2020版高考数学复习第七单元空间几何中的向量方法（第2课时）空间向量的应用二练习.docx

第2课时 空间向量的应用二 1.在三棱锥A-BCD中,平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1,n2,若=3,则二面角A-BD-C的大小为()A.3B.23C.3或23D.6或32.若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于150,则直线l与平面所成的角等于()A.120B.60C.30D.60或303.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC与B1D所成的角的大小为()A.6B.4C.3D.24.如图K40-9所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1底面ABC,AB=BC=AA1,ABC=90,E,F分别是棱AB,BB1的中点,则异面直线EF和BC1所成的角是.5.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于.图K40-96.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是C1D1的中点,则异面直线DE与AC所成角的余弦值为()A.-1010B.-120C.120D.10107.若正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,D是A1C1的中点,则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为()A.35B.45C.34D.558.如图K40-10,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,E,F,G分别为AB,AA1,A1C1的中点,则B1F与平面GEF所成角的正弦值为()图K40-10A.35B.56C.3310D.36109.如图K40-11所示,在三棱锥P-ABC中,PA平面ABC,D是棱PB的中点,已知PA=BC=2,AB=4,CBAB,则异面直线PC与AD所成角的余弦值为()图K40-11A.-3010B.-305C.305D.301010.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为()A.12B.23C.33D.2211.如图K40-12,在菱形ABCD中,ABC=60,AC与BD相交于点O,AE平面ABCD,CFAE,AB=2,CF=3.若直线FO与平面BED所成的角为45,则AE=. 图K40-1212.如图K40-13,已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是等腰梯形,ABCD,且ACBD,AC与BD交于点O,PO底面ABCD,PO=2,AB=22,E,F分别是AB,AP的中点,则二面角F-OE-A的余弦值为.图K40-1313.2018郑州三模 如图K40-14所示,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ABAD,ABDC,AD=DC=AP=2AB=2,E为棱PC的中点.(1)证明:BEDC;(2)若F为棱PC上一点,且BFAC,求二面角F-AB-P的余弦值.图K40-1414.2018青岛模拟 如图K40-15所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1平面ABC,BB1=4,ABBC,且AB=BC=32,M,N分别为棱AB,BC上的动点,且AM=BN,D为B1C1的中点.(1)当点M,N运动时,能否出现AD平面B1MN的情况?并说明理由.(2)若BN=2,求直线AD与平面B1MN所成角的正弦值.图K40-1515.2017全国卷 如图K40-16,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=12AD,BAD=ABC=90,E是PD的中点.(1)证明:直线CE平面PAB;(2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为45,求二面角M-AB-D的余弦值.图K40-16课时作业(四十)B1.C解析二面角的范围是0,且=3,二面角A-BD-C的大小为3或23.故选C.2.B解析 设直线l与平面所成的角为,直线l与平面的法向量的夹角为.则sin=|cos|=|cos150|=32.090,=60,故选B.3.D解析 以A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则A(0,0,0),C(1,1,0),B1(1,0,1),D(0,1,0).AC=(1,1,0),B1D=(-1,1,-1),ACB1D=1(-1)+11+0(-1)=0,ACB1D,AC与B1D所成的角为2.4.60解析 以B为原点,BC,BA,BB1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图所示.设AB=BC=AA1=2,则C1(2,0,2),E(0,1,0),F(0,0,1),则EF=(0,-1,1),BC1=(2,0,2),EFBC1=2,cos=2222=12,异面直线EF和BC1所成的角为60.5.23解析 以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图.设AA1=2AB=2,则D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,2),故DC=(0,1,0),DB=(1,1,0),DC1=(0,1,2).设平面BDC1的一个法向量为n=(x,y,z),则nDB,nDC1,所以有x+y=0,y+2z=0,令y=-2,得n=(2,-2,1).设CD与平面BDC1所成的角为,则sin=|cos|=nDC|n|DC|=23.6.D解析 以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图.设DA=1,则A(1,0,0),C(0,1,0),E0,12,1,则AC=(-1,1,0),DE=0,12,1,设异面直线DE与AC所成的角为,则cos=|cos|=1010.故选D.7.B解析 如图,取AC的中点O为坐标原点,建立空间直角坐标系.设各棱长均为2,则有A(0,-1,0),D(0,0,2),C(0,1,0),B1(3,0,2),CD=(0,-1,2),CB1=(3,-1,2),AD=(0,1,2).设n=(x,y,z)为平面B1DC的一个法向量,则有nCD=0,nCB1=0,即-y+2z=0,3x-y+2z=0,令y=2,则n=(0,2,1),cos=ADn|AD|n|=45,即直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为45.故选B.8.A解析 设正三棱柱的棱长为2,取AC的中点D,连接DG,DB,以D为原点,分别以DA,DB,DG所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图所示,则B1(0,3,2),F(1,0,1),E12,32,0,G(0,0,2),所以B1F=(1,-3,-1),EF=12,-32,1,GF=(1,0,-1).设平面GEF的一个法向量为n=(x,y,z),则EFn=0,GFn=0,即12x-32y+z=0,x-z=0,取x=1,则z=1,y=3,故n=(1,3,1),所以cos=1-3-155=-35,所以B1F与平面GEF所成角的正弦值为35.故选A.9.D解析 因为PA平面ABC,所以PAAB,PABC.过点A作AECB,又CBAB,所以AP,AB,AE两两垂直.如图,以A为坐标原点,分别以AB,AE,AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),P(0,0,2),B(4,0,0),C(4,-2,0). 因为D为PB的中点,所以D(2,0,1),故CP=(-4,2,2),AD=(2,0,1),所以cos=ADCP|AD|CP|=-6526=-3010.设异面直线PC与AD所成的角为,则cos=|cos|=3010.10.B解析 以A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,设棱长为1, 则A1(0,0,1),E1,0,12,D(0,1,0),A1D=(0,1,-1),A1E=1,0,-12.设平面A1ED的一个法向量为n1=(x,y,z),则n1A1D=0,n1A1E=0,即y-z=0,x-12z=0,令x=1,则n1=(1,2,2).又平面ABCD的一个法向量为n2=(0,0,1),cos=231=23,即平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为23.11.2解析 如图,以O为原点,OA,OB所在直线分别为x,y轴,以过点O且平行于CF的直线为z轴建立空间直角坐标系.设AE=a,则B(0,3,0),D(0,-3,0),F(-1,0,3),E(1,0,a),OF=(-1,0,3),DB=(0,23,0),EB=(-1,3,-a).设平面BED的一个法向量为n=(x,y,z),则nDB=0,nEB=0,即23y=0,-x+3y-az=0,令z=1,则n=(-a,0,1),cos=nOF|n|OF|=a+3a2+110.直线FO与平面BED所成角的大小为45,|a+3|a2+110=22,解得a=2或a=-12(舍去),AE=2.12.33解析 以O为坐标原点,OB,OC,OP所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,由题知OA=OB=2,则E(1,-1,0),F(0,-1,1),则OE=(1,-1,0),OF=(0,-1,1).设平面OEF的一个法向量为m=(x,y,z),则mOE=0,mOF=0,即x-y=0,-y+z=0,令x=1,则m=(1,1,1).易知平面OAE的一个法向量为n=(0,0,1),则cos=mn|m|n|=33.由图知二面角F-OE-A为锐二面角,所以二面角F-OE-A的余弦值为33.13.解:PA底面ABCD,ABAD,以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,AP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图.由题意得B(1,0,0),P(0,0,2),C(2,2,0),E(1,1,1),D(0,2,0).(1)证明:BE=(0,1,1),DC=(2,0,0),BEDC=0,即BEDC.(2)BC=(1,2,0),CP=(-2,-2,2),AC=(2,2,0),AB=(1,0,0),由点F在棱PC上,设CF=CP=(-2,-2,2)(01),BF=BC+CF=(1-2,2-2,2),BFAC,BFAC=2(1-2)+2(2-2)=0,解得=34,BF=-12,12,32.设平面FAB的一个法向量为n1=(x,y,z),则n1AB=x=0,n1BF=-12x+12y+32z=0,令z=1,则n1=(0,-3,1),易知平面ABP的一个法向量为n2=(0,1,0),则cos=n1n2n1n2=-310=-31010,易知二面角F-AB-P的平面角是锐角,其余弦值为31010.14.解:(1)当M,N分别为AB,BC的中点时,AD平面B1MN,证明过程如下:连接CD,CNB1D且CN=B1D=12BC,四边形B1DCN为平行四边形,DCB1N,又DC平面B1MN,B1N平面B1MN,DC平面B1MN.M,N分别为AB,BC的中点,ACMN,又AC平面B1MN,MN平面B1MN,AC平面B1MN.DCAC=C,平面ADC平面B1MN,又AD平面ADC,AD平面B1MN.(2)如图,设AC的中点为O,作OEOA,连接OB,以O为原点,OA,OE,OB所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,BN=2,AB=BC=32,AC=6,M(2,0,1),N(-1,0,2),A(3,0,0),B1(0,-4,3),D-32,-4,32,MN=(-3,0,1),B1M=(2,4,-2),设平面B1MN的一个法向量为n=(x,y,z),则有nMN,nB1M,即-3x+z=0,2x+4y-2z=0,令x=1,则n=(1,1,3),又AD=-92,-4,32,cos=nAD|n|AD|=-41477,设直线AD与平面B1MN所成的角为,则sin=|cos|=41477.15.解:(1)证明:取PA的中点F,连接EF,BF.因为E是PD的中点,所以EFAD,EF=12AD.由BAD=ABC=90得BCAD,又BC=12AD,所以EFBC,四边形BCEF是平行四边形,CEBF,又BF平面PAB,CE平面PAB,故CE平面PAB.(2)由已知得BAAD,以A为坐标原点,AB的方向为x轴正方向,|AB|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,1,3),PC=(1,0,-3),AB=(1,0,0).设M(x,y,z)(0x1),则BM=(x-1,y,z),PM=(x,y-1,z-3).因为BM与底面ABCD所成的角为45,而n=(0,0,1)是底面