双曲线及其标准方程-数学选修.ppt

2.3.1 双曲线及其标准方程,1. 椭圆的定义,2. 引入问题：,如图(A)，,|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a,如图(B)，,上面 两条合起来叫做双曲线,由可得：,| |MF1|-|MF2| | = 2a （差的绝对值）,|MF2|-|MF1|=|F1F|=2a,注：当|MF1|-|MF2|=2a时，点M的轨迹 为近F2的一支. 当|MF2|-|MF1|=2a时，点M的轨迹 为近F1的一支.,画双曲线,平面上到两个定点的距离的差的绝对值等于常数2a(小于|F1F2 |)的点的轨迹叫双曲线,定点F1、F2叫做双曲线的焦点,两焦点之间的距离叫做焦距(2c),以线段F1F2中点为坐标原点，F1F2所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系，则F1(-c,0)，F2(c,0).,设M(x, y),第二步 设点,第一步 建立直角坐标系,y,x,O,(-c,0),(x,y),(c,0),由定义可得 |MF1|-|MF2|2a,第三步 列式,第四步 代坐标,第五步 化简,设,得,即：,双曲线的标准方程,（c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2),c2-a2b2,表示一个焦点在x轴上的双曲线,其焦点坐标为（c,0),(-c,0)，,双曲线上每一点到两焦点距离之差的绝对值为2a,其中： ,O,(-c,0),(c,0),y,x,(x,y),如果焦点在y轴上，则双曲线的标准方程为：,其焦点坐标为(0,-c)，(0,c),表示焦点在x轴上的双曲线,表示焦点在y轴上的双曲线,问题:对于一个具体的双曲线方程，怎么判断它的焦点在哪条轴上呢？,x,y,F1,(0,-c),M,(x,y),F2,(0,c),O,其中： ,看 前的系数，哪一个为正，则焦点在哪一个轴上,| |MF1|-|MF2| | =2a（ 2a|F1F2|）,F ( c, 0) F(0, c),双曲线定义及标准方程,双曲线 上一点P到焦点F1 的距离等于6，则点P到另一焦点F2的距离 是 _,a=8,判断下列双曲线的焦点位置，并求出焦点坐标和焦距,(2)a=4,b=3,c=5, 焦点在y轴， 焦点(0，-5)、(0，5)，焦距为10,(1)a=6,b=8,c=10, 焦点在x轴， 焦点(-10，0)、(10，0)，焦距为20；,22,|PF1|-|PF2|=2a=16=6-_,22,已知双曲线的两个焦点坐标分别是(-5,0)，(5,0)，点P到F1,F2距离差的绝对值等于6，求它 的标准方程,解：由于双曲线的焦点在x轴，于是设标准方程为,双曲线方程为:,由,得,只要求出a、b则可求出双曲线的方程,所以,归纳：焦点定位，a、b、c三者之二定形,例1,求适合下列条件的双曲线的 标准方程： (1)a=4，b=3，焦点在x轴上； (2)焦点为(0,-6)，(0,6)，且经过点(2,-5),如图,设点，的坐标分 别为(-5,0)，(5,0)直线AM，BM相交于点，且它们的斜率之积是 ，求点的轨迹方程,x,y,O,A,B,M,解：设点的坐标为(x,y) ,因为点的坐标为(-5,0) ,所以，直线AM的斜率,同理，直线BM的斜率,由已知有,化简,得点M的轨迹方程为,例2,求证：双曲线 与椭圆 的焦点相同,证明：双曲线化为标准方程,因为,所以,焦点在x轴，故焦点坐标为(-4,0)，(4,0),因为椭圆中,所以,焦点在x轴，故焦点坐标为(-4,0)，(4,0),所以双曲线与椭圆的焦点相同,例3 一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s,（1） 爆炸点应在什么曲线上？,（2） 已知A、B两地相距800m，并且此时声速为340m/s，求曲线的方程,解：（1）由声速及A、B两地听到爆炸声的时间差，可知A、B两地与爆炸点的距离的差，因此爆炸点应位于以A、B为焦点的双曲线上。,解（2）如图所示，建立直角坐角系，使A、B两点 在x轴上，并且点O与线段AB的中点重合,设爆炸点P的坐标为（x，y），则,即 2a=680