吉林大学本科运筹学课件-线性规划与单纯形法.ppt

线性规划及单纯形法,Linear Programming,第一章,Chapter1 线性规划 (Linear Programming),LP的数学模型 图解法 单纯形法 单纯形法的进一步讨论人工变量法 LP模型的应用,本章主要内容：,线性规划问题的数学模型,1. 规划问题,生产和经营管理中经常提出如何合理安排，使人力、物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益，这就是规划问题。,线性规划通常解决下列两类问题：,（1）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用最少的资源 （如资金、设备、原标材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标,（2）在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最好的经济效益（如产品量最多 、利润最大.）,线性规划问题的数学模型,例1.1 如图所示，如何截取x使铁皮所围成的容积最大？,线性规划问题的数学模型,例1.2 某厂生产两种产品，下表给出了单位产品所需资源及单位产品利润,问：应如何安排生产计划，才能使总利润最大？,解：,1.决策变量：设产品I、II的产量 分别为 x1、x2,2.目标函数：设总利润为z，则有： max z = 2 x1 + x2,3.约束条件：,线性规划问题的数学模型,例1.3 已知资料如下表所示，问如何安排生产才能使利润最大？或如何考虑利润大，产品好销。,解：,1.决策变量：设产品I、II的产量分别为 x1、x2,2.目标函数：设总利润为z，则有： max z = 2 x1 + 3x2,3.约束条件：,线性规划问题的数学模型,例1.4 某厂生产三种药物，这些药物可以从四种不同的原料中提取。下表给出了单位原料可提取的药物量,解：,要求：生产A种药物至少160单位；B种药物恰好200单位，C种药物不超过180单位，且使原料总成本最小。,1.决策变量：设四种原料的使用 量分别为：x1、x2 、x3 、x4,2.目标函数：设总成本为z min z = 5 x1 + 6 x2 + 7 x3 + 8 x4,3.约束条件：,例1.5 某航运局现有船只种类、数量以及计划期内各条航线的货运量、货运成本如下表所示：,问：应如何编队，才能既完成合同任务，又使总货运成本为最小？,线性规划问题的数学模型,解：,设：xj为第j号类型船队的队数（j = 1，2，3，4）， z 为总货运成本,则： min z = 36x1 + 36x2 + 72x3 + 27x4,线性规划问题的数学模型,线性规划问题的数学模型,2. 线性规划的数学模型由三个要素构成,决策变量 Decision variables 目标函数 Objective function 约束条件 Constraints,其特征是： （1）问题的目标函数是多个决策变量的线性函数，通常是求最大值或最小值； （2）问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不等式或等式。,怎样辨别一个模型是线性规划模型？,线性规划问题的数学模型,3. 建模条件,(1) 优化条件：问题所要达到的目标能用线型函数描述，且能够用极值 （max 或 min）来表示；,(2) 限定条件：达到目标受到一定的限制，且这些限制能够用决策变量的 线性等式或线性不等式表示；,(3) 选择条件：有多种可选择的方案供决策者选择，以便找出最优方案。,线性规划问题的数学模型,4. 建模步骤,(1) 确定决策变量：即需要我们作出决策或选择的量。一般情况下，题目问什么就设什么为决策变量；,(2) 找出所有限定条件：即决策变量受到的所有的约束；,(3) 写出目标函数：即问题所要达到的目标，并明确是max 还是 min。,线性规划问题的数学模型,目标函数：,约束条件：,5. 线性规划数学模型的一般形式,简写为：,线性规划问题的数学模型,向量形式：,其中：,线性规划问题的数学模型,矩阵形式：,其中：,线性规划问题的数学模型,6. 线性规划问题的标准形式,特点： (1) 目标函数求最大值（有时求最小值） (2) 约束条件都为等式方程，且右端常数项bi都大于或等于零 (3) 决策变量xj为非负。,线性规划问题的数学模型,（2）如何化标准形式,目标函数的转换,如果是求极小值即 ，则可将目标函数乘以 (-1)，可化为求极大值问题。,也就是：令 ，可得到上式。,即,若存在取值无约束的变量 ，可令 其中：,变量的变换,线性规划问题的数学模型,约束方程的转换：由不等式转换为等式。,称为松弛变量,称为剩余变量,常量 bi0 的变换:约束方程两边乘以（1）,线性规划问题的数学模型,例1.6 将下列线性规划问题化为标准形式,用 替换 ，且,解:（）因为x3无符号要求 ，即x3取正值也可取负值，标准型中要求变量非负，所以,线性规划问题的数学模型,(2) 第一个约束条件是“”号，在“”左端加入松驰变量x4，x40,化为等式； (3) 第二个约束条件是“”号，在“”左端减去剩余变量x5，x50； (4) 第3个约束方程右端常数项为-5，方程两边同乘以(-1),将右端常数项化为正数； (5) 目标函数是最小值，为了化为求最大值，令z=-z,得到max z=-z，即当z达到最小值时z达到最大值，反之亦然;,线性规划问题的数学模型,标准形式如下：,例1.7 将下列线性规划问题化为标准形式,为无约束（无非负限制）,线性规划问题的数学模型,解: 用 替换 ，且 ，,将第3个约束方程两边乘以（1）,将极小值问题反号，变为求极大值,标准形式如下：,引入变量,线性规划问题的数学模型,例1.8 将线性规划问题化为标准型,解：,线性规划问题的数学模型,例1.9 将线性规划问题化为标准型,解：,Min f= -3 x1 + 5 x2 + 8 x3 - 7 x4 s.t. 2 x1 - 3 x2 + 5 x3 + 6 x4 28 4 x1 + 2 x2 + 3 x3 - 9 x4 39 6 x2 + 2 x3 + 3 x4 - 58 x1 , x3 , x4 0； x2无约束,Max z = 3x15x2+5x2”8x3 +7x4 s.t. 2x13x2+3x2”+5x3+6x4+x5= 28 4x1+2x2-2x2”+3x3-9x4-x6= 39 -6x2+6x2”-2x3-3x4-x7 = 58 x1 ,x2,x2”,x3 ,x4 ,x5 ,x6 ,x7 0,线性规划问题的数学模型,线性规划问题的数学模型,7. 线性规划问题的解,线性规划问题,求解线性规划问题，就是从满足约束条件(2)、(3)的方程组中找出一个解，使目标函数(1)达到最大值。 为价值系数， 为技术系数,线性规划问题的数学模型,可行解：满足约束条件、的解为可行解。所有可行解的集合为可行域。 最优解：使目标函数达到最大值的可行解。 基：设A为约束条件的mn阶系数矩阵(mn)，其秩为m，B是矩阵A中m阶满秩子矩阵（B0），称B是规划问题的一个基。设：,称 B中每个列向量Pj ( j = 1 2 m) 为基向量。与基向量Pj 对应的变量xj 为基变量。除基变量以外的变量为非基变量。,线性规划问题的数学模型,基解：某一确定的基B，令非基变量等于零，由约束条件方程解出基变量，称这组解为基解。在基解中变量取非0值的个数不大于方程数m，基解的总数不超过 基可行解：满足变量非负约束条件的基本解，简称基可行解。 可行基：对应于基可行解的基称为可行基。,线性规划问题的数学模型,例1.10 求线性规划问题的所有基矩阵。,解: 约束方程的系数矩阵为25矩阵,r(A)=2，2阶子矩阵有10个，其中基矩阵只有9个，即,例1.11 求下列约束方程所对应的线性规划的所有基本解，基本可行解。 s.t 解：化为标准形式 为24阶矩阵。 且R(A)=2,所以该线性规划基的个数 =6个 取 , 为基变量， 若令非基变量 ， 约束方程组为 可得对应的基本解 是一个基本可行解。,按相同步骤，可求得线性规划其他4个基：,对应基本解 是一个基本可行解。,对应基本解 是一个基本可行解。,对应基本解 不是一个基本可行解。,对应基本解 是一个基本可行解。,若利用图解法画出线性规划的可行域，如图，,C,D,O,B,A,4,4,8,图解法,线性规划问题的求解方法,一 般 有 两种方法,图 解 法 单纯形法,两个变量、直角坐标 三个变量、立体坐标,适用于任意变量、但必需将 一般形式变成标准形式,下面我们分析一下简单的情况 只有两个决策变量的线性规划问题，这时可以通过图解的方法来求解。图解法具有简单、直观、便于初学者窥探线性规划基本原理和几何意义等优点。,解题步骤,4 将最优解代入目标函数，求出最优值。,1 在直角平面坐标系中画出所有的约束等式，并找出所有约束条件的公共部分，称为可行域，可行域中的点称为可行解。,2 标出目标函数值增加或者减小的方向。,3 若求最大（小）值，则令目标函数等值线沿（逆）目标函数值增加的方向平行移动，找与可行域最后相交的点，该点就是最优解。(任取等值线 C1x1+C2x2=Z0, 沿梯度Z正方向平移。若是极小化问题，则沿负梯度方向-Z平移。）,图解法,图解法,max Z = 2X1 + X2 X1 + 1.9X2 3.8 X1 - 1.9X2 3.8 s.t. X1 + 1.9X2 10.2 X1 - 1.9X2 -3.8 X1 ，X2 0,例1.12 用图解法求解线性规划问题,图解法,x1,x2,o,X1 - 1.9X2 = 3.8(),X1 + 1.9X2 = 3.8(),X1 - 1.9X2 = -3.8 (),X1 + 1.9X2 = 10.2(),4 = 2X1 + X2,20 = 2X1 + X2,14+32/19 = 2X1 + X2,11 = 2X1 + X2,Lo： 0 = 2X1 + X2,（7，32/19）,D,max Z,min Z,此点是唯一最优解， 且最优目标函数值 max Z=14+32/19,可行域,max Z = 2X1 + X2,图解法,max Z=3X1+5.7X2,x1,x2,o,X1 - 1.9X2 = 3.8 (),X1 + 1.9X2 = 3.8(),X1 - 1.9X2 = -3.8(),X1 + 1.9X2 = 10.2 (),（7，32/19）,D,L0： 0=3X1+5.7X2,max Z,（3.2，70/19）,30.6 = 3X1+5.7X2,蓝色线段上的所有点都是最 优解这种情形为有无穷多最 优解，但是最优目标函数值 max Z=30.6是唯一的。,可行域,图解法,min Z=5X1+4X2,x1,x2,o,X1 - 1.9X2 = 3.8 (),X1 + 1.9X2 = 3.8(),X1 + 1.9X2 = 10.2 (),D,L0： 0=5X1+4X2,max Z,min Z,8=5X1+4X2,43=5X1+4X2,（0，2）,可行域,此点是唯一最优解,图解法,2,4,6,x1,x2,2,4,6,无界解(无最优解),max Z=x1+2x2,例1.6,x1+x2=4(),x1+3x2=6(),3x1+x2=6(),max Z,min Z,x1,x2,O,10,20,30,40,10,20,30,40,50,50,无可行解(即无最优解),max Z=3x1+4x2,例1.7,由图解法得到的几种情况,根据以上例题，进一步分析讨论可知线性规划的可行域和最优解有以下几种可能的情况： 1.可行域为封闭的有界区域 (a)有唯一的最优解； (b)有无穷多个最优解； 2.可行域为封闭的无界区域 (c)有唯一的最优解； (d)有无穷多个最优解； (e)目标函数无界(即虽有可行解，但在可行域中，目标函数可以无限增大或无限减少)，因而没有有限最优解。 3.可行域为空集 (f)没有可行解，原问题无最优解,图解法,由图解法得到的启示,(1) 线性规划问题解的情况：唯一最优解；无穷多最优解；无界解；无可行解,(3) 最优解一定是在凸集的某个顶点,(2) 线性规划问题的可行域是凸集（凸多边形）,(4) 解题思路是，先找出凸集的任一顶点，计算其目标函数值，再与周围顶点的目标函数值比较，如不是最大，继续比较，直到找出最大为止。,图解法,图解法,学习要点： 1. 通过图解法了解线性规划有几种解的形式 （唯一最优解；无穷多最优解；无界解；无可行解） 2. 作图的关键有三点： (1) 可行解区域要画正确 (2) 目标函数增加的方向不能画错 (3) 目标函数的直线怎样平行移动,连接几何形体中任意两点的线段仍完全在该几何形体之中。 有限个凸集的交集仍然是凸集。,单纯形法基本原理,单纯形法基本原理,凸集：如果集合C中任意两个点X1、X2，其连线上的所有点也都是集合C中的点，称C为凸集。,顶点：如果凸集C中不存在任何两个不同的点X1，X2，使X成为这两个点连线上的一个点,单纯形法基本原理,定理1：若线性规划问题存在可行解，则该问题的可行域是凸集。 定理2：线性规划问题的基可行解X对应可行域(凸集)的顶点。 定理3：若问题存在最优解，一定存在一个基可行解是最优解。（或在某个顶点取得）,考虑到如下线性规划问题 其中一个mn矩阵，且秩为m，总可以被调整为一个m维非负列向量，为n维行向量，为n维列向量。 根据线性规划基本定理： 如果可行域= n / =，0非空有界， 则上的最优目标函数值=一定可以在的一个顶点上达到。 这个重要的定理启发了Dantzig的单纯形法， 即将寻优的目标集中在D的各个顶点上。,单纯形法的一般原理,Dantzig的单纯形法把寻优的目标集中在所有基本可行解 （即可行域顶点）中。 其基本思路是从一个初始的基本可行解出发，寻找一条达到 最优基本可行解的最佳途径。 单纯形法的一般步骤如下： （1）寻找一个初始的基本可行解。 （2）检查现行的基本可行解是否最优，如果为最优， 则停止迭代，已找到最优解，否则转一步。 （3）移至目标函数值有所改善的另一个基本可行解， 然后转到步骤（2）。,单纯形法的计算步骤,单纯形法的思路,找出一个初始可行解,是否最优,转移到另一个基本可行解 （找出更大的目标函数值）,最优解,是,否,循 环,核心是：变量迭代,结束,确定初始的基本可行解,确定初始的基本可行解等价于确定初始的可行基，一旦初始的可行基确定了，那么对应的初始基本可行解也就唯一确定 为了讨论方便，不妨假设在标准型线性规划中，系数矩阵中前m个系数列向量恰好构成一个可行基，即 =（），其中 =（1，2，m）为基变量x1，x2，xm的系数列向量 构成的可行基， =(m+1，Pm+2,Pn)为非基变量xm+1 ,xm+2,xn的 系数列向量构成的矩阵。,所以约束方程 就可以表示为,用可行基的逆阵-1左乘等式两端，再通过移项可推得： 若令所有非基变量 , 则基变量 由此可得初始的基本可行解,问题： 要判断m个系数列向量是否恰好构成一个基并不是一件容易的事。 基由系数矩阵中m个线性无关的系数列向量构成。 但是要判断m个系数列向量是否线性无关并非易事。 即使系数矩阵中找到了一个基B，也不能保证该基恰好是可行基。 因为不能保证基变量B=-1b0。 为了求得基本可行解 ，必须求基的逆阵-1。 但是求逆阵-1也是一件麻烦的事。 结论：在线性规划标准化过程中应设法得到一个m阶单位矩阵I作为初始可行基，,若在化标准形式前，约束方程中有“”不等式， 那么在化标准型时除了在方程式左端减去剩余变量使不等式变 成等式以外，还必须在左端再加上一个非负新变量，称为 人工变量 若在化标准形式前，约束方程中有等式方程，那么可以直接在 等式左端添加人工变量。,为了设法得到一个m阶单位矩阵I作为初始可行基，可在性规 划标准化过程中作如下处理：,若在化标准型前，m个约束方程都是“”的形式， 那么在化标准型时只需在一个约束不等式左端都加上一个松弛变 量xn+i (i=1,2,m)。,单纯形法的计算步骤,例1.13 用单纯形法求下列线性规划的最优解,解：1）将问题化为标准型，加入松驰变量x3、x4则标准型为:,单纯形法的计算步骤,2）求出线性规划的初始基可行解，列出初始单纯形表。,检验数,单纯形法的计算步骤,3）进行最优性检验,如果表中所有检验数 ，则表中的基可行解就是问题的最优解，计算停止。否则继续下一步。,4）从一个基可行解转换到另一个目标值更大的基可行解，列出新的单纯形表,确定换入基的变量（最大增加原则）。选择 ，对应的变量xj作为换入变量，当有一个以上检验数大于0时，一般选择最大的一个检验数，即： ，其对应的xk作为换入变量。 确定换出变量（最小比值原则）。根据下式计算并选择 ，选最小的对应基变量作为换出变量。,单纯形法的计算步骤,用换入变量xk替换基变量中的换出变量，得到一个新的基。对应新的基可以找出一个新的基可行解，并相应地可以画出一个新的单纯形表。 5）重复3）、4）步直到计算结束为止。,单纯形法的计算步骤,换入列,bi /ai2，ai20,40,10,换出行,将3化为1,5/3,1,18,0,1/3,0,1/3,10,1,1/3,30,30,0,5/3,0,4/3,乘以1/3后得到,1,0,3/5,1/5,18,0,1,1/5,2/5,4,0,0,1,1,单纯形法的计算步骤,例1.14 用单纯形法求解,解：将数学模型化为标准形式：,不难看出x4、x5可作为初始基变量，列单纯形表计算。,单纯形法的计算步骤,20,x2,2,1/3,1,5,0,1,20,75,3,0,17,1,3,1/3,0,9,0,2,25,60,x1,1,1,0,17/3,1/3,1,25,0,1,28/9,-1/9,2/3,35/3,0,0,-98/9,-1/9,-7/3,变成标准型,单纯形法的计算步骤,例1.15 用单纯形法求解,约束方程的系数矩阵,为基变量,为非基变量,I 为单位矩阵且线性独立,单纯形法的计算步骤,判断现行的基本可行解是否最优,假如已求得一个基本可行解,将这一基本可行解代入目标函数，可求得相应的目标函数值,其中 分别表示基变量和 非基变量所对应的价值系数子向量。,单纯形法的矩阵初等行变换实质,要判定 是否已经达到最大值，只需将 代入目标函数，使目标函数用非基变量 表示，即：,其中 称为非基变量N的检验向量，它的各个分量称为检验数。若N的每一个检验数均小于等于0，即N0，那么现在的基本可行解就是最优解。,定理1 最优解判别定理 对于线性规划问题 若某个基本可行解所对应的检验向量 ， 则这个基本可行解就是最优解。,定理2 无穷多最优解判别定理 若 是一个基本可行解，所对应的检验向量 ，其中存在一个检验数m+k=0， 则线性规划问题有无穷多最优解。,例1.16 用单纯形方法求解线性规划问题 解：本题的目标函数是求极小化的线性函数， 可以令 则 这两个线性规划问题具有相同的可行域和最优解， 只是目标函数相差一个符号而已。,0 1 0 1 0,3,x2,2,0 0 1 2 -1,2,x3,0,-,0 1 0 1 0,3,x2,2,4/1,1 0 1 0 0,4,x3,0,3/1,0 1 0 1 0,3,x4,0,_,1 0 1 0 0,4,x3,0,0 0 0 0 -1,8,Z,1 0 0 -2 1,2,x1,1,1 0 0 -2 0,6,Z,2/1,1 0 0 -2 1,2,x5,0,1 2 0 0 0,0,Z,8/2,1 2 0 0 1,8,x5,0,x1 x2 x3 x4 x5,b,XB,CB,1 2 0 0 0,C,最优解 最优值,2/2,3/1,-,因为非基变量x4的检验数4=0，由无穷多最优解判别定理，本例的线性规划问题存在无穷多最优解。事实上若以x4为换入变量，以x3为换出变量，再进行一次迭代，可得以下单纯形表：,最优解 最优值 最优解的一般表示式,对于极小化的线性规划问题的处理： 先化为标准型，即将极小化问题变换为极大化问题，然后利用单 纯形方法求解 直接利用单纯形方法求解，但是检验是否最优的准则有所不同， 即： 若某个基本可行解的所有非基变量对应的检验数 （而不是）， 则基本可行解为最优解 否则采用最大减少原则（而非最大增加原则）来确定换入变量， 即： 若 则选取对应的非基变量xm+k为换入变量 确定了换入变量以后，换出变量仍采用最小比值原则来确定。,单纯形法的计算步骤,学习要点： 1. 线性规划解的概念以及3个基本定理 2. 熟练掌握线性规划问题的标准化 3.熟练掌握单纯形法的解题思路及求解步骤,单纯形法的进一步讨论人工变量法,人工变量法： 前面讨论了在标准型中系数矩阵有单位矩阵，很容易确定一组基可行解。在实际问题中有些模型并不含有单位矩阵，为了得到一组基向量和初基可行解，在约束条件的等式左端加一组虚拟变量，得到一组基变量。这种人为加的变量称为人工变量，构成的可行基称为人工基，用大M法或两阶段法求解，这种用人工变量作桥梁的求解方法称为人工变量法。,单纯形法的进一步讨论人工变量法,例1.17 用大M法解下列线性规划,解：首先将数学模型化为标准形式,系数矩阵中不存在单位矩阵，无法建立初始单纯形表。,单纯形法的进一步讨论人工变量法,故人为添加两个单位向量，得到人工变量单纯形法数学模型：,其中：M是一个很大的抽象的数，不需要给出具体的数值，可以理解为它能大于给定的任何一个确定数值；再用前面介绍的单纯形法求解该模型，计算结果见下表。,单纯形法的进一步讨论人工变量法,单纯形法的进一步讨论人工变量法,例1.18 用大M法解下列线性规划,解：首先将数学模型化为标准形式,系数矩阵中不存在单位矩阵，无法建立初始单纯形表。,单纯形法的进一步讨论人工变量法,故人为添加两个单位向量，得到人工变量单纯形法数学模型：,其中：M是一个很大的抽象的数，不需要给出具体的数值，可以理解为它能大于给定的任何一个确定数值；再用前面介绍的单纯形法求解该模型，计算结果见下表。,单纯形法的进一步讨论人工变量法,单纯形法的进一步讨论人工变量法,单纯形法的进一步讨论两阶段法,用计算机处理数据时，只能用很大的数代替M,可能造成计算机上的错误，故多采用两阶段法。,第一阶段： 在原线性规划问题中加入人工变量，构造如下模型：,对上述模型求解（单纯形法），若=0,说明问题存在基可行解，可以进行第二个阶段；否则，原问题无可行解，停止运算。,单纯形法的进一步讨论两阶段法,第一阶段的线性规划问题可写为：,第一阶段单纯形法迭代的过程见下表 （注意：没有化为极大化问题）,单纯形法的进一步讨论两阶段法,单纯形法的进一步讨论两阶段法,第二阶段： 在第一阶段的最终表中，去掉人工变量，将目标函数的系数换成原问题的目标函数系数，作为第二阶段计算的初始表（用单纯形法计算）。,例：,单纯形法的进一步讨论两阶段法,第二阶段：,最优解为（4 1 9 0 0），目标函数 Z = 2,单纯形法的进一步讨论,通过大法或两阶段法求初始的基本可行解。但是如果在大法的最优单纯形表的基变量中仍含有人工变量，或者两阶段法的辅助线性规划的目标函数的极小值大于零，那么该线性规划就不存在可行解。,无可行解,C,-3 -2 -1 0 0 0 -M -M,CB,XB,b,x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8,0 -M -M,x4 x7 x8,6 4 3,1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 -1 0 -1 0 1 0 0 1 -1 0 0 -1 0 1,6/1 - 3/1,Z,-7M,-6-4M,-15-M,-3+M -2+M -1-2M 0 -M -M 0 0,0 -M -2,x4 x7 x2,3 4 3,1 0 2 1 0 1 0 -1 1 0 -1 0 -1 0 1 0 0 1 -1 0 0 -1 0 1,3/1 4/1 -,Z,Z,-3+M 0 -3-M 0 -M -2 0 2-M,-3 -M -2,x1 x7 x2,3 1 3,1 0 2 1 0 1 0 -1 0 0 -3 -1 -1 -1 1 1 0 1 -1 0 0 -1 0 1,0 0 3-3M 3-M -M 1-M 0 -1,例,单纯形法的进一步讨论,运算到检验数全负为止，仍含有人工变量，无可行解。,单纯形法的进一步讨论,无最优解与无可行解时两个不同的概念。 无可行解是指原规划不存在可行解，从几何的角度解释是指 线性规划问题的可行域为空集； 无最优解则是指线性规划问题存在可行解，但是可行解的目 标函数达不到最优值，即目标函数在可行域内可以趋于无穷大（或者无穷小）。无最优解也称为有限最优解，或无界解。 判别方法：无最优解判别定理 在求解极大化的线性规划问题过程中，若某单纯形表的检验 行存在某个大于零的检验数，但是该检验数所对应的非基变量 的系数列向量的全部系数都为负数或零，则该线性规划问题 无最优解,无最优解,例 试用单纯形法求解下列线性规划问题： 解：引入松弛变量x3,x4化为标准型,因 但 所以原问题 无最优解,退化,即计算出的 （用于确定换出变量）存在有两个以上相同的最小比值，会造成下一次迭代中由一个或几个基变量等于零，这就是退化（会产生退化解）。 为避免出现计算的循环，勃兰特(Bland)提出一个简便有效的规则（摄动法原理）： 当存在多个 时，选下标最小的非基变量为换入变量； (2) 当值出现两个以上相同的最小值时，选下标最大的基变量为换出变量。,单纯形法的进一步讨论,例 求解下述线性规划问题： 解：引入松弛变量 化标准型,0,0,0,-24,2,-80,3,0,Z,-5,-3,0,-42,0,-8,0,5,Z,1,0,0,0,1,0,0,1,x3,2,1,1,0,6,0,-24,1,1,x1,3,3,-1,1,30,0,-8,0,3,x5,0,0,-3,0,-42,5,-8,0,0,Z,1,0,0,0,1,0,0,1,x7,0,0,1,0,6,-1,-24,1,0,x1,3,0,-1,1,30,-3,-8,0,0,x5,0,-,1,0,0,0,1,0,0,1,x7,0,0,0,1,0,6,-1,-24,1,0,x6,0,0,0,0,1,36,-4,-32,1,0,x5,0,x7,x6,x5,x4,x3,x2,x1,b,XB,CB,0,0,0,-24,2,-80,3,C,第一次迭代中使用了摄动法原理，选择下标为6的基变量x6离基。,可得最优解 maxZ=，,单纯形法的进一步讨论,无穷多最优解,若线性规划问题某个基本可行解所有的非基变量检验数都小于等于零，但其中存在一个检验数等于零，那么该线性规划问题有无穷多最优解。 例：最优表： 非基变量检验 数 ， 所以有无穷多 最优解。,单纯形法的进一步讨论,单纯形法的进一步讨论,解的判别： 1）唯一最优解判别：最优表中所有非基变量的检验数非零,则线性规划具有唯一最优解。 2）多重最优解判别：最优表中存在非基变量的检验数为零,则线性规划具有多重最优解（或无穷多最优解）。 3）无界解判别：某个k0且aik（i=1，2,m）则线性规划具有无界解。 4）无可行解的判断：当用大M单纯形法计算得到最优解并且存在Ri0时，则表明原线性规划无可行解。 5）退化解的判别：存在某个基变量为零的基本可行解。,单纯形法的进一步讨论,单纯性法小结:,A,线性规划模型的应用,一般而言，一个经济、管理问题凡是满足以下条件时，才能建立线性规划模型。,要求解问题的目标函数能用数值指标来反映，且为线性函数 存在着多种方案 要求达到的目标是在一定条件下实现的，这些约束可用线性等式或不等式描述,线性规划模型的应用,常见问题,合理利用线材问题：如何下料使用材最少。 配料问题：在原料供应量的限制下如何获取最大利润。 投资问题：从投资项目中选取方案，使投资回报最大。 产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，使获利最大。 劳动力安排：用最少的劳动力来满足工作的需要。 运输问题：如何制定调运方案，使总运费最小。,线性规划模型的应用,(1)设立决策变量； (2)明确约束条件并用决策变量的线性等式或不等式表示； (3)用决策变量的线性函数表示目标，并确定是求极大（Max）还是极小（Min）； (4)根据决策变量的物理性质研究变量是否有非负性。,建立线性规划模型的过程可以分为四个步骤：,线性规划在经济管理中的应用,1. 资源的合理利用,某厂计划在下一生产周期内生产B1,B2, Bn种产品，要消耗A1,A2, Am种资源，已知每件产品所消耗的资源数、每种资源的数量限制以及每件产品可获得的利润如表所示，问如何安排生产计划，才能充分利用现有的资源，使获得的总利润最大？,线性规划在经济管理中的应用,2. 生产组织与计划问题,某工厂用机床A1,A2, Am 加工B1,B2, Bn 种零件。在一个周期内，各机床可能工作的机时（台时），工厂必须完成各种零件的数量、各机床加工每个零件的时间（机时/个）和加工每个零件的成本（元/个）如表所示，问如何安排各机床的生产任务，才能完成加工任务，又使总成本最低？,例1： 某厂生产、三种产品，都分别经A、B两道工序加工。设A工序可分别在设备A1和A2上完成，有B1、B2、B3三种设备可用于完成B工序。已知产品可在A、B任何一种设备上加工；产品可在任何规格的A设备上加工，但完成B工序时，只能在B1设备上加工；产品只能在A2与B2设备上加工。加工单位产品所需工序时间及其他各项数据如下表，试安排最优生产计划，使该厂获利最大。,解：设xijk表示产品i在工序j的设备k上加工的数量。约束条件有：,目标是利润最大化，即利润的计算公式如下： 这样得到目标函数 Max (1.25-0.25)(x111+x112 )+(2-0.35)x221+(2.80-0.5)x312-300/6000(5x111+10x211 )-321/10000(7x112+9x212+12x312 )- 250/4000(6x121+8x221 )-783/7000(4x122+11x322 )-200/4000(7x123) 经整理可得： Max 0.75x111+0.7753x112+1.15x211+1.3611x212+1.9148x312-0.375x121-0.5x221-0.4475x122-1.2304x322-0.35x123,因此该规划问题的模型为：,例2：明兴公司生产甲、乙、丙三种产品，都需要经过铸造、机加工和装配三个车间。甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，亦可以自行生产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。数据如下表。问：公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各生产多少件？甲、乙两种产品的铸造中，由本公司铸造和由外包协作各应多少件？,线性规划在管理中的应用,解：设 x1,x2,x3 分别为三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三种产品的件数， x4,x5 分别为由外协铸造再由本公司机加工和装配的甲、乙两种产品的件数。 求 xi 的利润：利润 = 售价 - 各成本之和 可得到 xi（i=1,2,3,4,5）的利润分别为15、10、7、13、9元。 这样我们建立如下的数学模型。 目标函数： Max 15x1 + 10x2 + 7x3 + 13x4 + 9x5 约束条件： s.t. 5x1 + 10x2 + 7x3 8000 6x1 + 4x2 + 8x3 + 6x4 + 4x5 12000 3x1 + 2x2 + 2x3 + 3x4 + 2x5 10000 x1,x2,x3,x4,x5 0,线性规划在经济管理中的应用,例3：现有一批某种型号的圆钢长8米，需要截取2.5米长的毛坯100根，长1.3米的毛坯200根。问如何才能既满足需要，又能使总的用料最少？,解：为了找到一个省料的套裁方案，必须先设计出较好的几个下料方案。其次要求这些方案的总体能裁下所有各种规格的圆钢，以满足对各种不同规格圆钢的需要并达到省料的目的，为此可以设计出4种下料方案以供套裁用。,3. 合理下料问题,线性规划在管理中的应用,设按方案、下料的原材料根数分别为xj (j=1，2,3,4)，可列出下面的数学模型：,线性规划在经济管理中的应用,4. 合理配料问题,某饲养场用n种饲料B1,B2, Bn配置成含有m种营养成分A1,A2, Am的混合饲料，其余资料如表所示。问应如何配料，才能既满足需要，又使混合饲料的总成本最低？,解：,线性规划在管理中的应用,例4：某人每天食用甲、乙两种食物（如猪肉、鸡蛋），其资料如下：问两种食物各食用多少，才能既满足需要、又使总费用最省？,解：设Xj 表示Bj 种食物用量,例5某工厂要用三种原料1、2、3混合调配出三种不同规格的产品甲、乙、丙，数据如下表。问：该厂应如何安排生产，使利润收入为最大？,解： 设 xij 表示第 i 种（甲、乙、丙）产品中原料 j 的含量。这样我们建立数学模型时，要考虑： 对于甲： x11，x12，x13； 对于乙： x21，x22，x23； 对于丙： x31，x32，x33； 对于原料1： x11，x21，x31； 对于原料2： x12，x22，x32； 对于原料3： x13，x23，x33； 目标函数： 利润最大，利润 = 收入 - 原料支出 约束条件： 规格要求 4 个； 供应量限制 3 个。,Max z = -15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33 s.t. 0.5 x11-0.5 x12 -0.5 x13 0 （原材料1不少于50%） -0.25x11+0.75x12 -0.25x13 0 （原材料2不超过25%） 0.75x21-0.25x22 -0.25x23 0 （原材料1不少于25%） -0.5 x21+0.5 x22 -0.5 x23 0 （原材料2不超过50%） x11+ x21 + x31 100 (供应量限制） x12+ x22 + x32 100 (供应量限制） x13+ x23 + x33 60 (供应量限制） xij 0 , i = 1,2,3; j = 1,2,3,线性规划在管理中的应用,5.人力资源分配问题,例6 某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员