利用导数判断函数的单调性 高中数学选修1-1课件资源.ppt

1.3.1利用导数判断函数的单调性,知识与能力目标： 1理解导数符号与函数的单调性关系； 2会利用导数判断函数的单调性； 过程与方法目标： 讲练结合、讨论等方法，同时利用提示等方 法为学生降低难度 情感态度与价值观目标： 通过对导数与函数的单调性的关系学习，进一步加强知识的应用能力。,教学目标,教学重点 导数符号与函数的单调性关系，用导数解决函数的单调性； 教学难点 导数符号与函数的单调性关系。,知识链接,1. 函数的单调性: 对于任意的两个数x1，x2I，且当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么函数f(x)就是区间I上的增函数. 对于任意的两个数x1，x2I，且当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么函数f(x)就是区间I上的减函数.,2. 导数的概念及其四则运算,课前预习,竖直上抛一个小沙袋，沙袋的高度h是时间t的函数，设h=h(t)，其图象如图所示。,横轴表示时间t，纵轴表示沙袋的高度h,设沙袋的最高点为A，其横坐标为t=t0.,先考察沙袋在区间(a，t0)的运动情况：,根据生活经验，我们知道，在这个区间内，沙袋向上运动，其竖直向上的瞬时速度大于0，,即在区间(a，t0)，,我们说在此区间内，函数h=h(t)是增函数.,再考察沙袋在区间(t0，b)的运动情况：,在这个区间内，沙袋向下运动，其竖直向上的瞬时速度小于0，即在区间(t0，b)，,我们说在此区间内，函数h=h(t)是减函数。,用函数的导数判断函数单调性的法则：,1如果在区间(a，b)内，f (x)0，则f(x)在此区间是增函数，(a，b)为f(x)的单调增区间； 2如果在区间(a，b)内，f (x)0，则f(x)在此区间是减函数，(a，b)为f(x)的单调减区间；,我们可以用s(t)与瞬时速度v(t)的关系来说明这个法则的正确性：,当v(t)=s(t)0时，s(t)是增函数； 当v(t)=s(t)0时，s(t)是减函数。,我们还可以用函数曲线的切线斜率来理解这个法则；,当切线斜率为正时，切线的倾斜角小于90，函数曲线呈上升状态； 当切线斜率为负时，切线的倾斜角小于90，函数曲线呈下降状态.,如果函数y=f(x)在x的某个开区间内，总有f (x)0，则f(x)在这个区间上是增函数； 如果函数y=f(x)在x的某个开区间内，总有f (x)0，则f(x)在这个区间上是减函数。,例1如图，设有圆C和定点O，当l 从l0 开始在平面上绕O点匀速旋转(旋转角度不超过90)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，它的图象大致是下列四种情况中的哪一种？,解：由于是匀速旋转，阴影部分的面积S(t)开始和最后时段缓慢增加，中间时段S增速快， 图A表示S的增速是常数，与实际不符，图A应否定； 图B表示最后时段S的增速快，也与实际不符，图B也应否定； 图C表示开始时段与最后时段S的增速快，也与实际不符，图C也应否定； 图D表示开始与结束时段，S的增速慢，中间的时段增速快，符合实际，应选D。,例2确定函数f(x)=x22x+4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.,解：f (x)=(x22x+4)=2x2.,令2x20，解得x1.,当x(1，+)时，f (x)0， f(x)是增函数.,令2x20，解得x1.,当x(，1)时，f (x)0， f(x)是减函数.,例3找出函数f(x)=x34x2+x1的单调区间。,解：f (x)=3x28x+1， 令3x28x+10，解此不等式得,或,令3x28x+10，解此不等式得,因此，区间 为f(x)的单调减区间。,例4证明函数f(x)= 在(0，+)上是减函数.,证明：f (x)=( )=(1)x2= ，, x0，x20， 0. 即f (x)0，,f(x)= 在(0，+)上是减函数.,例5求函数y=x2(1x)3的单调区间.,解：y=x2(1x)3 =2x(1x)3+x23(1x)2(1) =x(1x)22(1x)3x =x(1x)2(25x),令x(1x)2(25x)0，解得0x ., y=x2(1x)3的单调增区间是(0， ),令x(1x)2(25x)0， 解得x0或x 且x1., x=1为拐点，, y=x2(1x)3的单调减区间是 (，0)，( ，+),达标练习,1函数y=3xx3的单调增区间是( ) (A) (0，+) (B) (，1) (C) (1，1) (D) (1，+),C,2设f(x)=x (x0)，则f(x)的单调增区间是( ) (A) (，2) (B) (2，0) (C) (， ) (D) ( ，0),C,3函数y=xlnx在区间(0，1)上是( ) (A)单调增函数 (B)单调减函数 (C) 在(0, )上是减函数，在( , 1)上是增函数 (D) 在( , 1)上是减函数，在(0, )上是增函数,C,4函数y=x2(x+3)的减区间是 ，增区间是 .,(2，0),(，2)及(0，+),5函数f(x)=cos2x的单调区间是 .,(k, k+ ), kZ,6函数y= 的单调增区间是 .,(0，1),7证明：函数f(x)=ln(cosx)在区间( , 0)上是增函数。,证明：f (x)= (cosx)=tanx.,当x( , 0)时, tanx0, 即f (x)0,函数f(x)=ln(cosx)在区间( , 0)上是增函数。,8当x1时，证明不等式：,证明：设f(x)=,显然，f(x)在1，)上连续，且f(1)=0,f (x)=, x1, 0，于是f (x)0.,故f(x)是1，+)上的增函数，应有： 当x1时，f(x)f(1)=0，,即当x1时，,课堂小结,1