定积分的概念与性质(精).ppt

第五章 定积分,第一节 定积分的概念与性质,第二节 微积分基本公式,第三节 定积分的换元法和分部积分法,第四节 反常积分,第一节 定积分的概念与性质,三、定积分的性质,一、定积分问题举例,二、定积分的定义,一、定积分问题举例,曲边梯形 设函数yf(x)在区间a, b 上非负、连续. 由直线xa、xb、 y0及曲线yf (x)所围成的图形 称为曲边梯形, 其中曲线弧称 为曲边. 如何计算其面积？,在初等函数里面，我们只会计算规则图形的面积， 如长方形，圆形等。如何计算不规则图形的面积，是 我们需要解决的问题。,解决步骤 :,1) 分割.,在区间 a , b 中任意插入 n 1 个分点,用直线,将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;,2) 近似.,在第i 个窄曲边梯形上任取,作以,为底 ,为高的小矩形,并以此小,梯形面积近似代替相应,窄曲边梯形面积,得,3) 求和.,4) 取极限.,令,则曲边梯形面积,元素法,1 化整为零,2 以直代曲 (以常代变),3 积零为整,y=f (x),.,.,分法越细，越接近精确值,1. 曲边梯形的面积,f (i),.,元素法,4 取极限,y=f (x),令分法无限变细,.,.,.,.,分法越细，越接近精确值,1 化整为零,2 以直代曲 (以常代变),3 积零为整,f (i),1. 曲边梯形的面积,元素法,4 取极限,y=f (x),令分法无限变细,.,.,.,.,分法越细，越接近精确值,1 化整为零,2 以直代曲 (以常代变),3 积零为整,f (i),S =,.,S,.,1. 曲边梯形的面积,2.变速直线运动的路程,已知物体直线运动的速度vv(t)是时间 t 的连续函数, 且v(t)0, 计算物体在时间段T1, T2内所经过的路程S.,(1)分割:,T1t0t1t2 tn1tnT2, Dtititi1;,(2)近似:,物体在时间段ti1, ti内所经过的路程近似为,DSiv(i)Dti ( ti1 iti );,物体在时间段T1, T2内所经过的路程近似为,(3)求和:,(4)取极限:,记maxDt1, Dt2, Dtn, 物体所经过的路程为,上述两个问题的共性:,解决问题的方法步骤相同 :,“分割 , 近似 , 求和 , 取极限 ”,所求量极限结构式相同:,特殊乘积和式的极限,1. 曲边梯形的面积,2.变速直线运动的路程,许多问题的解决都可以化为上述特定和式的问题， 将其一般化，就得到定积分的概念.,1. 定积分的定义,(i1, 2, n),作和,maxDx1, Dx2,Dxn; 在小区间xi1, xi上任取一点xi,记Dxi=xi-xi1 (i1, , n),个分点: ax0x1x2 xn1xnb;,设函数f(x)在区间a, b上有界.,极限存在, 且极限值与区间a, b的分法和xi的取法无关, 则称此极限为函数f(x)在区间a, b上的定积分, 记为,即,二、定积分的定义,在区间a, b内插入n-1,如果当0时, 上述和式的,此时称 f ( x ) 在 a , b 上可积 .,定积分仅与被积函数及积分区间有关 ,而与积分,变量用什么字母表示无关 ,即,2.函数的可积性,定理1:如果函数f(x)在区间a, b上连续, 则函数f(x) 在区间 a, b上可积. 定理2:如果函数f(x)在区间a, b上有界, 且只有有限 个间断点, 则函数f(x)在区间a, b上可积.,1.定积分的定义,二、定积分的定义,3.定积分的几何意义:,曲边梯形面积,曲边梯形面积的负值,各部分面积的代数和,解 把区间0, 1分成n等份, 分点为和小区间长度为,例1. 利用定义计算定积分,取 ,作积分和,解 函数 y1x在区间0, 1上的定积分是以y=1-x为 曲边, 以区间0, 1为底的曲边梯形的面积.,因为以y=1-x为曲边, 以区间0, 1为底的曲边梯形是 一个直角三角形, 其底边长及高均为1, 所以,例2 用定积分的几何意义求,两点规定,三、定积分的性质,性质1,性质2,性质3,注：值得注意的是不论a b c的相 对位置如何上式总成立,性质4,推论1,如果在区间a b上 f (x)g(x) 则,如果在区间a b上 f (x)0 则,性质5,推论2,这是因为|f(x)|f(x)|f(x)|, 所以,性质6 设M及m分别是函数f(x)在区间a b上的最大值及最小值 则,性质7 (定积分中值定理) 如果函数f(x)在闭区间a b上连 续则在积分区间a b上至少存在一个点x ,使下式成立,这是因为, 由性质6变形得,积分中值公式,由介值定理, 至少存在一点xa, b, 使,两端乘以ba即得积分中值公式.,注:,可把,故它是有限个数的平均值概念的推广.,积分中值定理对,因,解,例3 估计积分 的值,解,例4 估计积分 的值,内容小结,1. 定积分的定义,