微分方程的基本概念(19).ppt

微分方程的基本概念,可分离变量的微分方程,第一章 微分方程,齐次方程,一阶线性微分方程,全微分方程,可降阶的高阶微分方程,高阶线性微分方程,二阶常系数非齐次线性微分方程,二阶常系数齐次线性微分方程,问题的提出 微分方程的基本概念,第一节 微分方程的基本概念,高等数学研究的主要对象是函数. 因此, 如何寻找函数关系, 这在实践中具有十分重要的意义.,在自然科学、生物科学以及经济与管理科学的许多领域 中, 反映变量之间内在联系的函数关系, 往往都不能直接得 到, 而必须通过建立实际问题的数学模型 微分方程, 并求解这个微分方程才能得到.,什么是微分方程呢? 下面通过具体的实例来引入微分 方程的概念.,一、问题的提出,解,例2 某种商品的需求量 Q 对价格 p 的弹性为-1.5p. 已知 该商品的最大需求量(即 p = 0 时的需求量) 为800，求需 求量 Q 与价格 p 的函数关系.,解 设所求的函数关系为Q = Q (p),则由题意可知，它应满足,再将(2)式代入(3) 式，得 c = 800,又将c = 800代入(3) 式，即得所求函数关系为,将(1)式整理积分，得,上述两个例子, 有一个共同特点：,它们都是把一个实际问题归结为一个含有未知函数导数的方程的求解问题. 数学上, 人们把这种方程称为微分方程.,凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.,例,二、微分方程的基本概念,1. 微分方程的定义,实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.,当微分方程中的未知函数是一元函数时, 称为常微分方程; 当未知函数是多元函数时, 称为偏微分方程.,例如, 方程,都是常微分方程.,都是偏微分方程.,而方程,2. 微分方程的分类,分类1 常微分方程, 偏微分方程.,定义 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶.,分类2 一阶微分方程 高阶微分方程,一阶微分方程的一般形式,n阶微分方程的一般形式,其中 F 是 x, y , y , , y (n) 的已知函数, x 为自变量, y 为未知函数, 且方程中一定含有 y(n).,其中f 是 x , y , y, , y ( n - 1) 的已知函数.,如果微分方程中所含的未知函数和未知函数的各阶导数 都是一次的，则称方程为线性微分方程. 线性微分方程的 一般形式为:,其中 a1(x) 、a n-1 (x)、 a n (x), f (x) 都是 x 的已知函数 .,其余形式的微分方程, 统称为非线性微分方程.,非线性微分方程,线性微分方程,分类3 线性微分方程 非线性微分方程.,代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解.,3. 微分方程的解微分方程的主要问题,定义 设函数 y =(x) 在区间上有连续的n阶导数, 并且对任意的 x, 均有,则称函数 y = (x) 为常微分方程在区间上的解.,例如可以验证函数,微分方程的解的分类,(1) 通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.其图形为积分曲线族.,(2) 特解: 确定了通解中任意常数以后的解. 其图形为积分曲线.,例如,初始条件: 用来确定通解中任意常数的条件.,过定点的积分曲线;,一阶:,二阶:,过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.,n阶微分方程确定任意常数的初始条件为,微分方程满足初始条件的求解问题称为初值问题. n阶微分方程的初值问题通常记作,例3 验证 函数 y = c1cos2x + c2 sin2x 是微分方程,的特解.,的通解. 并求满足初始条件,解 因为,-4(c1 cos2x + c2 sin 2x )+ 4 (c1cos 2x + c2 sin 2x) 0,于是函数y = c1cos 2x + c2 sin 2x 是给定方程的解,又因为解中含有两个独立