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多元函数取得极值的条件,无约束问题,取得极值的条件,必要条件,若函数f(x,y)在点P(x0,y0)存在两个偏导数,且 P(x0,y0)是函数f(x,y)的极值点,则,驻点,充分条件,若函数z= f(x,y) 在点P(x0,y0)的某邻域内连续且存在一,阶及二阶偏导数,又,令,则,时具有极值,且当A0,时有极小值。,0时没有极值,不能确定,n元函数取得极值的条件?,梯度,具有偏导数,,Hesse矩阵,必要条件,若n元函数f(x)在存在偏导数,且x*是函数f(x)的极值点,则,一阶条件,二阶条件,二阶充分条件,证明:,所以,约束问题,取得极值的条件,对于多元函数的条件极值,在高等数学中给出Lagrange乘子法。Lagrange乘子法只给出可能极值点,没有给出判别这些点究竟是否是极值点的方法,也没有给出判别是极大值点还是极小值点的方法。,问题:,对于一般的有约束极值问题,取得极值的条件是什么?,一般的约束极值问题:,几个概念:,可行域:,可行方向:,(1),指标集,起作用集,起作用约束在x的领域限制了可行点的范围。当点沿某些方向稍微离开x时,仍能满足约束条件;而沿另一些方向离开x时,不论步长多么小,都将违背这些约束。,对于非起作用约束(ci(x)0),x是否是局部最优解与这些非起作用约束无关。,序列可行方向:,序列可行方向的性质,设ci(x)在x处可微,则,证明,性质1,同样可证性质2,设fi(x)在x*处可微,且取得局部极小值,则,必要条件,说明,Lagrane函数,KT条件等价于,i称为Lagrange乘子,Lagrange乘子法,x*称为KT点,一阶条件,证明,首先证明集合非空,由于该方程组的系数矩阵的行向量组线性无关,所以该方程组有解,考察方程组,是SFD(x*,X)的子集,而SFD(x*,X)是闭集,所以S*的闭包cl(S*) SFD(x*,X),即,下面证明,下面证明dcl(S*),于是,所以,定理得证,一阶充分条件,证明,二阶条件,线性化零约束方向集,设x*是KT点,是相应的Lagrange乘子,dRn。如果,则称d是在x*处的线性化零约束方向。在x*处的所有线性化零约束方向的集合记为G(x*,),序列零约束方向集,设x*是KT点,是相应的Lagrange乘子。如果存在序列dkRn和k0(k=1,2, )使得,则称d是在x*处的序列零约束方向。在x*处的所有序列零约束方向的集合记为S(x*,)。 可证S(x*,) G(x*,),二阶必要条件,设x*是问题(1)的局部极小点,是相应的Lagrange乘子。则必有,证明,则存在序列dkRn和k0(k=1,2, )使得,因此,由于x*是问题(1)的局部极小点,对充分大的k有,充分条件,设x*是KT点,是相应的Lagrange乘子。如果,则x*是问题(1)的局部严格极小点。,证明,定理成立,推论,设x*是K
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