用二重积分计算旋转体的体积.ppt

6.2 定积分的几何应用 1,用二重积分计算旋转体的体积,蜀南竹海,6.2 定积分的几何应用 2,作为定积分的几何应用，旋转体的体积一般是用定积分来计算。 本课件用元素法来推导旋转体体积的二重积分的计算公式。 将二重积分化为二次积分可以得到计算旋转体体积的定积分公式、 最后，举例加以说明。,6.2 定积分的几何应用 3,先看特殊的情形,旋转轴为坐标轴,6.2 定积分的几何应用 4,设D是上半平面内的一个有界闭区域。 将D绕x轴旋转一周得一旋转体，求该旋转体的体积Vx。,我们用元素法来建立旋转体体积的二重积分公式。,D,6.2 定积分的几何应用 5,D,在区域D的(x,y)处取一个面积元素,它到x轴的距离是 y （如图）。,该面积元素绕x轴旋转而成的旋转体的体积约为：,（体积元素）,于是整个区域绕x轴旋转而成的旋转体的体积为：,6.2 定积分的几何应用 6,D,命题1：上半平面内一个有界闭区域D绕x轴旋转而成的旋转体的体积为：,6.2 定积分的几何应用 7,D,命题2：右半平面内一个有界闭区域D绕y轴旋转而成的旋转体的体积为：,同理,6.2 定积分的几何应用 8,下面针对不同的区域 将二重积分化为定积分 得到熟悉的旋转体体积公式,6.2 定积分的几何应用 9,x型区域绕 x轴旋转,6.2 定积分的几何应用 10,y=f(x),如果,圆片法,则D绕 x轴旋转的旋转体体积为：,6.2 定积分的几何应用 11,y=f(x),y=g(x),如果,则D绕 x轴旋转的旋转体体积为,垫圈法,6.2 定积分的几何应用 12,y型区域绕 y轴旋转,6.2 定积分的几何应用 13,x=f(y),如果,则D绕 y轴旋转的旋转体体积为：,圆片法,6.2 定积分的几何应用 14,x=f(y),x=g(y),如果,则D绕 y轴旋转的旋转体体积为：,垫圈法,6.2 定积分的几何应用 15,x型区域绕 y轴旋转！,注意：一般教材没有介绍这个公式。,6.2 定积分的几何应用 16,y=f(x),y=g(x),如果,则D绕 y轴旋转的旋转体体积为：,柱壳法,6.2 定积分的几何应用 17,下面看一个极坐标的情形,6.2 定积分的几何应用 18,如果D是曲边扇形：,则D绕极轴(x轴)旋转的旋转体体积为：,6.2 定积分的几何应用 19,我们用命题1来推导一个有关区域D的形心 (质心)和旋转体体积之间的关系的定理： 古尔丁定理,Paul Guldin（古尔丁） 1577 1643 Swiss mathematician who wrote on volumes and centres of gravity.,6.2 定积分的几何应用 20,D,上半平面内一个有界闭区域D绕x轴旋转而成的旋转体的体积等于该区域的形心所经过的路程与D的面积A的乘积。,古尔丁定理,形心,A,6.2 定积分的几何应用 21,D,形心,A,如果你很容易求得D的面积和形心，用古尔丁定理就很容求得旋转体的体积。,6.2 定积分的几何应用 22,下面来看一般的情形,一般的区域 & 一般的旋转轴,6.2 定积分的几何应用 23,设D是xOy坐标平面内的一个有界闭区域。直线L与D的内点不相交（如图） 。 将D绕直线L旋转一周得一旋转体，求该旋转体的体积V。,我们用元素法来建立旋转体体积的二重积分公式。,D,L,6.2 定积分的几何应用 24,D,在区域D的(x,y)处取一个面积元素,它到直线L的距离是 ：,该面积元素绕L旋转而成的旋转体的体积约为：,于是整个区域D绕直线L旋转而成的旋转体的体积为：,设直线L的方程为 ax+by+c=0。,L,6.2 定积分的几何应用 25,D,命题 3 区域D绕直线 ax+by+c=0（D在直线的一侧）旋转而成的旋转体的体积为：,L,6.2 定积分的几何应用 26,下面举几个例子来说明 命题 3 中的公式的应用,所有计算都用数学软件Maple验证了,6.2 定积分的几何应用 27,例1 求由y=2x和y=x2所围区域D绕直线 y=2x旋转的旋转体体积V。,f:=(x,y)-2*x-y; x1:=0:x2:=2:y1:=x-x2:y2:=x-2*x: int(f(x,y),y=y1y2); int(int(f(x,y),y=y1(x)y2(x),x=x1x2); (2*Pi/sqrt(5)*Int(Int(f(x,y),y=y1(x)y2(x),x=x1x2)=(2*Pi/sqrt(5)*int(int(f(x,y),y=y1(x)y2(x),x=x1x2);,with(plots): quxian:=plot(x2,2*x,x=-13,y=-15,thickness=4): display(quxian,tickmarks=0,0,scaling=constrained);,6.2 定积分的几何应用 28,例2 求由x=y2和y=x2所围区域D绕直线 y=x-1旋转的旋转体体积V。,f:=(x,y)-y-x+1; x1:=0:x2:=1:y1:=x-x2:y2:=x-sqrt(x): int(f(x,y),y=y1y2); int(int(f(x,y),y=y1(x)y2(x),x=x1x2); sqrt(2)*Pi*Int(Int(f(x,y),y=y1(x)y2(x),x=x1x2)=sqrt(2)*Pi*int(int(f(x,y),y=y1(x)y2(x),x=x1x2);,with(plots): quxian:=implicitplot(y=x2,x=y2,y=x-1,x=-13,y=-12,thickness=4): display(quxian,tickmarks=0,0,scaling=constrained);,6.2 定积分的几何应用 29,例3 求由y=0,y=lnx和x=e所围区域D绕直线 y=-x旋转的旋转体体积V。,f:=(x,y)-y-x+1; x1:=0:x2:=1:y1:=x-x2:y2:=x-sqrt(x): int(f(x,y),y=y1y2); int(int(f(x,y),y=y1(x)y2(x),x=x1x2); sqrt(2)*Pi*Int(Int(f(x,y),y=y1(x)y2(x),x=x1x2)=sqrt(2)*Pi*int(int(f(x,y),y=y1(x)y2(x),x=x1x2);,with(plots): quxian:=implicitplot(y=x2,x=y2,y=x-1,x=-13,y=-12,thickness=4): display(quxian,tickmarks=0,0,scaling=constrained);,6.2 定积分的几何应用 30,也可以按先x后y的积分次序计算二重积分：,f:=(x,y)-x+y; y1:=0:y2:=1:x1:=y-exp(y):x2:=y-exp(1): sqrt(2)*Pi*Int(I