量子力学习题课-田浩.ppt

量子力学,一.实物粒子的波粒二象性,3、实物粒子的波粒二象性,颗粒性，叠加性,习题：计算德布罗意波长，不确定关系的简单应用. 注意：单位换算，相对论非相对论，不确定量的使用,例题1、分别就非相对论和相对论的场合，求质量为m，电 荷为e的粒子在动能为Ek时的德布罗意波长.,例题2、为了调查10-15m程度的原子核结构，伽玛射线和电子 射线的能量分别多大？,例题3、若一个电子处于原子某能态的时间为10-8s.试问这个 原子能态的能量最小不确定量是多少？如果这个原子 从上述能态跃迁到基态辐射的能量为3.39eV，计算所 辐射的光子波长并讨论这波长的最小不确定量。,附题1、证明：一个质量m的粒子，在边长为a的正立方盒子内 运动时，它的最小可能能量（零点能）为,非相对论：,相对论：,伽玛射线：,电子射线：,能量最小不确定量：,光子波长：,波长的最小不确定量,二.波函数与薛定谔方程,1. 量子力学的基本原理之一波函数,波函数 波恩的统计解释 波函数的标准条件及态叠加原理,2. 量子力学的基本原理之二薛定谔方程,薛定谔方程 定态薛定谔方程,3. 一维定态问题,一维无限深方势阱 线性谐振子 方势垒,习题：讨论题，比较简单的计算题. 注意：波函数计算时的注意事项,例题4、有一粒子沿x方向运动，其波函数为 （1）将此波函数归一化. （2）求出粒子按坐标的概率分布函数. （3）在何处找到粒子的概率最大？,解：,（1）由归一化条件,于是,即 .,（2）概率分布函数为：,（3）找到粒子的概率最大，即,于是 x=0,例题5、当势能U(r)改变一个常量c时，即U(r) U(r)+c,粒 子的波函数与时间无关的部分改变否?能量本征值 改变否?,解：由薛定谔方程,当势能函数,将U(r)+c代入方程中,故波函数与时间无关的部分不改变,能量本征值 改变.,例题6、设粒子在一维无限深方势阱中运动,能量的量子数 为n,试求: （1）距势阱内壁四分之一宽度以内发现粒子的概率. （2）n为何值时，在上述区域内找到粒子的概率最大. （3）当n时该概率的极值, 说明结果的物理意义.,解：无限深方势阱为,其归一化波函数为,概率密度,（1）在距内壁四分之一宽度内发现粒子的概率为,，其中,（2）n=3时上述区域找到粒子的概率最大,其值为:,（3）,与经典结果相同，在势阱内粒子在各处出现的概率相等,量子力学过渡到经典力学.,所以,例题7、设粒子处在0,a范围内的一维无限深方势阱中, 波函数为 ，试求粒子能 量的可能 测量值及相应的概率.,解：在一维无限深方势阱中能量本征值,相应的能量本征函数为,题中所给波函数为本征函数的线性组合， 做变换如下:,例题8、求线性谐振子在第一激发态时，概率最大的位置.,解： 第一激发态波函数为,令,三.力学量与算符,1. 量子力学的基本原理之三力学量算符,在量子力学中，力学量用一个算符 表示，通过 的本征方程 可求得本征函数 和本征值 。当体系处在态 时，力学量有确定值，即 。,2. 量子力学的基本原理之四全同粒子体系,微观全同粒子体系的状态不因其粒子相互交换位置而改变。这一规律称为微观粒子的全同性原理。换句话说，系统内任意两个全同粒子互相交换，都不改变系统的状态。,例题9、设一维运动的粒子处在,的状态,其中0,试求: (1) 归一化因子，(2) 粒子坐标的概率分布，(3)在何处找到粒子的概率最大，(4)x和x2的平均值,解：（1）求归一化因子,注:式中运用定积分：a0，n为整数时,（2）粒子坐标的概率分布函数(即几率密度函数),（3）若求粒子概率最大处,令,找到粒子的概率最大.,（4）求 x和 x2 的平均值,例题10、粒子在一維无限深势阱中运动,其波函数为,，计算动量和动能的平均值,解：动量算符,动量的平均值为,动能算符,四.原子中的电子,1. 氢原子,氢原子的薛定谔方程,2. 原子的电子壳层结构,泡利不相容原理，能量最小原理 (n+0.7l ) 元素周期表,例题11、下列各量子数中，哪一组可以描述原子中电 子的状态？,(A).n=2, l=2, ml=0, ms=1/2,(B). n=3, l=1, ml=1, ms=1/2,(C). n=1, l=2, ml=1, ms=1/2,(D). n=1, l=0, ml=1, ms=1/2,例题12、 根据量子论，氢原子核外电子的状态可由四个 量子数来确定，其中主量子数n可取的值为 （ ），它可决定什么？,例