世纪金榜第八章 第五节.ppt

第五节 椭圆(一),1.椭圆的定义 平面内动点P到两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a,若 动点P的轨迹是椭圆，应具备的条件是_；若轨迹是 线段，则应当满足_；当2aF1F2时，轨迹不存在.,2aF1F2,2a=F1F2,2.椭圆的标准方程和几何性质,-a,a,-b,b,-b,b,-a,a,坐标轴,原点,(-a，0),(a，0),(0，-b),(0，b),(0，-a),(0，a),(-b，0),(b，0),2a,2b,2c,(0，1),a2-b2,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”). (1)平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.( ) (2)椭圆上一点P与两焦点F1,F2构成PF1F2的周长为2a+2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距).( ) (3)方程 表示焦点在y轴上的椭圆.( ) (4)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.( ) (5)椭圆既是轴对称图形,又是中心对称图形.( ),【解析】(1)错误.由椭圆的定义知,当该常数大于F1F2时，其轨迹才是椭圆,而常数等于F1F2时，其轨迹为线段F1F2,常数小于F1F2时,不存在图形. (2)正确.由椭圆的定义得,PF1+PF2=2a, 又F1F2=2c,PF1+PF2+F1F2=2a+2c. (3)错误.方程可化为 其中 故其表示焦点在x轴上的椭圆.,(4)错误.因为 所以e越大,则 越小，椭圆就越扁. (5)正确.由椭圆的对称性知,其关于原点中心对称,也关于两坐标轴对称. 答案：(1) (2) (3) (4) (5),1.已知椭圆 上一点P到椭圆一个焦点F1的距离为3,则P到另一个焦点F2的距离为_. 【解析】a=5,且PF1=3,PF1+PF2=10, PF2=10-3=7. 答案:7,2.椭圆的焦点坐标为(-5,0)和(5,0),椭圆上一点与两焦点的距离和是26,则椭圆的方程为_. 【解析】已知c=5,2a=26.a=13, 又焦点在x轴上，故方程为 答案:,3.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是_. 【解析】由已知得4b=2a+2c,即a+c=2b. 又b2=a2-c2,有(a+c)2=4(a2-c2), 即3a2-2ac-5c2=0,亦即: 解得 答案:,4.“-3m5”是“方程 表示椭圆”的_ 条件. 【解析】方程 表示椭圆，则 解得-3m5且m1.故方程 表示椭圆, 可得-3m5成立，但-3m5时,如m=1却不表示椭圆. 答案:必要不充分,5.已知椭圆 的离心率 则m的值为_. 【解析】当焦点在x轴上时,0m5，a2=5,b2=m,c2=5-m, 又 解得m=3. 当焦点在y轴上时,m5，a2=m,b2=5，c2=m-5, 又 解得 综上可知m=3或 答案：3或,6.已知椭圆的短轴长为6，离心率为 则椭圆的一个焦点到长轴端点的距离为_. 【解析】因为椭圆的短轴长为6，所以b=3 又因为离心率为 所以 又因为a2=b2+c2 解组成的方程组得：a=5,c=4. 所以，焦点到长轴端点的距离为：a+c=9或a-c=1. 答案：9或1,考向 1 椭圆的定义及应用 【典例1】(1)在ABC中，点B(-12,0),C(12,0),且AC,AB边上的中线长之和等于39,则ABC的重心的轨迹方程为_. (2)(2013镇江模拟)已知F1,F2是椭圆C: 的两个焦点,P为椭圆C上的一点，且 若PF1F2的面积为9,则b=_.,【思路点拨】(1)先寻找到ABC的重心与两定点B,C的关系， 再根据椭圆的定义求出轨迹方程. (2)关键抓住点P为椭圆C上的一点，从而依据定义有PF1+ PF2=2a,再利用 求出PF1PF2，最后结合面积求得b值.,【规范解答】(1)如图, 设M是ABC的重心，BD是AC边上的中线，CE是AB边上的中线, 由重心的性质知 于是,又26BC=24, 根据椭圆的定义知，点M的轨迹是以B，C为焦点的椭圆(除去与x轴的交点). 2a=MB+MC=26,a=13. 又2c=BC=24,c=12. b2=a2-c2=132-122=25. 故所求的轨迹方程为 答案：,(2)由题意知PF1+PF2=2a, PF12+PF22=F1F22=4c2, (PF1+PF2)2-2PF1PF2=4c2, 2PF1PF2 =4a2-4c2=4b2. PF1PF2=2b2, = b=3. 答案：3,【互动探究】将本例题(2)中条件“ ”“PF1F2的 面积为9”分别改为“F1PF2=60”“ ”,则 结果如何? 【解析】由题意得PF1+PF2=2a, 又F1PF2=60, PF12+PF22-2PF1PF2cos 60=F1F22, (PF1+PF2)2-3PF1PF2=4c2, 3PF1PF2=4a2-4c2=4b2,PF1PF2=,【拓展提升】椭圆定义的应用 (1)利用椭圆的定义解题时，一方面要注意常数2aF1F2这一条件；另一方面要注意由椭圆上任意一点与两个焦点所组成的“焦点三角形”中的数量关系. (2)对于“焦点三角形”，利用椭圆定义可求其周长;利用椭圆定义和余弦定理可求PF1PF2；通过整体代入可求其面积等. 【提醒】利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2aF1F2这一条件.,【变式备选】已知椭圆 上一点P到两焦点的距离之积为m，则当m取最大值时，点P的坐标为_. 【解析】设点P到两焦点的距离分别为r1,r2，则r1+r2=10, 当且仅当r1=r2=5时取等号，此时点P的坐标为(0，-3)或(0，3). 答案:(0，-3)或(0，3),考向 2 椭圆的标准方程与几何性质 【典例2】(2012广东高考)在平面直角坐标系xOy中，已知 椭圆C: 的离心率 且椭圆C上的点到 Q(0，2)的距离的最大值为3. (1)求椭圆C的方程. (2)在椭圆C上，是否存在点M(m,n)使得直线l:mx+ny=1与圆O:x2+y2相交于不同的两点A,B，且OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相对应的OAB的面积；若不存在，请说明理由.,【思路点拨】(1)先根据 将待定系数a，b减为一个系数b， 再根据椭圆C上任意点P(x,y)满足椭圆C的方程，将PQ中两个 变量减为关于y的函数，求其最大值，从而求出b,得C的方程; (2)可求出原点到直线l的距离,进而求出AB的长，即可求出 SOAB= 再根据M(m,n)在椭圆上， 因而 从而确定出m的值，n的值.问题得解.,【规范解答】(1)由 得 椭圆C: 即x2+3y2=3b2. 设P(x,y)为椭圆C上任意一点, 则 若b1，则-b-1， 当y=-b时, 又b0，得b=1(舍去),若b1，则-b-1， 当y=-1时， 得b=1, 椭圆C的方程为 (2)假设存在点M(m,n)满足题意,则 即 设原点到直线l:mx+ny=1的距离为d, 则,AB= 当且仅当 即 亦即 时, (SOAB)max=,显然存在这样的点 使SOAB最大，最大值为,【拓展提升】 1.用待定系数法求椭圆标准方程的四个步骤 (1)作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能. (2)设方程：根据上述判断设方程 或 (3)找关系：根据已知条件，建立关于a,b,c的方程组. (4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.,【提醒】当椭圆焦点位置不明确而无法确定标准方程时， 可设为 也可设为Ax2+By2=1(A0,B0且AB).,2.利用椭圆几何性质的注意点及技巧 (1)注意椭圆几何性质中的不等关系 对于椭圆标准方程中x,y的范围，离心率的范围等，在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到这些不等关系. (2)利用椭圆几何性质的技巧 求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系.,(3)求椭圆的离心率问题的一般思路 求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a,b,c的等式(或不等式)，利用a2=b2+c2消去b，即可求得离心率或离心率的范围.,【变式训练】定义：离心率 的椭圆为“黄金椭圆”. 已知E： 的一个焦点为F(c,0)(c0)，则E为 “黄金椭圆”是“a，b，c成等比数列”的_条件.(填 充分不必要、必要不充分、充要或既不充分也不必要),【解析】若E为黄金椭圆，则 b2=a2-c2=a2- 所以a,b,c成等比数列(a,b,c全不为零). 若a,b,c成等比数列， 则b2=aca2-c2=ace2+e-1=0， 又0e1,所以 故E为黄金椭圆. 答案：充要,考向 3 椭圆的焦点三角形 【典例3】已知P是椭圆 上一点，F1,F2 分别是左、右两个焦点. (1)若F1PF2=(0)，求证:F1PF2的面积为 (2)若存在点P,使F1PF2=90，求椭圆离心率的取值范围. (3)若过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A,B两点， ABF2是正三角形，求这个椭圆的离心率.,【思路点拨】(1)F1PF2为焦点三角形，设PF1=m, PF2=n,则m+n=2a, 而 只要将mn用m+n表示出来即可. (2)若求离心率e的取值范围，则必须依据条件，得到关于e的不等式求解. (3)利用 求解.,【规范解答】(1)如图所示，设PF1=m, PF2=n, 则m+n=2a， F1PF2的面积为S，则 在F1PF2中，(2c)2=m2+n2-2mncos =(m+n)2-2mn(1+cos ), 又m+n=2a,1+cos 0, 由得,(2)方法一：当F1PF2=90时，由(1)得4c2=4a2-2mn, 又 (当且仅当m=n时取等号), 4a2-4c22a2, e的取值范围为 方法二: 因为椭圆上存在点P,使F1PF2=90， 所以以F1F2为直径的圆与椭圆有公共点，cb, c2a2-c2,可得e的取值范围为,(3)设AF1=d,由ABF2是正三角形知 AF2=2d,F1F2= 所以椭圆的离心率,【拓展提升】记椭圆上一点P与两个焦点F1，F2构成的三角形为焦点三角形，对焦点三角形的考查是高考的热点.在会推导会应用的情况下熟悉下列结论，可大大提高解题速度. |PF1-PF2|F1F2PF1+PF2(常用来求范围或最值)； 当P为短轴端点时F1PF2最大； 当P为短轴端点时，三角形F1PF2的面积最大为bc.,【变式训练】(1)(2013南京模拟)椭圆 上的点P 到它的两个焦点F1,F2的距离之比PF1PF2= 且PF1F2= (0 )，则的最大值为_. (2)已知F1,F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，F1PF2=60.求椭圆离心率的取值范围.,【解析】(1)PF1PF2= PF1+PF2=2a,PF1= 又F1F2=2c, 在PF1F2中， 当且仅当 时取“=”. PF1F2的最大值为 即 答案：,(2)不妨设椭圆方程为 PF1=m,PF2=n. 在PF1F2中，由余弦定理可知， 4c2=m2+n2-2mncos 60. m+n=2a,m2+n2=(m+n)2-2mn=4a2-2mn, 4c2=4a2-3mn. 又 (当且仅当m=n时取等号)， 4a2-4c23a2, e的取值范围是,【满分指导】与椭圆有关的解答题的规范性解答 【典例】(14分)(2012安徽高考)如图，点F1(-c，0)， F2(c,0)分别是椭圆C： 的左、右焦点，过点 F1作x轴的垂线交椭圆C的上半部分 于点P，过点F2作直线PF2的垂线交 直线 于点Q.,(1)如果点Q的坐标是(4,4)，求此时椭圆C的方程. (2)证明：直线PQ与椭圆C只有一个交点.,【思路点拨】,【规范解答】(1)由条件知 由F2(c,0)得直线PF2的 斜率为 2分 PF2F2Q， 直线F2Q的方程为 4分 由 得 6分,由题设知 2a=4，解得a=2,c=1. 故椭圆方程为 8分 (2)由 知直线PQ的方程为 10分 由 得x2+2cx+c2=0.12分 解得x=-c, 直线PQ与椭圆C只有一个交点.14分,【失分警示】(下文见规范解答过程),1.(2012新课标全国卷改编)设F1,F2是椭圆E: (ab0)的左、右焦点，P为直线 上一点，F2PF1 是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为_. 【解析】由题意可得PF2=F1F2, 3a=4c, 答案:,2.(2012山东高考改编)已知椭圆C: 的离心 率为 双曲线x2-y2=1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四 个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为_.,【解析】因为椭圆的离心率为 a=2b. 椭圆方程为x2+4y2=4b2. 又双曲线x2-y2=1的渐近线方程为xy=0, 渐近线xy=0与椭圆x2+4y2=4b2在第一象限的交点为 由椭圆的对称性得四边形在第一象限部分的面积为 b2=5,a2=4b2=20. 椭圆C的方程为 答案:,3.(2013宿迁模拟)已知椭圆 长轴在y轴上，若焦距为4，则a的值为_. 【解析】将椭圆的方程转化为标准形式为 显然a-210-a0，即6a10. 由 得a=8. 答案:8,4.(2012江西高考改编)椭圆 的左、右顶点分别为A，B，左、右焦点分别是F1，F2，若AF1，F1F2，F1B成等比数列，则此椭圆的离心率为_. 【解析】由题意知AF1=a-c,F1F2=2c,F1B=a+c, 且三者成等比数列，则F1F22=AF1F1B,即4c2=a2-c2,a2=5c2, 所以 答案:,1.设椭圆 的离心率为 右焦点 F(c,0),方程a