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文档简介

4 定积分在几何上的应用,一、元素法,二、平面图形的面积,三、体积,四、光滑曲线的弧长,一、元素法,1 . 能用定积分表示的量Q所必须具备的三个特征：,(1) Q是与一个变量x的变化区间a,b有关的量;,(2) Q对于区间a,b具有可加性.,即如果把区a,b 分成若干个子区间,则Q等于各子区间上部分量的总和.,(3) 部分量 的近似值可表示为,2 .微元分析法,用定积分表示量Q的基本步骤:,(1)根据问题的具体情况,选取一个变量,例如x为积分变量,并确定其变化区间a,b;,(2)在区间a,b内任取一个小区间 ,求出相应于这个小区间的部分量 的近似值.,如果 能近似地表示为a,b上的一个连续函数,在 处的值 与 的乘积,就把 称为量Q的微元且记作 ,即,(3)以所求量Q的微元 为被积表达式,在区间a,b上作定积分,得,二、平面图形的面积,1、直角坐标情形,分两种情况：,1设函数,在区间,为连续函数且,则所围阴影面积,有：(如图）,面积元素,面积,面积元素 ：,面积,例1 求由,所围图形面积.,解 两曲线的交点为(2,-2)及(8,4).,根据此图形特点,可以选择y作为积分变量,其变化区间为-2,4.,图形的面积微元为:,从而可得图形面积,如果曲边梯形的曲边为参数方程,曲边梯形的面积,一般地：,解,椭圆的参数方程,由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积,1. 曲边扇形,其中r()在 ,上连续,且r()0.,相应于, +d的面积微元为,则图形面积为,设图形由曲线r=r()及射线=, =所围成.,取为积分变量,其变化区间为 ,2、极坐标情形,2. 一般图形,及射线=, =所围图形的面积微元为,则面积为,由曲线,点x且垂直于x 轴的截面面积.,体积微元为dV=A(x)dx, 则体积为 （如图）,取x为积分变量,其变化范围为a,b.,设立体介于x=a,x=b之间,A(x)表示过,三、体积,1、平行截面面积为已知的立体的体积,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,立体称为旋转体.,则如前所述,可求得截面面积,则,平面图形绕同平面内一条直线旋转一周而成的,设旋转体由如图的曲边梯形绕x轴形成.,2、旋转体的体积,同理,如旋转体由如图的曲边梯形绕y轴形成.,例5 求如图直角三角形绕x轴旋转而成的圆锥体的体积.,解 可求得过点O及P(h,r)的直线方程为,由公式得,则体积为,例6 求圆心在(b,0),半径为a(ba)的圆绕y轴旋转而成的环状体的体积.,解 圆的方程为,则所求体积可视为,曲边梯形绕y轴旋转而成的旋转体的体积之差.,分别与直线y=-a,y=a及y轴所围成的,则,(1) 设光滑曲线方程:,可用相应的切线段近似代替.即,则弧长微元(弧微分),故弧长为,取x为积分变量,变化区间为a,b.,a,b内任意小区间x, x +d x的一段弧长,四、光滑曲线的弧长,(2)若曲线方程由参数方程:,弧长微元,则如
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