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二、 立体几何中的向量方法 证明平行与垂直,A,P,直线的方向向量,一、方向向量与法向量,方向向量:与直线l平行或是在直线l上的非零 向量叫做直线l的方向向量。,2、平面的法向量,l,法向量:与平面垂直的非零向量叫做平面的法向量,练习:如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD 是正方形,侧棱PD底面ABCD,PD=DC=1 ,E是PC 的中点, 求平面EDB的一个法向量.,解:如图所示建立空间直角坐标系.,设平面EDB的法向量为,因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置,所以我们可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角、距离等位置关系.,用向量方法解决立体问题,m,l,(一). 平行关系:,(二)、垂直关系:,l,m,l,A,B,C,例1:四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形, PD底面ABCD,PD=DC=6, E是PB的 中点,DF:FB=CG:GP=1:2 . 求证:AE / FG.,A,B,C,D,P,G,F,E,A(6,0,0),F(2,2,0),E(3,3,3),G(0,4,2),AE/FG,证:如图所示, 建立空间直角坐标系.,/,AE与FG不共线,例2:四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PD底面ABCD,PD=DC, E是PC的中点, (1)求证:PA/平面EDB.,A,B,C,D,P,E,解1:立体几何法,A,B,C,D,P,E,解2:如图所示建立空间直角坐标系,点D为坐标原点,设DC=1,(1)证明:连结AC,AC交BD于点G,连结EG,A,B,C,D,P,E,解3(利用法向量证明)如图所示建立空间直角坐标系,点D为坐标原点,设DC=1,(1)证明:,设平面EDB的法向量为,E是AA1中点,,例3:正方体,平面C1BD.,证明:,E,求证:平面EBD,设正方体棱长为2, 建立如图所示坐标系,平面C1BD的一个法向量是,E(0,0,1),D(0,2,0),B(2,0,0),设平面EBD的一个法向量是,平面C1BD.,平面EBD,证明:设正方体棱长为1
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