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3.代数扩域,上一节的结果告诉我们，把域 上一个超越元或一个代数元添加于 所得到的单扩域的结构完全不同 我们有以下事实：设 是 的一个扩域，并且 含有 上的超越元那么总存在 的一个子域 ， 使得 是由添加 上的超越元于而得到的，而 只含上的代数元,这一事实的证明已超出本书的范围这个事实告诉我们，一个扩域可以分成两部分：一个超越的、一个代数的部分我们以下将不再讨论超越的扩域，而只对代数的扩域作一些进一步的研究,，,定义 若域 的一个扩域 的每一个元都是 上的一个代数元，那么 叫做 的一个代数扩域（扩张）,我们首先提出以下问题：假定 是添加集合 与 域所得的扩域，并且 的元都是 上的代数元，那么 的元是否都是 上的代数元？,为了解答这个问题，我们需要扩域的次数这一个概念 假定 是域 的一个扩域那么对于 的加法 和到 的乘法来说， 作成 上的一个向量空间 ，或者有一个维数 ， 是正整数； 或者是一个无限维空间,定义 若是域 的一个扩域 作为 上的向量空间有维数 ，那么 叫做扩域 在 上的次数，记做 这时 叫做域 的一个有限扩域；否则 叫做域 的一个无限扩域,关于扩域的次数我们有重要的,定理 令 是域 的有限扩域，而 是 的有限扩域那么 也是 的有限扩域，并且,证明 设 ， ，而 ， ， ， 是向量空间 在域 上的一个基， ， ， 是向量空间 在域 上的一个基看 的元 （ ， ； ， ）,我们只须证明，这 个元是向量空间 在域 上的一个基设 那么 ，,这就是说，以上 的个 的元 对于 来说线形无关现在假定 是 的一个任意元因为 是 上的 的一个基，,又由于 是 上的 的一个基， 这样，我们有,这就证明了， 是向量空间 在域 上的一个基证完,推论 令 是域，其中后一个是前一个的有限扩域那么以下等式成立： 现在我们证明下述几个定理来解答前面提出的问题,定理 令 是域 的一个单代数扩域那么 是 的一个代数扩域 证明 令 在 上的极小多项式的次数是 由，定理， 的每一个元都可以唯一地表成,这就是说， 的任意元都是 上的代数元，而 是 的代数扩域证完,由定理的证明可以得到以下两个重要事实 推论 令 是 域的一个单代数扩域，而 在 上的极小多项式的次数是 那么 是 的一个 次扩域,推论 域 的有限扩域一定是 的代数扩域,定理 令 ，其中每一个 都是域 上的代数元那么 是 的有限扩域，因而是 的代数扩域,证明 我们用归纳法 由定理，当 的时候，定理成立 假定，当我们只添加 个元 ， ， 于时，定理成立，也就是说，假定 是的有限扩域,现在来看 的情形我们知道，,由于 是 上的代数元，所以它也是 上的代数元因此 是 的单代数扩域，而由推论， 是 的有限扩域,由于 根据定理， 是 的有限扩域，于是由推论，它是 的代数扩域证完,推论 一个域 上的两个代数元的和、差、积与商（分母不为零）仍是 上的代数元 定理 令 ，这里集合 只包含域 上的代数元那么 是 的代数扩域
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