微积分第2章极限与连续.ppt

第二章 极限与连续,1,第二章 极限与连续, 2.1 数列的极限, 2.2 函数的极限, 2.3 无穷小量与无穷大量, 2.4 连续函数,第二章 极限与连续,2,一、问题的提出 二、数列极限的定义 三、数列极限的运算法则 四、收敛数列的性质 五、数列收敛的准则,2.1 数列的极限,第二章 极限与连续,3,一、问题的提出,yn 称为数列的通项.,1. 数列对应于数轴上的点列(一动点在数轴上依次取值).,注:,2. 数列可视作整标函数：f: nyn .,例.,第二章 极限与连续,4,庄子言“一尺之棰，日取其半，万世不竭也”,问题一: 观察 当n不断增大时的变化趋势;,观察 当n不断增大时的变化趋势,文字描述：当 n 无限增大时, yn 无限接近 某定数.,N,N,第二章 极限与连续,5,问题二: 能否用数学语言刻画“当n无限增大, yn无限接近A”?,以 为例，,用(0) 刻画 yn 与 1 的接近程度，则,对于 只要 有,对于 只要 有,对于 只要 有,概括起来，,第二章 极限与连续,6,二、数列极限的定义,1. 刻画yn与A的接近程度，N刻画 n 充分大的程度；,注:,具有任意性，N的存在常依赖于.,若yn不收敛(无极限)，则称其发散.,记作,2. 考察数列极限，只关心 n 充分大时数列的趋势.,了解,第二章 极限与连续,7,2),1),2. 用定义只能验证极限，不能求极限.,按数列极限定义证明：,例1,第二章 极限与连续,8,三、数列极限的运算法则 (课本p.662.5 ),会应用,第二章 极限与连续,9,(上下同除以n3),注意: 极限四则运算只适用于有限项运算，且各项极限存在!,(先求括号内各项之和),第二章 极限与连续,10,四、收敛数列的性质(课本p.60-62 2.2,2.3 ),了解,第二章 极限与连续,11,五、数列收敛的准则 (课本p.712.6 ),夹逼准则,若数列 xn, yn, zn 满足：,则数列xn收敛，且,(可放宽至“nN”),例4 求下列极限：,会应用,第二章 极限与连续,12,单调有界准则 单调有界数列必收敛.,1. 单调、有界，两条件缺一不可；,注:,2. 反过来，收敛数列必有界，但未必单调!,了解,第二章 极限与连续,13,2.2 函数的极限,一、x 型的函数极限 二、xx0 型的函数极限 三、函数极限的运算法则 四、函数收敛的性质与准则 五、两个重要的函数极限,第二章 极限与连续,14,一、x 型的函数极限,记作,了解,1. 数列极限是其特殊情形.,注:,几何意义：,2. 观察函数图象特征可以确 定某些极限. 如,第二章 极限与连续,15,类似可定义:,例1 2),记住结论,了解,第二章 极限与连续,16,二、xx0 型的函数极限,记作,注意: 与f(x0)无关！,了解,第二章 极限与连续,17,记住结论,了解,第二章 极限与连续,18,三、函数极限的运算法则（xX: 任意一类函数极限）,会应用,特别地，,第二章 极限与连续,多项式函数求单点极限, 只需计算函数值；,有理分式函数(分母极限不为0)求单点极限, 只需计算函数值；,有理分式函数(分母0)求单点极限, 约分去零因子,有理分式函数求极限，必要时除以最大方幂,例4 计算下列极限:,19,有理化去零因子,第二章 极限与连续,20,性质1（唯一性） 略,四、函数收敛的性质与准则,性质4（局部保序性）,性质3（局部保号性）,(以 xx0 型函数极限为例),了解,第二章 极限与连续,21,(可放宽至“xU(X)”),例5 证明：,会应用,设,则,， 且,补充(变量替换) *,会应用,例:,第二章 极限与连续,23,五、两个重要的函数极限,1.,证:,同除以 sin x 得,即,而,由夹逼准则知,先证,令 u = -x，则,(如图,记结论,会用,第二章 极限与连续,24,例6 求下列极限：,1),2),3),第二章 极限与连续,25,2.,证明概要: 设 n x n+1, 则,再由变量替换法则，可证得,根据夹逼准则，有,记结论,会用,第二章 极限与连续,26,3),2),利用 求极限: step 1. 判断是否(1+0)型极限, step 2. 凑 (1+1/).,2.3 无穷小量与无穷大量,一、无穷小量 二、无穷大量 三、无穷小量的阶 四、无穷小量等价代换,一、无穷小量,若 ，则称 f(x) 为当xX 时的无穷小量.,注:,1. 无穷小量与其极限过程有关；,2. 无穷小量是函数，不同于很小的数；,4. 无穷小量乘以有界量仍为无穷小量.,3. 为xX 时的无穷小量；,例: x2, sinx, 0 是 x0 时的无穷小量；,若 f(x) 在 X 某邻域内有界，则称 f(x) 为xX 时的有界量.,cos x, sin x / x 是 x0 时的有界量.,二、无穷大量,注:,若 ，则称 f(x) 为当x时的无穷大量.,1. 无穷大量与其极限过程有关；,2. 无穷大量是函数，不同于很大的数；,4. 无穷小(非零)的倒数是无穷大, 无穷大的倒数是无穷小.,例: 1/x 是 x0 时无穷大量；,tan x 是 x/ 2 时无穷大量.,3. 无穷大量是函数发散的一种情况；,了解,例1 利用无穷小量、无穷大量的性质计算下列极限：,若,则称 f 是比 g 高阶的无穷小量，,定义,设,且,记作,三、无穷小量的阶,记作,例2 比较 x0 时下列各无穷小量的阶：,1) sin x 与 x, tan x 与 x；,2) 与 x；,4) 1-cos x 与 x2/2；,3) 与 x (x0+) ；,等价,同阶,等价,要记,四、无穷小量等价代换,注: 1. 极限式的分子/分母如果为若干因子的乘积, 则对任意一个或几个无穷小因子做等价无穷小代换, 不改变极限值,2. 等价无穷小量代换 应用于加减运算 有 条件限制.,例3 用等价无穷小量代换完成下列各题：,1),4),2),3) 求,(注意: 分子不可换为x-x),2.4 连续函数,一、连续函数的概念 二、函数的间断点 三、连续函数的运算法则 四、利用函数连续性求函数极限 五、闭区间上连续函数的性质,一、连续函数的概念,注：,2. 连续意味着 “极限运算与f 可换”.,1. 连续的几何意义.,在 x = 0连续,若称 f 在 a, b) 上连续，则端点 a 处实际只要求右连续，,定义,若 f 在 I 上的每一点都连续, 则称 f 为 I 上的连续函数.,注:,对于区间 a, b 或 (a, b, 情况类似.,y = sin x 在 R 上连续.,二、函数的间断点,间 断 点 分 类,会分类,例2 求下列函数的间断点，并判断其类型：,三、连续函数的运算法则,强调“区间 ”旨在排除定义域中可能有的孤立点，,注:,例如， 是初等函数，但在其定义域为单点 0 .,了解,四、利用函数连续性求函数极限,例3 求下列极限：,五、闭区间上连续函数的性质,y = f(x),了解,例4 证明方程 x3 - 4x2 + 1=0 在 (0,1) 内至少有一个根.,根的存在定理,若 f 在a, b上连续，,且f(a), f(b)异号，则至少存在,f(x0) = 0 .,一点 x0(a, b), 使得,1. 图像观察,函数极限的计算方法,2. 按定义验证,3. 四则运算（拆分后各部分极限应存在）,4. 夹逼准则,5. 两个重要极限及其应用,6. 无穷小、无穷大的性质,7. 无穷小等价代换,8. f