浙江专版2019版高考数学一轮复习第七章立体几何学案.docx

第七章 立体几何第一节空间几何体的结构特征及三视图与直观图1简单几何体(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且相等多边形互相平行侧棱平行且相等相交于一点，但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等，垂直于底面相交于一点延长线交于一点轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形侧面展开图矩形扇形扇环2直观图(1)画法：常用斜二测画法(2)规则：原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x轴、y轴的夹角为45(或135)，z轴与x轴和y轴所在平面垂直原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半3三视图(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线(2)三视图的画法基本要求：长对正，高平齐，宽相等画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看不到的线画虚线小题体验1若一个三棱柱的三视图如图所示，其俯视图为正三角形，则这个三棱柱的高和底面边长分别为()A2,2B2，2C4,2 D2,4解析：选D由三视图可知，正三棱柱的高为2，底面正三角形的高为2，故底面边长为4，故选D.2(教材习题改编)如图，长方体ABCD ABCD被截去一部分，其中EHAD，则剩下的几何体是_，截去的几何体是_答案：五棱柱三棱柱1台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱延长后必交于一点2空间几何体不同放置时其三视图不一定相同3对于简单组合体，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，易忽视实虚线的画法小题纠偏1.如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是()AA1B12，AB3，B1C13，BC4BA1B11, AB2，B1C1，BC3，A1C12，AC3CA1B11，AB2，B1C1，BC3，A1C12，AC4DABA1B1，BCB1C1，CAC1A1解析：选C根据棱台是由棱锥截成的，可知，故A，B不正确，C正确；D项中满足这个条件的是一个三棱柱，不是三棱台，故D不正确2用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是()解析：选B俯视图中显然应有一个被遮挡的圆，所以内圆是虚线，故选B.3(教材习题改编)利用斜二测画法得到的三角形的直观图一定是三角形；正方形的直观图一定是菱形；等腰梯形的直观图可以是平行四边形；菱形的直观图一定是菱形以上结论正确的个数是_解析：由斜二测画法的规则可知正确；错误，是一般的平行四边形；错误，等腰梯形的直观图不可能是平行四边形；而菱形的直观图也不一定是菱形，也错误答案：1题组练透1用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是()A圆柱B圆锥C球体 D圆柱、圆锥、球体的组合体解析：选C截面是任意的且都是圆面，则该几何体为球体2给出下列几个命题：在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等其中正确命题的个数是()A0B1C2 D3解析：选B不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；正确；错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等3给出下列命题：棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；存在每个面都是直角三角形的四面体其中正确命题的序号是_解析：不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；正确，如图，正方体ABCDA1B1C1D1中的三棱锥C1ABC，四个面都是直角三角形答案：谨记通法解决与空间几何体结构特征有关问题的3个技巧(1)把握几何体的结构特征，要多观察实物，提高空间想象能力；(2)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型；(3)通过反例对结构特征进行辨析典例引领1(2018东北四市联考)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P是线段CD的中点，则三棱锥PA1B1A的侧视图为()解析：选D如图，画出原正方体的侧视图，显然对于三棱锥PA1B1A，B(C)点均消失了，其余各点均在，从而其侧视图为D.2(2018杭州模拟)已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，那么该三棱锥的侧视图可能为()解析：选B由正视图可看出长为2的侧棱垂直于底面，侧视图为直角三角形，直角边长为2，另一直角边为底边三角形的高.故侧视图可能为B.由题悟法1已知几何体，识别三视图的技巧已知几何体画三视图时，可先找出各个顶点在投影面上的投影，然后再确定线在投影面上的实虚2已知三视图，判断几何体的技巧(1)对柱、锥、台、球的三视图要熟悉(2)明确三视图的形成原理，并能结合空间想象将三视图还原为直观图(3)遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则提醒对于简单组合体的三视图，应注意它们的交线的位置，区分好实线和虚线的不同即时应用1(2018沈阳教学质量监测)“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是()解析：选B根据直观图以及图中的辅助四边形分析可知，当正视图和侧视图完全相同时，俯视图为B，故选B.2一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是()解析：选D由俯视图是圆环可排除A、B、C，进一步将已知三视图还原为几何体，可得选项D.典例引领(2018杭州模拟)在等腰梯形ABCD中，上底CD1，腰ADCB，下底AB3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图ABCD的面积为_解析：画出等腰梯形ABCD的实际图形及直观图ABCD如图所示，因为OE1，所以OE，EF.所以直观图ABCD的面积为S(13).答案：由题悟法原图与直观图中的“三变”与“三不变”(1)“三变”(2)“三不变”即时应用如图，矩形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中OA6 cm，OC2 cm，则原图形是()A正方形B矩形C菱形 D一般的平行四边形解析：选C如图，在原图形OABC中，应有OD2OD224 cm，CDCD2 cm.OC6 cm，OAOC，故四边形OABC是菱形一抓基础，多练小题做到眼疾手快1某几何体的正视图和侧视图完全相同，均如图所示，则该几何体的俯视图一定不可能是()解析：选D几何体的正视图和侧视图完全一样，则几何体从正面看和侧面看的长度相等，只有等边三角形不可能2下列说法正确的是()A棱柱的两个底面是全等的正多边形B平行于棱柱侧棱的截面是矩形C直棱柱正棱柱D正四面体正三棱锥解析：选D因为选项A中两个底面全等，但不一定是正多边形；选项B中一般的棱柱不能保证侧棱与底面垂直，即截面是平行四边形，但不一定是矩形；选项C中正棱柱直棱柱，故A、B、C都错；选项D中，正四面体是各条棱均相等的正三棱锥，故正确3某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是()A三棱锥B四棱锥C四棱台 D三棱台解析：选A因为正视图和侧视图都为三角形，可知几何体为锥体，又因为俯视图为三角形，故该几何体为三棱锥4.在如图所示的直观图中，四边形OABC为菱形且边长为2 cm，则在直角坐标系xOy中，四边形ABCO的形状为_，面积为_cm2.解析：由斜二测画法的特点知该平面图形是一个长为4 cm，宽为2 cm的矩形，所以四边形ABCO的面积为8 cm2.答案：矩形85.已知某几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是矩形，俯视图是正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，以这4个点为顶点的几何体的形状给出下列命题：矩形；有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；两个面都是等腰直角三角形的四面体其中正确命题的序号是_解析：由三视图可知，该几何体是正四棱柱，作出其直观图，ABCDA1B1C1D1，如图，当选择的4个点是B1，B，C，C1时，可知正确；当选择的4个点是B，A，B1，C时，可知正确；易知不正确答案：二保高考，全练题型做到高考达标1(2018台州模拟)一个简单几何体的正视图、俯视图如图所示，则其侧视图不可能为()A正方形 B圆C等腰三角形 D直角梯形解析：选D该几何体是一个长方体时，其中一个侧面为正方形，A可能；该几何体是一个横放的圆柱时，B可能；该几何体是横放的三棱柱时，C可能，只有D不可能2如图所示是水平放置三角形的直观图，点D是ABC的BC边中点，AB，BC分别与y轴、x轴平行，则三条线段AB，AD，AC中()A最长的是AB，最短的是ACB最长的是AC，最短的是ABC最长的是AB，最短的是ADD最长的是AC，最短的是AD解析：选B由条件知，原平面图形中ABBC，从而ABADAC.3(2018沈阳教学质量监测)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个凸多面体的三视图(两个矩形，一个直角三角形)，则这个几何体可能为()A三棱台 B三棱柱C四棱柱 D四棱锥解析：选B根据三视图的法则：长对正，高平齐，宽相等，可得几何体如图所示，这是一个三棱柱4.(2018温州第八高中质检)如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1平面A1B1C1，正视图是边长为2的正方形，该三棱柱的侧视图面积为()A4B2C2 D.解析：选B由题可得，该几何体的侧视图是一个长方形，其底边长是底面正三角形的高，高为2，所以侧视图的面积为S2.5已知四棱锥PABCD的三视图如图所示，则四棱锥PABCD的四个侧面中面积最大的是()A3 B2C6 D8解析：选C四棱锥如图所示，取AD的中点N，BC的中点M，连接PM，PN，则PM3，PN，SPAD42，SPABSPDC233，SPBC436.所以四个侧面中面积最大的是6.6.(2018台州模拟)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为棱BB1的中点，若用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为()解析：选C取DD1的中点F，连接AF，FC1，则过点A，E，C1的平面即为面AEC1F，所以剩余几何体的侧视图为选项C.7设有以下四个命题：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；底面是矩形的平行六面体是长方体；直四棱柱是直平行六面体；棱台的相对侧棱延长后必交于一点其中真命题的序号是_解析：命题符合平行六面体的定义，故命题是正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题是错误的；因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题是错误的；命题由棱台的定义知是正确的答案：8一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm和8 cm，若两底面圆心的连线长为12 cm，则这个圆台的母线长为_cm.解析：如图，过点A作ACOB，交OB于点C.在RtABC中，AC12 cm，BC835 (cm)AB13(cm)答案：139已知正三角形ABC的边长为2，那么ABC的直观图ABC的面积为_解析：如图，图、图所示的分别是实际图形和直观图从图可知，ABAB2，OCOC，CDOCsin 45.所以SABCABCD2.答案：10已知正三棱锥V ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示(1)画出该三棱锥的直观图；(2)求出侧视图的面积解：(1)直观图如图所示(2)根据三视图间的关系可得BC2，侧视图中VA 2，SVBC226.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体需要的小正方体的块数是()A8 B7C6 D5解析：选C画出直观图，共六块2(2018湖南东部六校联考)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的面积是()A4 B8C4 D8解析：选C设该三棱锥为PABC，其中PA平面ABC，PA4，则由三视图可知ABC是边长为4的等边三角形，故PBPC4，所以SABC424，SPABSPAC448，SPBC44，故四个面中面积最大的为SPBC4，选C.3.如图，在四棱锥PABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD垂直，下图为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6 cm 的全等的等腰直角三角形(1)根据图中所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；(2)求PA.解：(1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)边长为6 cm的正方形，如图，其面积为36 cm2.(2)由侧视图可求得PD6.由正视图可知AD6，且ADPD，所以在RtAPD中，PA 6 cm.第二节空间几何体的表面积与体积1圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧2rlS圆锥侧rlS圆台侧(rr)l2空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积S侧2S底VSh锥体(棱锥和圆锥)S表面积S侧S底VSh台体(棱台和圆台)S表面积S侧S上S下V(S上S下)h球S4R2VR3小题体验1如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A20B24C28D32解析：选C由三视图知该几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r，周长为c，圆锥母线长为l，圆柱高为h.由图得r2，c2r4，h4，由勾股定理得：l4，S表r2chcl416828.2(教材习题改编)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_解析：由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱，其底面为侧视图，该侧视图是底边为2，高为的三角形，正视图的长为三棱柱的高，故h3，所以该几何体的体积VSh33.答案：33若球O的表面积为4，则该球的体积为_解析：由题可得，设该球的半径为r，则其表面积为S4r24，解得r1.所以其体积为Vr3.答案：1求组合体的表面积时，组合体的衔接部分的面积问题易出错2由三视图计算几何体的表面积与体积时，由于几何体的还原不准确及几何体的结构特征认识不准易导致失误3易混侧面积与表面积的概念小题纠偏1(教材习题改编)圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的体积与圆柱体积之比为_，球的表面积与圆柱的侧面积之比为_答案：23112若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积是_解析：由三视图可知，该几何体由一个正四棱柱和一个棱台组成，其表面积S34222242246(26)227216.答案：7216题组练透1.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于()A82B112C142D15解析：选B由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示直角梯形斜腰长为，所以底面周长为4，侧面积为2(4)82，两底面的面积和为21(12)3，所以该几何体的表面积为823112.2(2018浙江新高考联盟高三期初联考)如图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于()A346B4412C346 D326解析：选A由三视图知几何体底面是一个长为6，宽为2的矩形，高为4的四棱锥，所以该几何体的表面积为626422562346，故选A.3如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则该棱锥的表面积为()A642 B84C66 D624解析：选A由三视图可知该棱锥为如图所示的四棱锥PABCD，SPABSPADSPDC222，SPBC22sin 602，S四边形ABCD224，故该棱锥的表面积为642.谨记通法几何体的表面积的求法(1)求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差求得几何体的表面积注意衔接部分的处理典例引领1(2018金华高三期末考试)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. B.C. D.解析：选D由三视图可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其直观图如图所示底面ABCD的面积为224，高PO，故该几何体的体积V4.2(2018宁波十校联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于_，表面积等于_解析：如图，由三视图可知该几何体是底面半径为2，高为3的圆柱的一半，故该几何体的体积为2236，表面积为22243231012.答案：61210由题悟法有关几何体体积的类型及解题策略常见类型解题策略球的体积问题直接利用球的体积公式求解，在实际问题中要根据题意作出图形，构造直角三角形确定球的半径锥体、柱体的体积问题根据题设条件求出所给几何体的底面积和高，直接套用公式求解以三视图为载体的几何体体积问题将三视图还原为几何体，利用空间几何体的体积公式求解不规则几何体的体积问题常用分割或补形的思想，若几何体的底不规则，也需采用同样的方法，将不规则的几何体或平面图形转化为规则的几何体或平面图形，易于求解即时应用1(2018西安质检)某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为()A. BC. D3解析：选A根据几何体的三视图，得该几何体是下部为直三棱柱，上部为三棱锥的组合体，如图所示则该几何体的体积是V几何体V三棱柱V三棱锥211211.2(2018杭州高级中学模拟)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A1 BC. D.解析：选C由题可得，该几何体是一个四棱锥，底面是上下底边分别为1和2，高为1的直角梯形，又四棱锥的高为1.所以该几何体的体积为V(12)11.3.(2018温州高三一模)如图，一个简单几何体的三视图的正视图与侧视图都是边长为1的正三角形，其俯视图的轮廓为正方形，则该几何体的体积为_，表面积为_解析：如图，还原三视图为正四棱锥，易得正四棱锥的高为，底面积为1，体积V1；易得正四棱锥侧面的高为1，所以表面积S41113.答案：3锁定考向与球相关的切、接问题是高考命题的热点，也是考生的难点、易失分点，命题角度多变常见的命题角度有：(1)球与柱体的切、接问题；(2)球与锥体的切、接问题 题点全练角度一：球与柱体的切、接问题1已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB3，AC4，ABAC，AA112，则球O的半径为()A.B2C. D3解析：选C如图，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.又AMBC，OMAA16，所以球O的半径ROA .2.如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为()A.B.C. D.解析：选C平面ACD1截球O的截面为ACD1的内切圆因为正方体的棱长为1，所以ACCD1AD1，所以内切圆的半径rtan 30，所以Sr2.角度二：球与锥体的切、接问题3(2018绍兴质检)四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为6的正方形，且PAPBPCPD，若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是()A6 B5C. D.解析：选D过点P作PH平面ABCD于点H.由题知，四棱锥PABCD是正四棱锥，内切球的球心O应在四棱锥的高PH上过正四棱锥的高作组合体的轴截面如图，其中PE，PF是斜高，M为球面与侧面的一个切点设PHh，易知RtPMORtPHF，所以，即，解得h.4(2017全国卷)已知三棱锥S ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径若平面SCA平面SCB，SAAC，SBBC，三棱锥S ABC的体积为9，则球O的表面积为_解析：如图，连接AO，OB，SC为球O的直径，点O为SC的中点，SAAC，SBBC，AOSC，BOSC，平面SCA平面SCB，平面SCA平面SCBSC，AO平面SCB，设球O的半径为R，则OAOBR，SC2R.VS ABCVASBCSSBCAOAO，即9R，解得 R3，球O的表面积为S4R243236.答案：36通法在握解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是：演练冲关1一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为()A20 B.C5 D.解析：选D由题意知六棱柱的底面正六边形的外接圆半径r1，其高h1，球半径为R，该球的体积VR33.2(2018镇海期中)一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体，若正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体体积的最大值为_解析：由题可得，要使正方体可以在纸盒内任意转动，则只需该正方体在正四面体的内接球内即可因为正四面体的棱长为6，所以其底面正三角形的高为3，正四面体的高为2，则该正四面体的内球的半径为，设该正方体的边长为a，要满足条件，则a，即a.所以正方体的最大体积为Va32.答案：2一抓基础，多练小题做到眼疾手快1(2018浙江名校联考)“某几何体的三视图完全相同”是“该几何体为球”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选B由题可得，球的三个视图都是圆，所以三视图完全相同；三视图完全相同的几何体除了球，还有正方体，所以是必要不充分条件2(2018长兴中学适应性测试)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A64 B72C80 D112解析：选C由题可得，该几何体是一个棱长为4的正方体与一个底面是边长为4的正方形，高为3的四棱锥的组合体，所以其体积为V4342380.3如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径若该几何体的体积是，则它的表面积是()A17 B18C20 D28解析：选A由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球的，得到的几何体如图设球的半径为R，则R3R3，解得R2.因此它的表面积为4R2R217.故选A.4(2018嘉兴模拟)如图是一个几何体的三视图，若它的体积是3，则a_，该几何体的表面积为_解析：由题可得，该几何体是一个水平放置的三棱柱，其底面是一个底边长为2、高为a的等腰三角形，高为3.因为其体积为3，所以V2a33a3，解得a.所以该几何体的表面积为S22233218.答案：2185(2018丽水模拟)若三棱锥PABC的最长的棱PA2，且各面均为直角三角形，则此三棱锥的外接球的体积是_，表面积是_解析：如图，根据题意，可把该三棱锥补成长方体，则该三棱锥的外接球即该长方体的外接球，易得外接球的半径RPA1，所以该三棱锥的外接球的体积V13，表面积S4R24.答案：4二保高考，全练题型做到高考达标1圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84，则圆台较小底面的半径为()A7B6C5 D3解析：选A设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为3r.由S(r3r)384，解得r7.2一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为()A6 B8C12 D24解析：选C由题意可知该六棱锥为正六棱锥，正六棱锥的高为h，侧面的斜高为h.由题意，得622h2，h1，斜高h2，S侧62212.故选C.3(2018温州十校联考)已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是()A4 B.C8 D. 解析：选B由题可得，该几何体是一个底面为长方形的四棱锥，所以其体积为V422.4(2018兰州实战考试)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为()A. B.C3 D3解析：选A由题意得，该几何体为四棱锥，且该四棱锥的外接球即为棱长为1的正方体的外接球，其半径为，故体积为3，故选A.5(2018宁波十校联考)如图，某多面体的三视图中正视图、侧视图和俯视图的外轮廓分别为直角三角形、直角梯形和直角三角形，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为()A2 B.C2 D. 解析：选C由题可得，该几何体是水平放置的四棱锥，其底面是一个直角梯形所以其最长的棱的长度为2.6(2018衢州调研)已知某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是_；表面积是_解析：该几何体是一个三棱锥，其高为2，其底面是一个等腰直角三角形，腰长为，所以其体积为V()22，表面积为S2()2223.答案：37(2018杭州模拟)已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB3，BC2，则棱锥OABCD的体积为_解析：依题意得，球心O在底面ABCD上的射影是矩形ABCD的中心，因此棱锥OABCD的高等于，所以棱锥OABCD的体积等于32.答案：8.已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是_解析：由正视图知三棱锥的形状如图所示，且ABADBCCD2，BD2，设O为BD的中点，连接OA，OC，则OABD，OCBD，结合正视图可知AO平面BCD.又OC1，V三棱锥ABCD1.答案：9(2018武汉调研)已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为_解析：如图，正四棱锥PABCD的外接球的球心O在它的高PO1上，设球的半径为R，因为底面边长为2，所以AC4.在RtAOO1中，R2(4R)222，所以R，所以球的表面积S4R225.答案：2510.如图，在四边形ABCD中，DAB90，ADC135，AB5，CD2，AD2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积解：由已知得：CE2，DE2，CB5，S表面S圆台侧S圆台下底S圆锥侧(25)52522(604)，VV圆台V圆锥(2252)4222.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1(2018广西质检)高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积与原直三棱柱的体积的比值为()A. B.C. D.解析：选C由侧视图、俯视图知该几何体是高为2、底面积为2(24)6的四棱锥，其体积为4.易知直三棱柱的体积为8，则该几何体的体积与原直三棱柱的体积的比值为，故选C.2如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点E，F分别为边BC，CD的中点，将ABE，ECF，FDA分别沿AE，EF，FA折起，使B，C，D三点重合于点P，若四面体PAEF的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积是()A6 B12C18 D9解析：选C因为APEEPFAPF90，所以可将四面体补成一个长方体(PA，PE，PF是从同一顶点出发的三条棱)，则四面体和补全的长方体有相同的外接球，设其半径为R，由题意知2R3，故该球的表面积S4R24218.3已知A，B，C是球O的球面上三点，且ABAC3，BC3，D为该球面上的动点，球心O到平面ABC的距离为球半径的一半，求三棱锥D ABC体积的最大值解：如图，在ABC中，ABAC3，BC3，由余弦定理可得cos A，sin A.设ABC外接圆O的半径为r，则2r，得r3.设球的半径为R，连接OO，BO，OB，则R2232，解得R2.由图可知，当点D到平面ABC的距离为R时，三棱锥D ABC的体积最大，SABC33，三棱锥D ABC体积的最大值为3.第三节空间点、线、面之间的位置关系1平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线2空间中两直线的位置关系(1)空间中两直线的位置关系(2)异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)范围：.(3)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行(4)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补3空间中直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况小题体验1下列说法正确的是()A若a，b，则a与b是异面直线B若a与b异面，b与c异面，则a与c异面C若a，b不同在平面内，则a与b异面D若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面答案：D2(教材习题改编)设P表示一个点，a，b表示两条直线，表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是_Pa，Pa；abP，ba；ab，a，Pb，Pb；b，P，PPb.答案：1异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交2直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”3不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”条件小题纠偏1(2018江西七校联考)已知直线a和平面，l，a，a，且a在，内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是()A相交或平行B相交或异面C平行或异面 D相交、平行或异面解析：选D依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面2若直线ab，且直线a平面，则直线b与平面的位置关系是()Ab BbCb或b Db与相交或b或b解析：选Db与相交或b或b都可以3(教材习题改编)下列命题：经过三点确定一个平面；梯形可以确定一个平面；两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合其中正确命题的个数为()A4 B3C2 D1解析：选D中若三点在一条直线上，则不能确定一个平面；梯形可以确定一个平面；两两相交的三条直线最多可以确定四个平面；中这三个公共点可以在这两个平面的交线上故错误的是，正确的是.所以正确命题的个数为1.典例引领如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AA1的中点求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点证明：(1)如图，连接EF，A1B，CD1.E，F分别是AB，AA1的中点，EFA1B.又A1BCD1，EFCD1，E，C，D1，F四点共面(2)EFCD1，EFCD1，CE与D1F必相交，设交点为P，则由PCE，CE平面ABCD，得P平面ABCD.同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1DA，P直线DA.CE，D1F，DA三线共点由题悟法1点线共面问题证明的2种方法(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证有关点、线在此平面内；(2)辅助平面法：先证有关点、线确定平面，再证其余点、线确定平面，最后证明平面，重合2证明多线共点问题的2个步骤(1)先证其中两条直线交于一点；(2)再证交点在第三条直线上证交点在第三条直线上时，第三条直线应为前两条直线所在平面的交线，可以利用公理3证明如“本例”中第(2)问即时应用 如图，在四边形ABCD中，已知ABCD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面相交于点E，G，H，F，求证：E，F，G，H四点必定共线证明：因为ABCD，所以AB，CD确定一个平面.又因为ABE，AB，所以E，E，即E为平面与的一个公共点同理可证F，G，H均为平面与的公共点，因为两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，所以E，F，G，H四点必定共线典例引领如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：直线AM与CC1是相交直线；直线AM与BN是平行直线；直线BN与MB1是异面直线；直线AM与DD1是异面直线其中正确的结论的序号为_解析：直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，所以错误点B，B1，N在平面BB1C1C中，点M在此平面外，所以BN，MB1是异面直线同理AM，DD1也是异面直线答案：由题悟法即时应用1上面例题中正方体ABCDA1B1C1D1的棱所在直线中与直线AB是异面直线的有_条解析：与AB异面的有4条：CC1，DD1，A1D1，B1C1.答案：42在图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形的是_(填上所有正确答案的序号)解析：图中，直线GHMN；图中，G，H，N三点共面，但M平面GHN，因此直线GH与MN异面；图中，连接MG，GMHN，因此GH与MN共面；图中，G，M，N共面，但H平面GMN，因此GH与MN异面所以在图中，GH与MN异面答案：典例引领(2017全国卷)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A.B.C. D.解析：选C如图所示，将直三棱柱ABCA1B1C1补成直四棱柱ABCDA1B1C1D1，连接AD1，B1D1，则AD1BC1，所以B1AD1或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角因为ABC120，AB2，BCCC11，所以AB1，AD1.在B1D1C1中，B1C1D160，B1C11，D1C12，所以B1D1，所以cosB1AD1.由题悟法1用平移法求异面直线所成的角的3步骤(1)一作：即据定义作平行线，作出异面直线所成的角；(2)二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角2有关平移的3种技巧求异面直线所成的角的方法为平移法，平移的方法一般有3种类型：(1)利用图形中已有的平行线平移；(2)利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；(3)补形平移计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行即时应用如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小解：(1)连接B1C，AB1，由ABCDA1B1C1D1是正方体，易知A1DB1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角AB1ACB1C，B1CA60.即A1D与AC所成的角为60.(2)连接BD，在正方体ABCDA1B1C1D1中，ACBD，ACA1C1，E，F分别为AB，AD的中点，EFBD，EFAC.EFA1C1.即A1C1与EF所成的角为90.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1“点P在直线m上，m在平面内”可表示为()APm，mBPm，mCPm，m DPm，m解析：选B点在直线上用“”，直线在平面上用“”，故选B.2(2018平阳期末)已知a，b是异面直线，直线c直线a，那么c与b()A一定是异面直线 B一定是相交直线C不可能是平行直线 D不可能是相交直线解析：选C由平行直线公理可知，若cb，则ab，与a，b是异面直线矛盾所以c与b不可能是平行直线3空间四边形两对角线的长分别为6和8