量子力学第3章.ppt

第三章 形式理论,由于微观粒子具有波粒二象性,微观粒子状态的描述方式和经典粒子不同,它需要用波函数来描写,波函数满足薛定谔方程。我们已经对量子力学的初步轮廓有了一定的了解。但是还有一些问题没有解决。比如，对一个状态如果测量坐标以外的力学量，我们可能得到什么值？几率是多少？对代表力学量的算符有什么要求？它们有什么性质？本章讨论如何引入算符来表示力学量,及量子力学中的一般规律所取的形式.,算符是指作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号, u = v 表示 把函数 u 变成 v， 就是这种变 换的算符。,1）du / dx = v ， d / dx 就是算符，其作用 是对函数 u 微商， 故称为微商算符。,2）x u = v， x 也是算符。 它对 u 作用 是使 u 变成 v。,由于算符只是一种运算符号，所以它单独存在是没有意义的，仅当它作用于波函数上，对波函数做相应的运算才有意义，例如：,（一）算符定义,1 算符,（7）逆算符 （8）算符函数 （9）复共轭算符 （10）转置算符 （11）厄密共轭算符 （12）厄密算符,（1）线性算符 （2）算符相等 （3）算符之和 （4）算符之积 （5）对易关系 （6）对易括号,（二）算符的一般特性,（1）线性算符,(c11+c22)= c11+c22 其中c1, c2是任意复常数， 1, 1是任意两个波函数。,满足如下运算规律的 算符 称为线性算符,（2）算符相等,若两个算符 、对体系的任何波函数 的运算结果都相 同，即= ，则算符 和算符 相等记为 = 。,例如：,开方算符、取复共轭就不是线性算符。 注意：描写可观测量的力学量算符都是线性算符，这是态叠加原理的反映。,（3）算符之和,若两个算符 、 对体系的任何波函数 有： ( + ) = + = 则 + = 称为算符之和。,显然，算符求和满足交换率和结合率。,例如：体系Hamilton 算符,注意，算符运算没有相减，因为减可用加来代替。 - = + （-）。 很易证明线性算符之和仍为线性算符。,（4）算符之积,若 ( ) = () = 则 = 其中是任意波函数。,一般来说算符之积不满足 交换律，即 这是算符与通常数运算 规则的唯一不同之处。,（5）对易关系,若 ，则称 与 不对易。,显然二者结果不相等，所以:,对易关系,量子力学中最基本的 对易关系。,若算符满足 = - ， 则称 和 反对易。,写成通式:,但是坐标算符与其非共轭动量 对易，各动量之间相互对易。,注意： 当 与 对易， 与 对易，不能推知 与 对易与否。例如：,（6）对易括号,为了表述简洁，运算便利和研究量子 力学与经典力学的关系，人们定义了 对易括号： , - ,这样一来， 坐标和动量的对易关系 可改写成如下形式：,不难证明对易括号满足如下对易关系： 1) , = - , 2) ,+ = , + , 3) , = ,+ , 4) , + , + , , = 0 上面的第四式称为 Jacobi 恒等式。,（7）逆算符,1. 定义: 设= , 能够唯一的解出 , 则可定义 算符 之逆 -1 为: -1 = ,并不是所有算符都存 在逆算符,例如投影 算符就不存在逆.,2.性质 I: 若算符 之逆 -1 存在,则 -1 = -1 = I , , -1 = 0 证: = -1 = -1 ( ) = -1 因为是任意函数,所以-1 = I成立. 同理, -1 = I 亦成立.,3.性质 II: 若 , 均存在逆算符, 则 ( )-1 = -1 -1,例如:,设给定一函数 F(x), 其各阶导数均存在, 其幂级数展开收敛,则可定义算符 的函数 F()为:,（9）复共轭算符,算符的复共轭算符 *就是把表达式中 的所有量换成复共轭.,例如: 坐标表象中,（8）算符函数,利用波函数标准条件: 当|x| 时, 0。,由于、是 任意波函数, 所以,同理可证:,（10）转置算符,(11)厄密共轭算符,由此可得：:,转置算符 的定义,厄密共轭 算符亦可 写成：,算符 之厄密共轭算符 + 定义:,可以证明: ( )+ = + + ( .)+ = . + + +,(12) 厄密算符,1. 定义: 满足下列关系 的算符称为 厄密算符.,2. 性质,性质 I: 两个厄密算符之和仍是厄密算符。 即 若 + = , + = 则 (+)+ = + + + = (+),性质 II: 两个厄密算符之积一般不是厄密 算符, 除非二算符对易。 因为 ( )+ = + + = 仅当 , = 0 成立时, ( )+ = 才成立。,算符的本征方程：如果一个算符作用在一个函数上得到的结果是一个常数乘以这个函数，即,3.2 厄密算符,这个方程称为算符的本征方程，常数称为本征值，称为本征函数。一个算符可以有多个本征函数和本征值（包括无限多个）。如果本征值是分立的，称为分离谱，如果本征值是连续的，称为连续谱。（注意，0不能作为本征函数，但是可以是本征值。）,例：自由粒子的哈密顿算符的本征值是连续谱。 例：一维谐振子的哈密顿是分离谱，有无限多个本征函数,定理I：体系任何状态下，其厄密算符的平均值必为实数。,证：,逆定理：在任何状态下，平均值均为 实数的算符必为厄密算符。,根据假定在任意态下有：,证：,取=1+c2 ，其中 1 、2 也是任意态的波函数，c 是任意常数。,因为对任 意波函数,左式=右式,令c = 1，得：,令c = i，得：,二式相加得：,二式相减得：,所得二式正是厄密算符的定义式， 故逆定理成立。实验上的可观测 量当然要求在任何状态下平均值 都是实数，因此相应的算符必须 是厄密算符。,所以左右两边头两项相等相消，于是有：,定理II：厄密算符的本征值必为实。,当体系处于 F 的本征态n 时， 由本征方程可以看出，在n（设已归一）态下,证,根据定理 I,（1）正交性,定理III： 厄密算符属于不同本征值的本征函数彼此正交.,证：,设,取复共轭，并注意到 Fm 为实。,两边右乘 n 后积分,二式相减 得：,若FmFn，则必有：,证毕,（2）分立谱、连续谱正交归一表示式,1. 分立谱正 交归一条 件分别为：,2. 连续谱正 交归一条 件表示为：,(3) 正交归一函数系,满足上式的函数系 n 或 称为正交归一函数系。,厄密算符的本征函数的正交性,（4）简并情况,上面证明厄密算符本征函数的正交性时，曾假设 这些本征函数属于不同本征值，即非简并情况。,如果 F 的本征值Fn是f重简并的，则对应Fn有f个本征函数：n1 ,n2 , ., nf,满足本征方程：,一般说来，这些函数 并不一定正交。,证明分如下两步进行:,1. nj 是本征值 Fn 的本征函数。,2. 满足正交归一条件的 f 个新函数n j可以组成。,1. nj是本征值Fn的本征函数。,2. 满足正交归一条件的f个新函数nj可以组成。,方程的归一化条件有 f 个，正交条 件有f(f-1)/2 个，所以共有独立方 程数为二者之和等于 f(f+1)/2 。,为此只需证明线性 叠加系数 Aji 的个 数 f 2 大于或等于 正交归一条件方程 个数即可。,算符 F 本征值 Fn简并的本质是： 当 Fn 确定后还不能唯一的确定状态，要想唯一的确定状态还得寻找另外一个或几个力学量算符，F 算符与这些算符两两对易，其本征值与 Fn 一起共同确定状态。,综合上述讨论可得如下结论： 既然厄密算符本征函数总可以取为正交归一化 的，所以以后凡是提到厄密算符的本征函数时， 都是正交归一化的，即组成正交归一函数系。,因为 f2 - f(f+1)/2 = f(f-1)/2 0，,所以，方程个数少于待定系数 Aji 的个数，因而，我们有多种可能来确定这 f 2 个系数使上式成立。f 个新函数nj 的确是算符 F 对应于本征值 Fn 的正交归一化的本征函数。,量子力学基本假设III：力学量（可观测量）用厄米算符表示。如果在经典力学中有相应的力学量，则在量子力学中表示这个力学量的算符，由经典表示式中将动量p换为算符,表示力学量的算符由组成完全系的本征函数。,讨论： 力学量的可测量值和平均值都是实数，所以必须用厄米算符表示。 经典力学中没有的一些力学量，比如后面要将的自旋，也必须用厄米算符表示。 将 动量换为 是在波函数表示为坐标函数的情况下（坐标表象） 本征函数的完全性和完备性是指任意一个波函数，都可以用一个力学量算符完备的本征函数系表示为：,分立谱,连续谱,一个力学量算符的本征函数系的完备性证明比较困难，一般都作为公理使用。 实践表明量子力学中力学量算符的本征函数系都是完备的。,（1）坐标算符的正交归一本征函数系,3.3 常用力学量算符的本征函数系,是本征值,由于算符,（在x表象中）所以这个本征方程的解是,这是连续谱的本征函数系，正交归一条件为,即当两个本征函数不一样时,积分为零，一样时,积分为无限大,（坐标的本征函数是不可归一化的，因此不是物理上可实现的态）,一个任意波函数可以用坐标的本征函数展开为,即展开系数就是波函数本身。,推广到三维情况，本征函数为,2. 动量算符的本征函数系,是本征值,这个本征方程的解为,是连续谱的正交归一本征函数系。正交归一条件为,（动量的本征函数是不可归一化的，因此也不是物理上可实现的态）,一个任意波函数可以用动量的本征函数展开为,展开系数可以由傅里叶变换（傅里叶技巧）得到。用,乘以上式两边并积分,由于动量本征值是连续变化的，所以通常以函数形式表示为,上述一维情况很容易推广到三维情况,本征方程,是本征值,本征函数,正交归一性,波函数的展开,傅里叶技巧求得展开系数,动量本征函数的箱归一化,在箱子边界的对应点A, A上加上其波函数相等的条件，此边界条件称为周期性边界条件。,据上所述，具有连续谱的本征函数如:动量的本征函数是不能归一化为一的，而只能归一化为-函数。,但是，如果我们加上适当的边界条件，则可以用以前的归一化方法来归一，这种方法称为箱归一化。,周期性边界条件:,这表明，px 只能取分立值。 换言之， 加上周期性边界条件后， 连续谱变成了分立谱。,这时归一化系数 c 可由归一化条件来确定：,（二）角动量算符,（1）角动量算符的形式,根据量子力学基本假定III， 量子力学角动量算符为:,(I) 直角坐标系,角动量平方算符,经典力学中，若动量为 p，相对点O 的 位置矢量为 r 的粒子绕 O 点的角动量是：,由于角动量平方算符中含有关于 x，y，z 偏导数的交叉项,所以直角坐标下角动量平方算符的本征方程不能分离变量,难于求解,为此我们采用球坐标较为方便.,直角坐标与球坐标之间的变换关系,(II) 球坐标,将（1）式两边分别对 x y z 求偏导数得：,将（2）式两边分别对 x y z 求偏导数得：,对于任意函数f(r,) （其中r,都是 x,y,z 的函数）则有：,将（3）式两边分别对 x y z 求偏导数得：,将上面结果代 回原式得：,则角动量算符 在球坐标中的 表达式为：,（2）本征方程,(I) Lz的本征方程,求 归 一 化 系 数,正交性：,I。波函数有限条件，要求 z 为实数； II。波函数单值条件，要求 当 转过 2角 回到原位时波函数 值相等，即：,正交归一化性：,最后得 Lz 的本征函数 和本征值：,讨论：,厄密性要求第一项为零,所 以,则,这正是周期性边界条件,(II) L2的本征值问题,L2 的本征值方程可写为：,为使 Y(,) 在 变化的整个区域(0, )内都是有限的， 则必须满足： = （ + 1), 其中 = 0, 1, 2, .,该方程的解就是球函数 Yl m(,)，其表达式：,归一化系数，由归一化条件确定,注意: Y l m(,)也是Lz的本征函数.,其正交归一 条件为：,具体计算请参考有关数学物理方法的书籍，在这里就不作详细介绍了。,(III) 本征值的简并度,由于量子数 表征了角动量的大小， 所以称为角量子数；m 称为磁量子数。,可知，对应一个 值，m 取值为 0, 1, 2, 3, ., 共 (2 +1)个值。因此当 确定后，尚有(2 +1)个磁量子状态不确定。 换言之，对应一个值有(2 +1)个量子状态，简并度是 (2 +1)。,本征值是,称为角量子数,本征值是,m称为磁量子数,对应某一个,可以 取,的本征值是,度简并的,前面几个球谐函数,力学量的本征函数是否为物理上可实现的状态？,判定一个函数是否为物理上可实现的态的标准是：满足波函数的标准条件，即有限性（波函数的模方积分为有限值，可归一化为1，这样才存在几率解释），单值性、连续性（保证空间某处的几率是唯一确定的）。,无限深势阱哈密顿算符、一维谐振子哈密顿算符的本征函数系是物理上可实现的态 角动量平方算符、角动量分量算符的本征函数系是物理上可实现的态。箱归一化的 动量算符的本征函数系是物理上可实现的态。结论：如果力学量的本征函数系为分 离谱，则本征函数为物理上可实现的态。,坐标算符、动量算符的本征函数系为连续谱，不是物理上可以实现的态。结论： 如果力学量的本征函数系为连续谱，则本征函数不是物理上可实现的态。但是连 续谱本征函数的叠加却可以是物理态，因为它们可以叠加处归一化的波函数。,3.4 广义统计诠释,由波恩的统计诠释，当给定波函数时，我们知道如何求微观粒子在某一特定位置出现的几率。现在我们来考虑任何力学量的测量结果。设力学量Q的正交归一完备本征函数系为,则任意波函数可表示为,（分离谱）或,（连续谱）,量子力学基本假设III（统计假设）：如果对,测量力学量Q，那么结果一定是,力学量Q的一个本征值。如果Q的谱是分离谱qn，则得到qn的几率为,如果Q的谱是连续谱,则测量得到值位于,的几率为,测量以后，波函数发生坍缩，对分离谱，如果测量得到qn，波函数坍缩至,对连续谱，波函数坍缩至测量处的一个尖峰。,具有几率的概念，它是处于,态的粒子在测量力学量Q之后处于,态的几率,既然,具有几率的意义，我们必须有,分离谱,连续谱,证明：,连续谱情况请 自行证明,例题：在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为 ，如果粒子的状态由波函数 描写，A为归一化常数，求测量粒子能量的几率分布和能量的平均值。,解：粒子能量的本征函数和本征值为,先把,归一化，由归一化条件，,其中利用了级数求和公式（这些公式可由函数的傅里叶级数展开式得到，可在数学手册上查到）本题利用的是,或者,取x=0,例题：对谐振子的基态，求出其动量空间的波函数。测量该状态的动量，发现其结果处于经典范围（具有相同能量）之外的几率是多大（精确到两位数）？,解：谐振子基态在坐标空间中的波函数,则动量空间的波函数为,几率密度为,经典范围为,所以发现粒子动量在经典动量以外的几率为,令,查正态分布表,所以,3.5 两力学量同时有确定值的条件 不确定原理,力学量算符的对易关系：当一个算符作用在一个函数上，得到另外一个函数，如果对这个函数再作用另外一个算符，我们的问题是算符的作用次序的改变会有什么影响？即,考虑坐标和动量算符,设,为一任意函数,即,由于,是任意的，上式可以表示为,这个式子称为坐标与动量的对易关系。等式右边不为零，称,与,是不对易的,两个算符的作用次序只有当两个算符对易时才能自由交换。当两个算符不对易时，要交 换它们的作用次序，必须考虑到它们的对易关系。,基本对易关系,动量分量和它对应的坐标是不对易的，而和它不对应的坐标是对易的。坐标分量之间是对应的，动量分量之间是对易的。经典力学量都是坐标和动量的函数，所以其它经典力学量的对易关系都可以由坐标和动量的对易关系导出。,例：角动量算符的对易关系,证：,可合记作,定理：若两个力学量算符有一组共同完备的本征函数系，则二算符对易。,证：,由于 n 组成完备系，所以任意态函数 (x) 可以按其展开：,则,因为 (x) 是任意函数,逆定理：如果两个力学量算符对易，则此二算符有共同的本征函数系。,证：,考察：,n 也是 G 的本征函数，同理 F 的所有本征函数 n （ n = 1，2， )也都是 G 的本征函数,因此二算符具有共同完备的本征函数系.,仅考虑非简并情况,即：,与 n 只差一常数 Gn,定理：一组力学量算符具有共同本征函数系的充要条件是这组算符两两对易。,例 1：,例 2：,例 3：,例 4：,（三）力学量完全集合,（1）定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的力学量算符的最小（数目）集合称为力学量完全集。,例 1：,三维空间中自由粒子，完全确定其状态需要三个两两对易的力学量：,例 2：,一维谐振子，只需要一个力学量就可完全确定其状态：,（2）力学量完全集中力学量的数目一般与体系自由度数相同。,（3）由力学量完全集所确定的本征函数系，构成该体系态空间的 一组完备的本征函数，即体系的任何状态均可用它展开。,不确定原理,等号仅对F的本征态成立。当两个算符F、G对易时，它们可以有共同的本征函数，所以 和 可以同时为零，所以我们有,标准差乘积的下限为零表示，两者可以同时有确定值。我们的问题是：当F、G不对易时两者不可能同时有确定值，标准差乘积的下限是什么？,不确定原理的推导,证：,可证若F为厄米算符，则算符,仍为厄米算符,一个算符的标准方差定义为，它反映测量值与平均值的弥散程度,设二厄密算符对易关系为：,是算符或普通数,最后有：,对任意实数 均成立,由代数二次式理论可知，该不等式成立的条件是系数必须满足下列关系：,两个不对易算符均方偏差关系式,不确定原理,标准方差,其中：,事实上，对每一对其算符不对易的可观测量的都存在一个“不确定原理”我们称它们为不相容可观测量。不相容可观测量没有完备的共同本征函数系。注意，不确定原理并不是量子力学中一个额外的假设，而是统计诠释的结果。你或许感到奇怪，它在实验室是怎么起作用的呢为什么就不能同时确定(比方说)一个粒子的坐标和动量呢？你当然可以测量一个粒子的位置，但是测量本身使波函数坍塌为一个尖峰，这样波的傅立叶展开中波长(动量)分布范围很宽。如果你此时再去测量动量，这个态就会坍塌为一个长正弦波，（现在）具有确定的波长但是此刻的粒子已经不再处于第一次测量时你得到的位置。这样问题是，第二次测量使得第一次测量的结果无效了。只有波函数同时是两个力学量的本征态时，才有可能在不破坏粒子的状态的情况下进行第二次测量（这种情况下第二次坍塌不改变任何事情）。但是，一般来说，这只是在两个可观测量相互对易的情况下才有可能。,例：坐标和动量的不确定关系,即,坐标与动量的均方偏差不能同时为零，其一越小，另一就越大。,例：利用不确定关系求线性谐振子的零点能,振子能量,被积函数是x 的奇函数,于是：,设谐振子处于定态,二均方偏差不能同时为零，故 E 最小值也不能是零。,为求 E 的最小值，取式中等号。,则：,求极值：,解得：,因均方偏差不能小于零，故取正,零点能就是测不准关系所要求的最小能量,例：角动量的测不准关系,例：利用测不准关系证明，在 Lz 本征态 Ylm 下， Lx= Ly= 0,证：,由于在 Lz 本征态 Ylm 中，测量力学量 Lz 有确定值，所以Lz 均方偏差必为零，即,则测不准关系：,平均值的平方为非负数,欲保证不等式成立，必有：,同理：,例2：L2，LZ 共同本征态 Ylm 下，求测不准关系：,解：,由例1 可知：,由对易关系：,等式两边右乘 Lx,将上式两边在 Ylm 态下求平均：,将上式两边在 Ylm 态下求平均：,则测不准关系：,3.5.2力学量平均值随时间的变化 守恒定律,力学量的平均值为,对时间的微商为,可以证明,上式可以写作,如果,既不显含时间,又与,对易,那么有,既,的平均值不随时间改变. 这样的力学量称为运动恒量,或者称它在,在运动中守恒.,例:,(1) 自由粒子的动量,与,对易, 并且,不显含时间,所以自由粒子的动量是运动恒量.这就是量子力学中的动量守恒,(2)粒子在辏力场中运动的角动量,与,并且不显含时间,所以粒子在辏力场中运动时,是运动恒量.这就是量子力学中的角动量守恒,(3)哈密顿不显含时间的体系的能量,若,它当然也与自已对易,所以这样体系的能量是运动恒量,注意一个力学量是运动恒量与力学量有确