2020版高中数学第二章统计2.2.1用样本的频率分布估计总体的分布（一）学案（含解析）新人教B版.docx

2.2.1用样本的频率分布估计总体的分布(一)学习目标1.体会分布的意义和作用.2.学会用频率分布表，画频率分布直方图表示样本数据.3.能通过频率分布表或频率分布直方图对数据做出总体统计知识点一用样本估计总体思考还记得我们抽样的初衷吗？答案用样本去估计总体，为决策提供依据梳理用样本的频率分布估计总体的分布知识点二频率分布表与频率分布直方图思考1要做频率分布表，需要对原始数据做哪些工作？答案分组，频数累计，计算频数和频率思考2如何决定组数与组距？答案若为整数，则组数若不为整数，则1组数注意：x表示不大于x的最大整数思考3同样一组数据，如果组距不同，得到的频率分布直方图也会不同吗？答案不同对于同一组数据分析时，要选好组距和组数，不同的组距与组数对结果有一定的影响梳理一般地，频数指某组中包含的个体数，各组频数和样本容量；频率，各组频率和等于1.在频率分布直方图中，纵轴表示，数据落在各小组内的频率用小长方形的面积来表示，各小长方形的面积的总和等于1.1频率分布直方图中小长方形的高表示该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值()2频率分布直方图中小长方形的面积表示该组的个体数()3频率分布直方图中所有小长方形面积之和为1.()题型一频率分布的理解例1关于频率分布直方图，下列说法正确的是()A直方图中小长方形的高表示取某数的频率B直方图中小长方形的高表示该组上的个体在样本中出现的频率C直方图中小长方形的高表示该组上的个体在样本中出现的频数与组距的比值D直方图中小长方形的高表示该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值答案D解析注意频率分布直方图和条形图的区别，在直方图中，纵轴(小长方形的高)表示频率与组距的比值，其相应组距上的频率等于该组距上的小长方形的面积反思与感悟由频率的定义不难得出，各组数据的频率之和为1，因为各组数据的个数之和为样本容量在列频率分布表时，可以利用这种方法检查是否有数据的丢失跟踪训练1一个容量为20的样本数据，将其分组如下表：分组10,20)20,30)30,40)40,50)50,60)60,70频数234542则样本在区间(，50)上的频率为()A0.5 B0.25 C0.6 D0.7答案D解析样本在区间(，50)上的频率为0.7.题型二频率分布直方图的绘制例2某中学从高一年级随机抽取50名学生进行智力测验，其得分如下(单位：分)：4864528671486441867971688284686462688157905274735678476655645688694073976856675970527944556962583258根据上面的数据，回答下列问题：(1) 这次测验成绩的最高分和最低分分别是多少？(2)将区间30,100平均分成7个小区间，试列出这50名学生智力测验成绩的频率分布表，进而画出频率分布直方图；(3)分析频率分布直方图，你能得出什么结论？解(1)这次测验成绩的最低分是32分，最高分是97分(2)根据题意，列出样本的频率分布表如下：分组频数频率30,40)10.0240,50)60.1250,60)120.2460,70)140.2870,80)90.1880,90)60.1290,10020.04合计501.00频率分布直方图如图所示(3)从频率分布直方图可以看出，这50名学生的智力测验成绩大体上呈两头小、中间大，左右基本对称的状态，说明这50名学生中智力特别好或特别差的占极少数，而智力一般的占多数，这是一种最常见的分布反思与感悟组距和组数的确定没有固定的标准，将数据分组时，组数应力求合适，以使数据的分布规律能较清楚地呈现出来组数太多或太少，都会影响我们了解数据的分布情况数据分组的组数与样本容量有关，一般样本容量越大，所分组数越多当样本容量不超过100时，按照数据的多少，常分成5至12组跟踪训练2一个农技站为了考察某种麦穗生长的分布情况，在一块试验田里抽取了100株麦穗，量得长度如下(单位：cm)：656.46.75.85.95.95.24.05.44.6585.56.06.55.16.55.35.95.55.8625.45.05.06.86.05.05.76.05.5686.06.35.55.06.35.26.07.06.4645.85.95.76.86.66.06.45.77.4605.46.56.06.85.86.36.06.35.6536.45.76.76.25.66.06.76.76.0566.26.15.36.26.86.64.75.75.7585.37.06.06.05.95.46.05.26.0635.76.86.14.55.66.36.05.86.3根据上面的数据列出频率分布表、绘制出频率分布直方图，并估计在这块试验田里长度在5.756.35cm之间的麦穗所占的百分比解(1)计算极差：7.44.03.4；(2)决定组距与组数：若取组距为0.3，因为11.3，需分为12组，组数合适，所以取组距为0.3，组数为12；(3)决定分点：使分点比数据多一位小数，并且把第1小组的起点稍微减小一点，那么所分的12个小组可以是3.954.25,4.254.55,4.554.85，7.257.55；(4)列频率分布表：分组频数频率3.95,4.25)10.014.25,4.55)10.014.55,4.85)20.024.85,5.15)50.055.15,5.45)110.115.45,5.75)150.155.75,6.05)280.286.05,6.35)130.136.35,6.65)110.116.65,6.95)100.106.95,7.25)20.027.25,7.5510.01合计1001.00(5)绘制频率分布直方图如图从表中看到，样本数据落在5.756.35之间的频率是0.280.130.41，于是可以估计，在这块试验田里长度在5.756.35cm之间的麦穗约占41%.题型三频率分布表及频率分布直方图的应用例3从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：组号分组频数10,2)622,4)834,6)1746,8)2258,10)25610,12)12712,14)6814,16)2916,182合计100(1)从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；(2)求频率分布直方图中的a，b的值；(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组(只需写出结论)解(1)根据频数分布表知，100名学生中一周课外阅读时间不少于12小时的学生共有62210(名)，所以样本中的学生一周课外阅读时间少于12小时的频率是10.9.故从该校随机选取一名学生，估计其该周课外阅读时间少于12小时的概率为0.9.(2)课外阅读时间落在4,6)组内的有17人，频率为0.17，所以a0.085.课外阅读时间落在8,10)组内的有25人，频率为0.25，所以b0.125.(3)样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第4组反思与感悟在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率，小长方形的高与频数成正比，各组频数之和等于样本容量，频率之和等于1.跟踪训练3为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小矩形的面积之比为24171593，第二小组的频数为12.(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？(2)若次数在110以上(含110次)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率约是多少？解(1)频率分布直方图是以面积的形式来反映数据落在各小组内的频率大小的，因此第二小组的频率为0.08.因为第二小组的频率，所以样本容量150.(2)由直方图可估计该校全体高一年级学生的达标率约为100%88%.1如图所示是一容量为100的样本的频率分布直方图，则由图中的数据可知，样本落在15,20内的频数为()A20 B30 C40 D50答案B解析样本数据落在15,20内的频数为10015(0.040.1)30.2已知样本数据：10,8,6,10,13,8,10,12,11,7,8,9,11,9,12,9,10,11,12,11.那么频率为0.2的是()A5.5,7.5) B7.5,9.5)C9.5,11.5) D11.5,13.5答案D解析列出频率分布表，依次对照就可以找到答案，频率分布表如下：分组频数频率5.5,7.5)20.17.5,9.5)60.39.5,11.5)80.411.5,13.540.2合计201.0从表中可以看出频率为0.2的是11.5,13.5，故选D.3如图是将高三某班60名学生参加某次数学模拟考试所得的成绩(成绩均为整数)整理后画出的频率分布直方图，则此班的优秀(120分及以上为优秀)率为_答案30%解析优秀率为10(0.02250.0050.0025)0.330%.4一个频数分布表(样本容量为50)不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在20,60)内的频率为0.6，则估计样本在40,50)，50,60)内的数据个数之和是_答案21解析根据题意，设分布在40,50)，50,60)内的数据个数分别为x，y.样本中数据在20,60)内的频率为0.6，样本容量为50，0.6，解得xy21.即样本在40,50)，50,60)内的数据个数之和为21.5暑假期间某班为了增强学生的社会实践能力，把该班学生分成四个小组到一果园帮果农测量果树的产量，某小组来到一片种植苹果的山地，他们随机选取20株作为样本测量每一株的果实产量(单位：kg)，获得的数据按照区间40,45)，45,50)，50,55)，55,60进行分组，得到如下频率分布表：分组40,45)45,50)50,55)55,60合计频率0.3a0.1bc已知样本中产量在区间45,50)内的株数是产量在区间50,60内的株数的倍(1)分别求出a，b，c的值；(2)作出频率分布直方图解(1)易得c1.0.由题意得a0.4，b0.2.(2)根据频率分布表画出频率分布直方图，如图所示1频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小，总体分布是指总体取值的频率分布规律，我们通常用样本的频率分布表或频率分布直方图去估计总体的分布2频率分布表和频率分布直方图，是对相同数据的两种不同表达方式，用紧凑的表格改变数据的排列方式和构成形式，可展示数据的分布情况通过作图既可以从数据中提取信息，又可以利用图形传递信息3样本数据的频率分布表和频率分布直方图，是通过各小组数据在样本容量中所占比例大小来表示数据的分布规律，它可以让我们更清楚地看到整个样本数据的频率分布情况，并由此估计总体的分布情况一、选择题1观察新生婴儿的体重(单位：g)，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿的体重在2 700,3000)内的频率为()A0.001 B0.01C0.003 D0.3答案D解析频率组距，组距30002700300，0.001，频率0.0013000.3.2容量为100的样本数据，按从小到大的顺序分为8组，如下表：组号12345678频数1013x141513129第三组的频数和频率分别是()A14和0.14 B0.14和14C.和0.14 D.和答案A解析x100(1013141513129)1008614，第三组的频率为0.14.3为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为12,13)，13,14)，14,15)，15,16)，16,17，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为()A6 B8 C12 D18答案C解析志愿者的总人数为50，所以第三组人数为500.36118，有疗效的人数为18612.4某校为了解高三学生的身体情况，抽取了100名女生的体重将所得的数据整理后，画出了如图所示的频率分布直方图，则所抽取的女生中体重在40,45) kg的人数是()A10 B2 C5 D15答案A解析由图可知频率组距，频率0.0250.1，女生体重在40,45) kg的人数为0.110010.5为了了解某幼儿园儿童的身高情况，抽查该园120名儿童的身高绘制成如图所示的频率分布直方图，则抽查的120名儿童身高大于或等于98cm且小于104cm的有()A90名 B75名 C65名 D40名答案A解析由图可知身高大于或等于98cm且小于104cm的儿童的频率为(0.10.150.125)20.75，抽查的120名儿童有1200.7590(名)儿童的身高大于或等于98cm且小于104cm.6将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图若第一组至第六组数据的频率之比为234641，且前三组数据的频数之和等于27，则n的值为()A20 B27 C6 D60答案D解析n27，n60.7某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：40,50)，50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100加以统计，得到如图所示的频率分布直方图已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为()A588 B480 C450 D120答案B解析少于60分的学生人数为600(0.050.15)120，不少于60分的学生人数为600120480.8对某种电子元件使用寿命进行跟踪调查，所得样本频率分布直方图如图由图可知，这一批电子元件中寿命在100300h的电子元件的数量与寿命在300600h的电子元件的数量的比是()A12 B13 C14 D16答案C解析由题意，寿命在100300h的电子元件的频率为1000.2，寿命在300600h的电子元件的频率为1000.8，则寿命在100300h的电子元件的数量与寿命在300600h的电子元件的数量比大约是0.20.814.二、填空题9将一个容量为n的样本分成若干组，已知甲组的频数和频率分别为36和，则容量n_，频率为的乙组的频数是_答案14424解析，所以n364144，同理，x24.10某大学对1000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图(如图所示)，现规定不低于70分为合格，则合格人数是_答案600解析由频率分布直方图知合格的频率为(0.0350.0150.01)100.6，故合格人数为10000.6600.11下列命题正确的是_(填序号)频率分布直方图中每个小矩形的面积等于相应组的频数；频率分布直方图中各小矩形面积之和等于1；频率分布直方图中各小矩形的高(平行于纵轴的边)表示频率与组距的比答案解析在频率分布直方图中，横轴表示样本数据，纵轴表示.由于小矩形的面积组距频率，所以各小矩形的面积等于相应各组的频率，因此各小矩形面积之和等于1.综上可知正确12如图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是20.5,26.5，样本数据的分组为20.5,21.5)，21.5，22.5)，22.5,23.5)，23.5，24.5)，24.5,25.5)，25.5，26.5已知样本中平均气温低于22.5的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5的城市个数为_答案9解析最左边两个矩形面积之和为0.1010.1210.22，总城市数为110.2250，最右面矩形面积为0.1810.18，500.189.13从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示则频率分布直方图中x的值为_.答案0.0044解析