《无穷小的比较》PPT课件.ppt

17 无穷小的比较,一般, 无穷小量的商有下列几种情形.,定义1. 设lim(x)=0, lim(x)=0.,则称(x)是比(x)高阶的无穷小量,记作, (x)=o(x),或称(x)是比(x)低阶的无穷小量,则称(x)是比(x)低阶的无穷小量.,则称(x)和(x)是同阶无穷小量,记作, (x)= O(x),则称 (x)是(x)的k阶无穷小量.,则称(x)和(x)是等价无穷小量,记作, (x) (x),显然, 若(x) (x), 则 (x)和(x)是同阶无穷小量,但反之不对.,比如,(i),(ii),(iii),n,10 0.1 0.01 0.2 0.105,100 0.01 0.0001 0.02 0.01005,1000 0.001 0.000001 0.002 0.0010005, ,定理1. 设(x), (x), (x), (x)是某极限过程中的无穷小量. f (x)是另一变量, 且, (x) (x), (x) (x), 则,只须右端极限存在或为无穷大.,证: (1) 因为(x) (x), (x) (x),所以,类似可证(2), (3).,例1.,解:,由于当x0, tgx x,从而tg2x 2x.,当x0, sinx x,从而sin5x 5x.,故,例2.,解:,= 1,例3.,解:,= 0,或,= 0 1= 0,例4.,解:,= 1,事实上, 若作代换, 有,显然, 这个结果是错误的.,例5. 当x0时, tgx sinx是x的几阶无穷小量?,解: 首先注意结论: 若当x0时, f (x) = O(x), g(x) = O(x), 则 f (x) g(x) = O(x+), 其中, , 均大于0.,由于 tgx sinx = tgx(1 cosx),因 tgx x , 而 1 cosx = O(x2).,故 tgx sinx = tgx(1 cosx ) = O(x3).,常用的等价无穷小.,当x0时, sinx x, tgx x, arctgx x, arcsinx x, ex1 x, ln(1+x) x,事实上, 当 y 0时, y = elny.,从而,= 1,注1. 用符号“ ”表示无穷小量比无穷小量的极限问题.,用符号“ ”表示无穷大量比无穷大量的极限问题.,用符号“ 0 ”表示无穷小量乘以无穷大量的极限问题.,三种类型可以互化.,比如,注2. 若当x0时, f (x) = O(x ), g(x) = O(x ), 0.,则 f (x) g(x) = O(x),18 函数的连续性与间断点,一、函数的连续性,例. 火箭升空时, 质量变化情形如图.,m0,t0,一般, 当 f (x)连续变化时, 其图形是一条连续曲线.,反之, 若 f (x)图形是一条连续曲线, f (x)则是连续变化的.,x,x,y,y,x,y,x,y,x0,f (x0),A,B,x x0,x x0,从图上可看出, (x)在x0间断. 但f (x)在x0连续.,(x)在x0的极限不存在, 而,y,y,x0,y = (x),y = f (x),定义1. 设f (x)在x0的某邻域U(x0)内有定义.,且,则称f (x)在x0连续, x0称为f (x)的连续点.,否则称f (x)在x0间断, x0称为f (x)的间断点, 或称为不连续点.,由于当f (x)为多项式时, 有,所以, 多项式及正, 余弦函数在任何点x0处连续.,连续定义也可用 语言给出。,若对 0, 0,使得当|xx0|时,对应的函数值f (x)满足| f (x) f (x0) |,则称f (x)在x0处连续.,注: 与极限定义比较, 将“a“换成“ f (x0)“,将“0|xx0| “换成“ |xx0| “.,例1.,证:,又因为f (0)=0.,如图,还可得到, |x|在任何点x0处连续.,称为x0的右邻域和x0的左邻域.,定义2.,则称f (x)在x0处右(左)连续.,设f (x)在x0的某右邻域 (某左邻域 )内有定义,定理1. f (x)在x0处连续 f (x)在x0左连续且右连续.,例2.,问a为何值时,f (x)在x=0连续.,解: f (0)=3,= 3,f (x)在 x = 0右连续.,为使f (x)在x=0连续, 必须 f (00)=f (0)=f (0+0),即, a=3.,故, a=3时, f (x)在x=0连续.,= a,例3.,问f (x)在x=0是否连续.,解: f (0)=1,=1,右连续.,故, f (x)在x=0间断.,= 1, f (0),不左连续.,图形为,若f (x)在(a, b)内每一点连续, 则称f (x)在开区间(a, b)内连续.,记作 f (x)C(a, b).,C(a, b)表示在(a, b)内连续的函数全体所成集合.,其中,若f (x)在(a, b)内连续,且f (x)在x=a右连续.,在x=b左连续.,则称f (x)在闭区间a, b上连续.,记作 f (x)Ca, b.,一般, 设变量u从初值u0变到终值u1,记u=u1u0,称为变量u的增量(改变量).,u可正, 可负, 还可为0.,另外, u1 = u0+ u,记 y = f (x) f (x0) = f (x0 + x) f (x0),称为y在x0处相应于x的增量(改变量).,设f (x)在U(x0)有定义,xU(x0),记 x =xx0,称为自变量x在x0处增量(改变量).,且 x = x0 + x,定义3.设y=f (x)在U(x0)有定义.,若当x = xx00时, 有y=f (x0+x)f (x0)0,则称f (x)在x0连续.,连续定义可用函数的增量的形式给出.,如图.,B=(x0),A,x0+ x,y,C,D,x0,x0,y=CD的长,y=(x),f (x0),x0+x,x0+x,x0,x0,x0,y,M,N,y=CD的长,y= (MN的长),C,D,y=f (x),1-9 连续函数运算与初等函数的连续性,定理1. 若f (x), g(x)在点 x0处连续, 则,(1) af (x)+bg(x)在x0处连续, 其中a, b为常数.,(2) f (x) g(x)在x0连续.,(3) 当 g(x0)0时,一、连续函数的和、差、积、商的连续性,定理2. 设若y=f (x)由 y=f (u), u=(x)复合而成.,若u=(x)在x0连续,u0=(x0),而y=f (u)在u0,则复合函数y=f (x)在x0连续.,连续,证:,要证y=f (x)在x0连续, 只须证0, 0, 当|xx0| 时, 有| f (x) f (x0)|. 即可.,二、复合函数的连续性,0, 因y=f (u)在u0连续,故 0, 当|uu0|, 有| f (u) f (u0)| .,又因u=(x)在x0连续.,从而对上述 0,0, 当|xx0|时, 有|uu0|= |(x) (u0)| .,进而有,| f (x) f (x0)| = | f (u) f (u0)| ,故y=f (x)在x0连续.,将这个定理与定理1比较, 这里少了条件“ (x0), 使得在 (x0)内, (x) u0“ .,这是因为f (u)在u0连续.,注意: 定理1中条件“ (x) u0 “不能少.,如, 设,而u = (x) =1, x R.,则当xx0时, u = (x) 1.,而当u 1时, y=f (u) 2.,即按P52. 定理2, 应有,但,推论. 若lim(x) =A. 且 y=f (u)在 u=A连续, 则 limf (x) = f lim(x),式子,= f (x0)相当于,因此, 有,例4.,解:,定理3. 若y =f (x)在区间I上单调增加(减少)且连续,则其反函数x=f 1(y)在相应区间上单调增加(减少) 且连续.,定理4. 若y =f (x)在x0连续, 且f (x0)0 (0 (0).,三、初等函数的连续性,定理6. (1) 基本初等函数在其定义域内连续.,(2) 初等函数在其定义域内连续.,例5.,例6.,称形如y=f (x)g(x)的函数为幂指函数, 其中f (x)0.,根据对数恒等式 y=elny, y 0, 有f (x)gx = eg(x) lnf (x),即,因此, 当f (x), g(x)均连续时, f (x)g (x)也连续.,则,例7.,若 limf (x) = A 0. limg(x) = B, 存在.,例8.,= 21 = 2,例9.,例10.,若limf (x)=1, limg(x)= , 称limf (x)g(x) 为