向量的正交分解与坐标运算.ppt

( ),口答,练习5:,O,A,M,S,B,N,不共线,基底,2.如图，已知向量e1、e2,求作向量：3e1+2e2.,思考：,类比在平面直角坐标系内点的坐标表示，探究向量的坐标表示.,2.2.2向量的正交分解 与向量的直角坐标运算,学习目标研读,1课堂目标 理解并掌握向量的正交分解、向量的坐标表示 2重点难点 重点：平面向量的坐标运算 难点：平面向量的正交分解与向量坐标的关系,一、教学目标,（1）知识目标：,（2）能力目标：,（3）情感目标：,（1）理解平面向量的坐标的概念； （2）掌握平面向量的坐标运算.,体会类比思想、转化思想、数形结合思想；培养学生分析、比较、抽象、概括的思维能力。培养学生的形象思维能力和发现能力。,激发学生善于发现、勇于探索的精神；树立事物 在一定条件下互相转化的辨证唯物主义的观点。,探索1:,以O为起点， P为终点的向量能否用坐标表示？如何表示？,向量的坐标表示,在平面直角坐标系内，起点不在坐标原点O的向量如何用坐标来表示?,探索2:,在平面直角坐标系内，起点不在坐标原点O的向量如何用坐标来表示?,探索2:,平面向量的坐标表示,如图， 是分别与x轴、y轴方向相同 的单位向量，若以 为基底，则,这里，我们把（x,y）叫做向量 的（直角）坐标，记作,其中，x叫做 在x轴上的坐标，y叫做 在 y轴上的坐标，式叫做向量的坐标表示.,若a以为起点,两者相同,思考:,3两个向量相等的条件，利用坐标如何表示？,平面向量可以用坐标表示，向量的运算可以用坐标来运算吗？,探索3：,（1）已知a =(x1 , y1), b= (x2 , y2) ， 求a + b , a b . （2）已知a =(x1 , y1)和实数 ， 求 a的坐标 .,如何计算？,向量的 坐标运算,说明 两个向量的和与差的坐标等于两个向量的相应坐标的和与差；数乘向量的积的坐标等与数乘以向量相应坐标的积.,例1. 在直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向和长度如图所示，分别求它们的坐标。,【分析】 本题主要考查向量的正交分解，把它们分解成横、纵坐标的形式,利用任意角的三角函数定义，若a=（a1,a2）,a的方向相对于x轴正向的转角为，则有 a1= |a|cos , a2= |a|sin ,例4.在直角坐标系xOy中，已知点A(3,2), B(2，4)，求向量 的方向和长度.,解：,= (3,2)+(2，4) = (1,6).,=arctan 6,例2.已知A(x1,y1）,B(x2,y2),求向量 的坐标.,解：,=(x2,y2)(x1,y1) =(x2x1，y2y1),说明：一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标。,x,y,O,B,A,这是一个重要结论！,例3.在直角坐标系xOy中，已知点A(x1,y1), B( x2, y2), 求线段AB中点的坐标.,解：设M(x,y)是线段AB的中点，则,例3得到的公式，叫做线段中点的坐标公式，简称中点公式。,法2:用重要结论！,例6. 已知A(2，1)，B(1，3)，求线段AB中点M和三等分点坐标P，Q的坐标 .,解：(1) 求中点M的坐标，利用例3得到的公式可知M( ，2),(2) 因为 =(1，3)(2，1) =(3，2),法2:用重要结论！,例5.如图，已知 的三个顶点A、B、C的 坐标分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4）， 试求顶点D的坐标。,解法：设点D的坐标为（x,y）,解得 x=2,y=2,所以顶点D的坐标为（2，2）,例5.如图，已知 的三个顶点A、B、C的 坐标分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4）， 试求顶点D的坐标。,解法2：由平行四边形法则可得,而,所以顶点D的坐标为（2，2）,例5.已知ABCD的三个顶点A(2, 1)、B(1, 3)、C(3, 4)，求顶点D的坐标。,解：,=(2,1)+(3,4) (1,3) =(2, 2),所以D点的坐标是(2, 2).,变形:如图，已知 平行四边形的三个顶点的坐标 分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4）， 试求第四个顶点的坐标。,练习1. 设向量a=(1,3)，b =(2,4)，c =(1,2)，若表示向量4a、4b2c、2(ac)、d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为 .,解： 4a+(4b2c)+2(ac)+d=0, 所以d=6a4b+4c=(2, 6).,2.设点P在平面上做匀速直线运动,速度向量 ,设起始P(10,10), 则5秒钟后点P的坐标为( ).,解：5秒种后，P点坐标为 (10, 10)+5(4, 3)=(10, 5).,3.设A(2, 3)，B(5, 4)，C(7, 10) 满足 (1) 为何值时,点P在直线y=x上? (2)设点P在第三象限, 求的范围.,解: (1) 设P(x, y)，则 (x2, y3)=(3, 1)+(5, 7), 所以x=5+5，y=7+4.,解得 =,(2) 由已知 5+50,7+40 ,所以1.,课时小结:,2 加、减法法则.,a + b=( x1 , y1) + (x2 , y2)= (x1+x2 , y1+y2),3 实数与向量积的运算法则：,a =(x i+y j )=x i+y j =(x , y),4 向量坐标.,若A(x1 , y1) , B(x2 , y2),1 向量坐标定义.,则 =(x2 - x1 , y2 y1 ),a - b=( x1 , y1) - (x2 , y2)= (x1- x2 , y1-y2),归纳小结,1. 1. 向量的坐标表示是向量的另一种表示形式（也可以称之为向量的代数表示），其背景是向量基本定理； 22.向量的坐标表示，为我们进行向量的运算打开了方便之门,1(1)两向量和的坐标等于； （2）两向量差的坐标； （3）实数与向量积的坐标； 23. 向量的坐标表示使