -6 b=0;0;10 m=b a*b a2*b rank(m) j=-2+2i*sqrt(3) 0 0;0 -2-2i*sqrt(3) 0;0 0 -10 ja=poly(a) a1=ja(2);a2=ja(3);a3=ja(4) w=a2 a1 1;a1 1 0;1 0 0 t=m*w jj=poly(j) aa1=jj(2);aa2=jj(3);aa3=jj(4) k=aa3-a3 aa2-a2 aa1-a1*(inv(t),运行程序，得到结果：,ans = 3 k = 15.4000 4.5000 0.8000,MATLAB 程序如下（爱克曼公式）：,a=0 1 0;0 0 1;-6 -11 -6 b=0;0;10 m=b a*b a2*b rank(m) j=-2+2i*sqrt(3) 0 0;0 -2-2i*sqrt(3) 0;0 0 -10 poly(j) phi=polyvalm(poly(j),a) k=0 0 1*(inv(m)*phi,ans = 3 k = 15.4000 4.5000 0.8000,运行程序，得到结果：,MATLAB 程序如下（place函数法）：,k = 15.4000 4.5000 0.8000,运行程序，得到结果：,a=0 1 0;0 0 1;-6 -11 -6 b=0;0;10 p=-2+2i*sqrt(3) -2-2i*sqrt(3) -10 k=place(a,b,p),例7-16 试用place()函数对以下两个给定系统设计反馈增益矩阵K,（1）给定对象状态方程为,期望闭环极点,（2）给定对象状态方程为,期望闭环极点,MATLAB 程序如下（题1）：,a=0 1 0 0;0 0 -1 0;0 0 0 1;0 0 11 0 b=0;1;0;-1 eig(a) %查看原系统极点，可判系统是否稳定 p=-1;-2;-1+sqrt(-1);-1-sqrt(-1) k=place(a,b,p) eig(a-b*k) %查看闭环极点是否配置到期望的位置上,运行程序，得到结果：,ans = 0 0 3.3166 -3.3166 可知原系统不稳定 k = -0.4000 -1.0000 -21.4000 -6.0000 ans = -2.0000 -1.0000 + 1.0000i -1.0000 - 1.0000i -1.0000,可知经极点配置后，闭环极点配置到期望的位置上，使系统达到较好的动态特性。,状态反馈矩阵K=-0.4，-1，-21.4，6,MATLAB 程序如下（题2）：,? Error using = place Cant place eigenvalues there.,运行程序，得到结果：,a=-5 8 0 0;-4 7 0 0;0 0 0 4;0 0 -2 6 b=4;-2;2;1 c=2 -2 -2 2 d=0 p=-1,-2,-1+sqrt(-1),-1-sqrt(-1) k=place(a,b,p),表明：由于原系统是不可控的，因此不能按原期望的位置进行闭环极点配置。,7.5 状态观测器与基于观测器的极点配置,通常并不是全部状态变量都能直接测量的，这就给状态反馈的物理实现带来了困难，从而提出了状态重构和状态观测器的问题。,状态观测器的设计思路 采用被测系统的可测参量，如输出量y和输入量u，重新构造状态 ，使状态反馈得以实现。,采用状态反馈的前提条件是必须获得状态反馈信号。,设给定对象的状态空间描述为,7.5.1 全阶状态观测器,假设系统完全可观，则可构造如图所示的全阶状态观测器。,图中 分别为x和y的估计值,观测器的输出值,为观测器输出误差反馈矩阵,可推导状态观测器方程为,或写成,其中,据此可画出下图,为了进一步讨论估计值 趋近真值 的渐进速度，引入状态误差向量 ，于是可得观测器的误差方程，即,讨论的全阶观测器的阶数与系统阶数相等,也即,这是关于 的齐次微分方程,对于这个 的齐次微分方程，其解为,可见,若 ，则在 的所有时刻内， 即状态估计值 与真值 严格相等,若 ，即两者初值不相等，但只要 的特征值均有负实部，则 将渐近衰减至零，即观测器的估值 将渐近的逼近实际状态,全阶状态观测器的设计 就变成为寻找一个合适的观测器反馈增益阵 ，使得 具有所期望的特征值，从而使状态观测器的设计转化为极点配置问题。,为了求出状态观测器的反馈增益阵 ，也可以采用与极点配置类似的方法。,构造变换矩阵，使系统变成能观标准型，再根据特征方程求出,方法一,可以利用爱克曼（Ackermann）公式求出 ，即,方法二,为能观性矩阵,为期望特征多项式,其中,利用对偶原理，可以使设计过程大为简化,考虑系统，,可以求解其对偶问题，即首先构造其对偶系统,其中 分别为A、B、C的共轭转置矩阵,设控制变量 ，若对偶系统是状态能控的，则可以确定状态反馈增益阵K，使得 得到一组期望的特征值,设 为对偶系统期望的特征值，则期望特征多项式为,注意到 与 的特征值相同，可得,将观测器系统的特征多项式 与上式相比较，可以找出 与 的关系，即,因此，在对偶系统中采用极点配置的方法确定反馈增益阵K，则原系统的观测器增益阵 可以通过 确定,求解途径： 1）采用前述的两种方法 2）直接调用acker（）和place（）函数求得,例7-17 给定受控对象,其中,试设计全阶状态观测器，使观测器的闭环极点为,为求出状态观测器的反馈增益阵 ，首先为原系统构造一个对偶系统,理论分析,然后对其进行闭环极点配置，得到反馈增益阵K，根据对偶原理可求得状态观测器的反馈增益阵,MATLAB 程序如下：,a=0 1 0;0 0 1;-6 -11 -6 b=0;0;1 c=1 0 0 ro=rank(obsv(a,c) a1=a b1=c c1=b p=-2+2i*sqrt(3),-2-2i*sqrt(3),-5 k=acker(a1,b1,p) ke=k,%判定系统是否可观,运行程序，得到结果：,说明,由于原系统可观（即rank=3），因此可以设计全阶状态观测器。 状态观测器的增益阵 ，,ke = 3.0000 7.0000 -1.0000,7.5.2 最小阶状态观测器,全阶状态观测器设计是基于重构所有的状态变量。实际上，系统的输出变量总是可以测量的，因此可以利用输出向量Y来直接产生部分状态变量，从而降低观测器的阶数。当观测器的阶数降至最小时，称为最小阶状态观测器,设状态向量x为n维，输出向量y为可测量的m维。由于m个输出变量是状态变量的线性组合，因此m个状态变量就不必估计了，只需估计n-m个状态变量即可。 该n-m阶的降阶观测器就是最小阶状态观测器。 下图所示为最小阶状态观测器的系统结构图,设给定受控系统为,其中，状态向量x可以按可测量与不可测量划分为 和 两部分， 表示可测量部分，它等于输出y； 是不可测量部分。 相应的系统方程可以写成块矩阵的形式，即,根据上式可以进一步将状态可测部分的方程单独写出,或写为,该方程左侧各项是可以测量的，可以看作是输出方程。,状态的不可测量部分的方程为,这是新的状态方程， 为不可测的状态变量。,最小阶观测器的设计如果采用全阶状态观测器的设计方法，设计步骤可以得到简化。 为此我们将全阶和最小阶状态观测器进行对比，可以得到两者的对应关系。,见表7-3,表7-3 全阶与最小阶状态观测器对比,最小阶状态观测器的设计思路 首先按照全阶观测器的状态方程，按表7-3中的对比关系做替换代入，经推导可得最小阶状态观测器的方程为,式中,根据上面几式一起确定最小阶状态观测器,的设计 可以根据表7-3对比关系，按全阶状态观测器进行， 为n-m维向量。,首先构造等效系统为,然后，我们就可以利用MATLAB的acker函数或place函数进行设计了。,其中,例7-18 给定受控对象,其中,设输出y（即 ）可测，试设计最小阶状态观测器，使观测器的闭环极点为,理论分析,由于原系统 （即输出y）可测，故只需设计,的状态观测器。将原方程分为两部分,可测部分,不可测部分,其中,构造等效系统为,其中,MATLAB 程序如下(采用矩阵变换法)：,a=0 1 0;0 0 1;-6 -11 -6 b=0;0;1 aaa=0;aab=1 0;aba=0;-6 abb=0 1;-11 -6;ba=0;bb=0;1 p=poly(abb) a1=p(2);a2=p(3) n=aab,abb*aab w=a1 1;1 0 j=-2+2i*sqrt(3) 0;0 -2-2i*sqrt(3) jj=poly(j) aa1=jj(2);aa2=jj(3) ke=inv(w*n)*aa2-a2;aa1-a1,运行程序， 得到结果：,ke = -2.0000 17.0000,MATLAB 程序如下(采用爱克曼公式法)：,ke = -2 17,运行程序， 得到结果：,a=0 1 0;0 0 1;-6 -11 -6 b=0;0;1 aaa=0;aab=1 0;aba=0;-6 abb=0 1;-11 -6;ba=0;bb=0;1 n=aab,abb*aab j=-2+2i*sqrt(3) 0;0 -2-2i*sqrt(3) phi=polyvalm(poly(j),abb) ke=phi*inv(n)*0;1,MATLAB 程序如下(采用acker()函数)：,运行程序， 得到结果：,ke = -2 17,a=0 1 0;0 0 1;-6 -11 -6 b=0;0;1 aaa=0;aab=1 0;aba=0;-6 abb=0 1;-11 -6;ba=0;bb=0;1 a1=abb;c1=aab ax=a1;bx=c1 p=-2+2i*sqrt(3),-2-2i*sqrt(3) k=acker(ax,bx,p) ke=k,显然，此种方法最简便,根据最小观测器的方程,其中,注意到,有最小观测器方程为,即,其中,或写为,若系统采用观测-状态反馈，则控制信号为,其中，K为状态反馈增益阵（注意不是本例确定的 ）,基于最小阶观测器的状态反馈系统结构图,7.6 线性二次型最优控制,在线性系统最优控制中，有一类最优控制系统其性能指标泛函是状态变量和控制变量的二次型函数的积分，此类最优控制问题称为线性二次型最优控制问题，简称线性二次型（LQ）。 LQ问题解出的控制规律是状态变量的线性函数，可以通过状态反馈实现闭环最优控制，因而在工程上得到广泛的应用。,设线性时不变（LTI）系统的状态空间描述为,7.6.1 线性二次型最优控制策略,线性二次型最优控制任务是设计控制策略 ，使性能指标泛函,为最小 式中 Q半正定状态加权矩阵 R正定控制加权矩阵 S半正定终端加权矩阵 终端时间，即控制作用的终止时间,在性能指标中,叫做终端代价函数。 若x表示误差向量，则该项表示系统的稳态误差,第一项,第二项,用以衡量动态过程中误差的大小，它表示总的暂态误差。 加权矩阵通常是对角线常数阵，对角线上的元素 表示相应误差 的重视程度，越被重视的误差分量，希望它越小，相应的加权系数 就取得的越大。,第三项,表示动态中对控制的约束和要求。,由于R正定，所以只要存在控制，该项总是正的。如果把控制量u看作电压或电流的函数，那么该项表示在 区间内消耗的能量。因此，该项是用来衡量控制大小的代价函数，即表示动态过程中所消耗的能量,如果最优控制的目标是使目标函数 则意味着用较大的能量，保持较小的误差， 从而达到控制能量和和误差综合最优的目的。,最优控制的求解问题有： 古典变分法、 极大（小）值原理 动态规划,现根据极小值原理首先引入协态向量，并构造哈密尔顿（Hamilton