《数列函数的极限》PPT课件.ppt

第三节 数列的极限,数列的极限,例如,一、数列的定义,定义: 按自然数编号依次排列的一列数,称为数列.,其中的每个数称为数列的项,xn称为通项(一般项).,数列(1)记为 xn .,注意：,1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取,2.数列可以看作自变量是正整数 n 的函数,二、极限思想的引入,割圆术 (刘徽 公元3世纪),正内接六边形、正十二边形，的面积构成了一个数列：,在上面的例子中，随着n 的增大，正多边形的面积与圆面积的差别越来越小。,当n无限增大时，正多边形的面积无限接近于圆面积S。,一般地，如果当 n 无限增大时（即 ），,对应的,无限接近于某一个确定的数值 a，那么,这个数值 a 就称为数列,的极限。,三、数列极限的定义,问题:,“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.,例如：,例如：,数列极限定义,如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),都成立,那么就称常数 是数列 的极限,或者称数列收敛于 ,总存在正数 ,使得对于 时的一切 ,或,记为,如果数列没有极限,就说数列是发散的.,注意：,几何解释:,数列的有界性,例如,有界,无界,定理1 （极限的唯一性）,数列xn的极限是唯一的。,定理2 （有界性）,如果数列xn收敛，那么数列xn一定有界。,注意：数列有界不一定收敛。,例如：,小结,数列:研究其变化规律;,数列极限:极限思想、几何意义，,收敛数列的性质:有界性 唯一性,第四节 函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,1，数列极限是函数极限的一种特例，因为数列可以看作自变量为自然数的函数：,数列极限就是当自变量 n 无限增大时,所对应的函数值 xn 的极限。,当自变量不取正整数而是取实数趋于无穷大时，就是函数极限形式。,2、定义,3 、另外两种情形：(自变量只向一个方向无限增大),定理：,4、极限 的定义的几何意义,当x时，函数f(x)以A为极限:,对于任意给定的正数e,存在着正数X,当|x|X时 有不等式|f(x)-A|e ,水平渐近线,水平渐近线,二、自变量趋向有限值时函数的极限,如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),总存在正数 ,使得对于适合不等式 的一切 ,对应的函数值 都满足不等式, 那么常数 就叫函数 当 时的极限, 记作,定义：,函数极限的几何意义,使当0|x-x0|d 时 |f(x)-A|e ,对于任意给定的正数e ,总存在一个正数d ,当x趋于x0时 f(x)以A为极限,任给 0, 总存在0 ,使得当 0|x- x0| 时 ,恒有| f(x)-A | ,例1,例2,例3,证,函数在点x=1处没有定义.,极限的局部保号性定理,定理1,定理2,左、右极限(自变量分别从左、右两个方向逼近于x0 ),定理：,如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),总存在正数 ,使得对于适合不等式 的一切 ,对应的函数值 都满足不等式, 那么常数 就叫函数 当 时的右极限或者左极限,记作,这是因为,任给 ,存在 N,使得当 nN 时,恒有,任给 ,存在X0,使得当 | x| X 时,恒有,任给 0, 总存在0 ,使得当 0|x- x0| 时 ,恒有| f(x)-A | ,任给 0, 总存在0 ,