世纪金榜第八章 第六节.ppt

第六节 椭圆(二),1.椭圆的第二定义,定点,一条定直线,0e1,焦点,准线,离心率,2.弦长公式 设直线与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则 AB=,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”). (1)到定点的距离与定直线的距离的比值为常数的点的轨迹为椭圆.( ) (2)过椭圆焦点的弦叫通径.( ) (3)M(2，0)为椭圆 上的点，则上焦半径为4+ ( ) (4)椭圆的准线在椭圆的外部.( ),【解析】(1)比值必须满足大于0且小于1，故(1)错误. (2)过焦点且垂直于长轴的弦叫通径，故(2)错误. (3)上焦半径为a-ey0=4- 0=4，故(3)错误. (4) a,故(4)正确. 答案:(1) (2) (3) (4),1.已知椭圆 上一点P到椭圆左焦点的距离为5，则点 P到右准线的距离为_. 【解析】由已知易得P到椭圆右焦点的距离为10-5=5, 答案:,2.设P是椭圆 上的一点，F是椭圆的左焦点，F1是椭 圆的右焦点，且 则点P 到该椭圆左准线的距离为_.,【解析】由题设易知M是PF的中点，且OMPF，由OM= 知， PF=2MF=2 =2，又知椭圆的离心率 由椭圆的第 二定义得：点P到椭圆左准线的距离 答案:,3.已知A，B为椭圆C： 的长轴的两个端点，P是椭圆 C上的动点，且APB的最大值是 则实数m的值是_. 【解析】P位于短轴的端点时，APB取得最大值，根据题意则 有 答案：,4.过椭圆 的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于 A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为_. 【解析】将椭圆与直线方程联立 得交点A(0，-2)， 故SOAB= OF|y1-y2|= 答案:,5.过椭圆 的左焦点且倾斜角为45的直线l与椭圆交 于A，B两点，则弦长AB=_. 【解析】由已知可得：a2=4,b2=3,c2=4-3=1, 椭圆的左焦点为F1(-1，0)，则直线方程为：y=x+1. 设A(x1,y1),B(x2,y2)，则由 得7x2+8x-8=0, 故x1+x2= x1x2=,AB= 答案:,考向 1 椭圆中的最值与范围问题 【典例1】(1)已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足 的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是_. (2)如图，已知椭圆C: (ab0)的左顶点，右焦点分 别为A,F，右准线为m. 圆D：x2+y2+x-3y-2=0.,若圆D过A,F两点，求椭圆C的方程； 若直线m上不存在点Q，使AFQ为等腰三角形，求椭圆离心 率的取值范围. 【思路点拨】(1)由 =0可得出MF1MF2，又点M总在椭 圆内部，由此可建立不等式找出a,c的关系，求得e的范围. (2)确定A，F点的坐标a,cb方程； 由AFQ不可为等腰三角形FK(K为m与x轴的交点)FA a,c的不等式e的不等式e的范围.,【规范解答】(1) =0，MF1MF2. 点M在以O为圆心，以c为半径的圆上. 点M总在椭圆内部，c2c2, e= 又e0,0e 答案：0e,(2)圆x2+y2+x-3y-2=0与x轴的交点坐标为A(-2,0)， F(1,0)，故a=2,c=1，所以b= 所以椭圆C的方程是： 设直线m与x轴的交点是K，依题意FKFA， 即 -ca+c, a+2c, 1+ 1+2e, 2e2+e-10，解得0e,【互动探究】在本例题(2)的条件下，若直线m与x轴的交点为 K，将直线m绕K顺时针旋转 得直线l，动点P在直线l上，过P作 圆D的两条切线，切点分别为M，N，求弦长MN的最小值.,【解析】直线l的方程是x-y-4=0， 圆D的圆心是 半径是 设MN与PD相交于H， 则H是MN的中点，且PMMD， 当且仅当PD最小时，MN有最小值， PD最小值即是点D到直线l的距离，设为d， 所以MN的最小值是,【拓展提升】 1.求范围问题的常用方法 (1)把已知条件表达出来，寻找不等关系. (2)建立目标函数，转化为求函数的值域.,2.寻找不等关系的常用方法 (1)方程有解，判别式大于等于零. (2)隐含的字母的取值范围. (3)不等式法. (4)三角函数的有界性. (5)三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.,3.椭圆中的距离问题 椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最小距离和最大距离，且最大距离为a+c,最小距离为a-c.,【变式备选】已知椭圆的一个顶点为A(0，-1)，焦点在x轴 上，若右焦点到直线x-y+ =0的距离为3. (1)求椭圆的离心率e. (2)设椭圆与直线y=kx+m(k0)相交于不同的两点M，N，当 AM=AN时，求m的取值范围.,【解析】(1)右焦点(c,0)到直线x-y+ =0的距离 d= =3，得c= 又b=1,则a2=b2+c2=1+2=3,e= (2)设M(x1,y1),N(x2,y2)， 由(1)得椭圆方程为 =1，把直线方程y=kx+m(k0)代入 椭圆方程得： (3k2+1)x2+6kmx+3(m2-1)=0, =36k2m2-12(3k2+1)(m2-1)0,即：3k2-m2+10 且 由AM=AN得AM2=AN2， 即x12+(y1+1)2=x22+(y2+1)2 即x12-x22=(y2+y1+2)(y2-y1) =k(x2+x1)+2m+2k(x2-x1)(x1x2), 整理得3k2=2m-1，代入得：m2-2m0, 解得0m2.,考向 2 椭圆中的定值问题 【典例2】已知椭圆 (ab0)的左、右焦点分别为F1， F2，短轴两个端点为A，B,且四边形F1AF2B是边长为2的正方形. (1)求椭圆方程. (2)若C,D分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M满足MDCD， 连结CM，交椭圆于点P.证明： 为定值. (3)在(2)的条件下，试问x轴上是否存在异于点C的定点Q，使 得以MP为直径的圆恒过直线DP,MQ的交点，若存在，求出点Q的 坐标；若不存在，请说明理由.,【思路点拨】(1)由已知得：a=2,b=c，从而可求出a,b得椭圆方程. (2)设参数，想法把已知条件表达出来，把所求的表达出来，通过减元化为与参数无关的定值即可. (3)假设存在Q的坐标为Q(m,0)，由MQDP列出m的方程，然后转化为此方程是否有解的问题.,【规范解答】(1)a=2，b=c，a2=b2+c2,b2=2, 椭圆方程为 =1. (2)C(-2,0)，D(2,0),设M(2,y0)，P(x1,y1)， 则 =(x1,y1), =(2,y0). 直线CM： 即 代入椭圆x2+2y2=4得,x1(-2)= x1= y1= ,(3)设存在Q(m,0)满足条件，则MQDP. =(m-2,-y0)， 则由 =0得 从而得m=0.存在Q(0,0)满足条件.,【拓展提升】解决有关椭圆中的定值问题的策略 (1)由于定点、定值是变化中的不变量，引进参数表述这些量，不变的量就是与参数无关的量，通过研究何时变化的量与参数无关，找到定点或定值的方法叫做参数法，其解题的关键是选择合适的参数表示变化的量. (2)当要解决动直线过定点问题时，可以根据确定直线的条件建立直线系方程，通过该直线过定点所满足的条件确定所要求的定点坐标.,【变式训练】(2013盐城模拟)如图，椭圆的中心为原点O， 离心率e= 一条准线的方程是,(1)求该椭圆的标准方程. (2)设动点P满足： 其中M，N是椭圆上的点，直 线OM与ON的斜率之积为 问：是否存在定点F，使得PF与点P 到直线l:x= 的距离之比为定值?若存在，求F的坐标;若不 存在，说明理由.,【解析】(1)由 解得a=2,c= b2=a2-c2 =2,故椭圆的标准方程为： (2)设P(x,y),M(x1,y1),N(x2,y2),则 由 得： (x,y)=(x1,y1)+2(x2,y2)=(x1+2x2,y1+2y2), 即x=x1+2x2,y=y1+2y2. 因为点M，N在椭圆上， 所以x12+2y12=4,x22+2y22=4,故x2+2y2=(x12+4x22+4x1x2)+2(y12+4y22+4y1y2) =(x12+2y12)+4(x22+2y22)+4(x1x2+2y1y2) =20+4(x1x2+2y1y2). 设kOM,kON分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知 kOMkON= 因此x1x2+2y1y2=0,所以x2+2y2=20.,所以P点是椭圆 上的点，该椭圆的右焦点为 ( 0)，离心率e= 直线l:x= 是该椭圆的右准线， 故根据椭圆的第二定义，存在定点F( 0)，使得PF与P点到 直线l的距离之比为定值.,考向 3 直线与椭圆的位置关系 【典例3】设椭圆C1: (ab0) 的左、右焦点分别是F1,F2，下顶点为A, 线段OA的中点为B(O为坐标原点),如图. 若抛物线C2:y=x2-1与y轴的交点为B， 且经过F1，F2点. (1)求椭圆C1的方程. (2)设M(0， ),N为抛物线C2上的一动点，过点N作抛物线C2 的切线交椭圆C1于P，Q两点，求MPQ面积的最大值.,【思路点拨】(1)求出y=x2-1与x轴，y轴的交点坐标得到c,b的 值，再根据a2=b2+c2求出a,代入C1的方程. (2)设N(t,t2-1)，建立过点N的直线方程，与椭圆方程联立， 利用根与系数的关系设而不求，整体代入求得PQ，进而用点 到直线的距离公式求出点M到直线PQ的距离d,从而得 SMPQ= PQd求解.,【规范解答】(1)由题意可知B(0,-1)，则A(0，-2), 故b=2. 令y=0得x2-1=0即x=1，则F1(-1,0),F2(1,0)，故c=1.所以 a2=b2+c2=5. 于是椭圆C1的方程为:,(2)设N(t,t2-1),由于y=x2-1, y=2x,知直线PQ的方程为: y-(t2-1)=2t(x-t), 即y=2tx-t2-1. 代入椭圆方程 整理得: 4(1+5t2)x2-20t(t2+1)x+5(t2+1)2-20=0, 其中=400t2(t2+1)2-80(1+5t2)(t2+1)2-4 =80(-t4+18t2+3),设P(x1,y1),Q(x2,y2),则 故PQ= 设点M到直线PQ的距离为d, 则,所以,MPQ的面积S= 当t2=9即t=3时取到“=”，经检验此时0，满足题意. 综上可知,MPQ的面积的最大值为,【拓展提升】1.直线与椭圆位置关系判断的四个步骤 第一步：建立直线与椭圆的方程; 第二步：联立直线方程与椭圆方程； 第三步：消元得出关于x(或y)的一元二次方程； 第四步：当0时，直线与椭圆相交；当=0时，直线与椭圆相切；当0时，直线与椭圆相离.,2.直线与椭圆相交时有关弦长、中点问题的处理方法 【提醒】利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式.,【变式训练】(2013盐城模拟)已知椭圆 (ab0)的 离心率为 且过点 记椭圆的左顶点为A. (1)求椭圆的方程. (2)设垂直于y轴的直线l交椭圆于B，C 两点，试求ABC面积的最大值. (3)过点A作两条斜率分别为k1,k2的直线交椭圆于D，E两点，且k1k2=2，求证：直线DE恒过一个定点.,【解析】(1)由 解得 所以椭圆的方程为x2+2y2=1. (2)设B(m,n),C(-m,n),则SABC= 2|m|n|=|m|n|. 又1=m2+2n2 所以|m|n| 当且仅当|m|= 时取等号， 从而SABC 即ABC面积的最大值为,(3)因为A(-1，0)，所以AD：y=k1(x+1),AE:y=k2(x+1),由 消去y，得(1+2k12)x2+4k12x+2k12-1=0,解得x=-1 或 点 同理，有 而k1k2=2, 直线DE的方程为,即 即 所以(2k12+4)y=k1(3x+5), 则由 得直线DE恒过定点,【满分指导】直线与椭圆相交的规范性解答 【典例】(14分)(2012陕西高考)已知椭圆C1: 椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率. (1)求椭圆C2的方程. (2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上， 求直线AB的方程.,【思路点拨】,【规范解答】(1)由已知可设椭圆C2的方程为 (a2), 2分 其离心率为 故 = 则a=4,4分 故椭圆C2的方程为 5分 (2)方法一:A，B两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB), 由 及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上, 因此可设直线AB的方程为y=kx. 7分,将y=kx代入 +y2=1中,得(1+4k2)x2=4，所以 . 9分 将y=kx代入 中,得(4+k2)x2=16,所以 . 又由 得xB2=4xA2，即 12分 解得k=1， 故直线AB的方程为y=x或y=-x.14分,方法二:A,B两点的坐标分别记为(xA,yA)，(xB,yB)， 由 及(1)知，O，A，B三点共线且点A,B不在y轴上, 因此可设直线AB的方程为y=kx.7分 将y=kx代入 +y2=1中，得(1+4k2)x2=4，所以 , 9分 由 得 将xB2,yB2代入 中，得 即4+k2=1+4k2, 12分 解得k=1，故直线AB的方程为y=x或y=-x. 14分,【失分警示】(下文见规范解答过程),1.(2012四川高考)椭圆 的左焦点为F，直线x=m与 椭圆相交于点A，B，当FAB的周长最大时，FAB的面积是 _. 【解析】当直线x=m过右焦点(1，0)时，FAB的周长最大， 由椭圆定义知，其周长为4a=8，此时AB= SFAB= 23=3. 答案:3,2.(2013徐州模拟)椭圆 (ab0)的右焦点为F，其 右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直 平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围为_. 【解析】设P(x0,y0),则PF=a-ex0，又点F在AP的垂直平分线 上，a-ex0= x0= 又-ax0a, -a a,-1 又0e1, e1. 答案: 1),3.(2013扬州模拟)若椭圆 的一条弦被点A(4，2) 平分，那么这条弦所在的直线方程为_. 【解析】设弦的端点为C(x1,y1)，D(x2,y2),则 将x1+x2=8,y1+y2=4代入上式得 所以所求方程为 y-2= 即x+2y-8=0. 答案:x+2y-8=0,4.(2013宿迁模拟)已知中心在 原点O、焦点在x轴上的椭圆C过点 M(2，1)，离心率为 如图，平 行于OM的直线l交椭圆C于不同的 两点A，B. (1)当直线l经过椭圆C的左焦点时，求直线l的方程. (2)证明：直线MA，MB与x轴总围成等腰三角形.,【解析】(1)根据 可设椭圆方程为 将M(2，1)代入可得b2=2, 所以椭圆C的方程为 因此左焦点为( 0)，斜率kl=kOM= 所以直线l的方程为 即,(2)由题意知MA，MB的斜率存在且不为0， 设直线MA，MB的斜率分别为k1,k2, A(x1,y1),B(x2,y2),直线l:y= 则,(*),由 得x2+2mx+2m2-4=0, 所以，x1+x2=-2m，x1x2=2m2-4， 代入(*)式，得 所以直线MA，MB与x轴总围成等腰三角形.,1.椭圆 (ab0)的左顶点为A