定积分及其应用习题章节.ppt

定 积 分 及 其 应 用 习 题 课,问题1: 曲边梯形的面积,问题2: 变速直线运动的路程,存在定理,广义积分,定积分,定积分 的性质,定积分的 计算法,牛顿-莱布尼茨公式,一、主要内容,定积分的应用,1、问题的提出,实例1 （求曲边梯形的面积A）,实例2 （求变速直线运动的路程）,方法:分割、求和、取极限.,2、定积分的定义,定义,记为,可积的两个充分条件：,定理1,定理2,3、存在定理,4、定积分的性质,性质1,性质2,性质3,性质5,推论：,（1）,（2）,性质4,性质7 (定积分中值定理),性质6,积分中值公式,5、牛顿莱布尼茨公式,定理1,定理2（原函数存在定理）,定理 3（微积分基本公式）,也可写成,牛顿莱布尼茨公式,6、定积分的计算法,换元公式,（1）换元法,（2）分部积分法,分部积分公式,、广义积分,(1)无穷限的广义积分,(2)无界函数的广义积分,5、定积分应用的常用公式,(1) 平面图形的面积,直角坐标情形,如果曲边梯形的曲边为参数方程,曲边梯形的面积,参数方程所表示的函数,极坐标情形,(2) 体积,平行截面面积为已知的立体的体积,(3) 平面曲线的弧长,弧长,A曲线弧为,弧长,B曲线弧为,C曲线弧为,弧长,(4) 旋转体的侧面积,五、定积分在经济上的应用,主要目的：如已知目标函数的边际函数，如 何求原函数（即目标函数）,例1. 求,解: 因为,时,所以,利用夹逼准则得,典型例题:,一、与定积分概念有关的问题的解法,思考例1下列做法对吗 ?,利用积分中值定理,不对 !,且,说明:,故没理由认为,解：将数列适当放大和缩小，以简化成积分和形式,已知,利用夹逼准则可知,(1998考研),例2. 求,思考:,提示:由上题,故,练习: 1.,求极限,解：,原式,2. 求极限,提示：,原式,左边,= 右边,例3.,估计下列积分值,解: 因为,即,例4. 证明,证: 令,则,令,得,故,例5.,设,在,上是单调递减的连续函数，,试证,都有不等式,证明：显然,时结论成立.,(用积分中值定理),当,时,故所给不等式成立 .,明对于任何,例6.,且由方程,确定 y 是 x 的函数 , 求,解：方程两端对 x 求导, 得,令 x = 1, 得,再对 y 求导, 得,故,例7.,求可微函数 f (x) 使满足,解: 等式两边对 x 求导, 得,不妨设 f (x)0,则,注意 f (0) = 0, 得,例8. 求多项式 f (x) 使它满足方程,解: 令,则,代入原方程得,两边求导:,可见 f (x) 应为二次多项式 ,设,代入 式比较同次幂系数 , 得,故,再求导:,二、有关定积分计算和证明的方法,1. 熟练掌握定积分计算的常用公式和方法,2. 注意特殊形式定积分的计算,3. 利用各种积分技巧计算定积分,4. 有关定积分命题的证明方法,思考: 下列作法是否正确?,例9. 求,解: 令,则,原式,例10. 选择一个常数 c , 使,解: 令,则,因为被积函数为奇函数 , 故选择 c 使,即,可使原式为 0 .,例11. 设,解:,例12. 如图, 曲线 C 的方程为,解:,是它的一,个拐点,线, 其交点为(2,4),设函数f (x)具有三阶连续导数,计算定,积分,直线 l1与 l2 分别是曲线C在点(0, 0)与(3, 2)处的切,(2005 考研),0,例13. 若,解: 令,试证 :,则,因为,对右端第二个积分令,综上所述,例14. 证明恒等式,证: 令,则,因此,又,故所证等式成立 .,例15.,试证,使,分析:,即证,故作辅助函数,至少存在一点,即,证明: 令,在,上连续,在,至少,使,即,因在,上,连续且不为0 ,从而不变号,因此,故所证等式成立 .,故由罗尔定理知 ,存在一点,思考: 本题能否用柯西中值定理证明 ?,如果能, 怎样设辅助函数?,提示: 设辅助函数,例15,例16.,设函数 f (x) 在a, b 上连续,在(a, b) 内可导, 且,(1) 在(a, b) 内 f (x) 0 ;,(2) 在(a, b) 内存在点 , 使,(3) 在(a, b) 内存在与 相异的点 , 使,(2003 考研),证: (1),由 f (x)在a, b上连续,知 f (a) = 0.,所以f (x),在(a, b)内单调增,因此,(2) 设,满足柯西中值定理条件,于是存在,即,(3) 因,在a, 上用拉格朗日中值定理,代入(2)中结论得,因此得,例16 题,例17. 设,证: 设,且,试证 :,则,故 F(x) 单调不减 ,即 成立.,例18.,设,在,上是单调递减的连续函数，,试证,都有不等式,证明：显然,时结论成立.,(用积分中值定理),当,时,故所给不等式成立 .,明对于任何,例19. 求抛物线,在(0,1) 内的一条切线, 使它与,两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.,解: 设抛物线上切点为,则该点处的切线方程为,它与 x , y 轴的交点分别为,所指面积,且为最小点 .,故所求切线为,得 0 , 1 上的唯一驻点,例20. 设非负函数,曲线,与直线,及坐标轴所围图形,(1) 求函数,(2) a 为何值时, 所围图形绕 x 轴一周所得旋转体,解: (1),由方程得,面积为 2 ,体积最小 ?,即,故得,又,(2) 旋转体体积,又,为唯一极小值点,因此,时 V 取最小值 .,例21. 过坐标原点作曲线,轴围成平面图形D.,(1) 求 D 的面积;,(2) 求D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积.,解: (1) 设切点的横坐标为,则所求切线方程为,由切线过原点知,的切线. 该切线与曲线,因此,故切线方程为,D 的面积为,(2003考研),(2) 求D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积.,切线、x 轴及直线,所围三角形绕直线,旋转所得圆锥的体积为,曲线、x 轴及直线,所围图形绕直线,旋转所,因此所求旋转体体积为,得旋转体