湖南省衡阳市第一中学2018_2019学年高二数学下学期第一次月考试题文（含解析）.docx

衡阳市第一中学2020届高二下学期第一次月考数学（文科）试题一选择题：本题共12小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出集合，然后再求集合，的交集即可【详解】由中不等式可得：，即，则，故选.【点睛】本题主要考查了集合交集的基本运算，属于基础题。2.已知为虚数单位，复数满足，则复数的虚部为（ ）A. -B. -1C. 1D. 【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算求的表达式，由此求得复数的虚部.【详解】依题意，故虚部为，所以选B.【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数的虚部的概念，属于基础题. 求解与复数概念相关问题的技巧：复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即的形式，再根据题意求解.3.若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先由诱导公式得，然后再运用二倍角求出结果【详解】，.故选.【点睛】本题主要考查了三角函数诱导公式和二倍角公式的运用，熟练运用公式用已知角表示未知角是关键，这样就可以求解结果4.下列说法正确的是A. 若命题p，都是真命题，则命题“”为真命题B. 命题“若，则或”的否命题为“若则或”C. “”是“”的必要不充分条件D. 命题“，”的否定是“，”【答案】D【解析】【分析】根据含有且、或、非等逻辑连接词真假性，判断A选项是否正确；根据否命题的概念判断B选项是否正确；根据必要不充分条件的含义判断C选项是否正确；根据全称命题的否定是特称命题判断D选项是否正确.【详解】由于为真命题，故为假命题，所以为假命题，故A选项错误.原命题的否命题是“若则且”，故B选项错误.当时，为充分条件，故C选项判断错误.根据全称命题的否定是特称命题的知识可以判断D选项正确，故选D.【点睛】本小题主要考查常用逻辑用语，考查四种命题，考查充要条件，考查全称命题与特称命题，属于基础题.5.下图是计算的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】模拟程序的运行，运算4次后跳出计算，计算出的值，从而得到判断框中的条件【详解】根据流程图得到，执行过程如下：，；，；，；，.此时输出的是要求的数值，需要输出，之前的不能输出，故得到应该在判断框中填写.故选【点睛】本题主要考查了程序框图，正确求解各次循环得到的的值并判断是否满足判断框中的条件是解题的关键，属于基础题。6.等差数列 前项和为 ,且,则数列的公差为()A. 3B. 2C. 1D. 4【答案】A【解析】【分析】将已知条件转化为的形式，化简求得公差的值.【详解】依题意得，故选A.【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等差数列的基本量、通项公式和前项和.基本元的思想是在等差数列中有个基本量，利用等差数列的通项公式或前项和公式，结合已知条件列出方程组，通过解方程组即可求得数列，进而求得数列其它的一些量的值.7.在区间上随机取两个实数,使得 的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】画出可行域，利用几何概型概率计算公式求得概率.【详解】画出图像如下图所示，整个区域是正方形区域，符合 的是阴影部分区域.故所求的概率为.故选D.【点睛】本小题主要考查几何概型的计算，考查线性规划的知识，考查二元一次不等式表示的区域判断，属于基础题.8.等差数列和等比数列的首项均为1，公差与公比均为3，则+=( )A. 64B. 32C. 33D. 38【答案】C【解析】【分析】先求得的值，然后求得+的值.【详解】依题意，故，故选C.【点睛】本小题主要考查等差数列通项的基本量计算，考查等比数列通项的基本量计算，属于基础题.9.已知点，动圆 与直线 相切于点 ，分别过点 且与圆 相切的两条直线相交于点 ，则点的轨迹方程为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】画出图像，计算的值为常数，根据双曲线的定义，可求得点的轨迹方程.【详解】如图所示，设两切线分别与圆相切于点 ，则所以所求曲线为双曲线的右支且不能与轴相交，所以 ，故点 的轨迹方程为 【点睛】本小题主要考查双曲线的定义，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.10.已知平面直角坐标系 上的区域 由不等式组给定若为上动点，点的坐标为则 的最大值为（ ）A. B. C. 4D. 3【答案】C【解析】试题分析：由和点的坐标为得，,所以.根据不等式组和表达式画出可行域及目标直线如下图所示，当直线移动到过点时，取得最大值故本题正确答案为B考点：简单线性规划和向量的数量积.11.已知四面体 中，平面， ，BC=，则四面体的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求得三角形外接圆的半径，然后则球的半径，由此求得球的表面积.【详解】由于平面，故三角形和三角形为直角三角形，所以，所以三角形为等边三角形，在等边三角形中，由正弦定理得，其中为三角形外接圆的半径，则.又由于平面，球心在三角形外接圆圆心的正上方，则球的半径 ，故外接球的表面积为.【点睛】本小题主要考查几何体的外接球半径的求解方法，考查球的表面积公式和正弦定理的应用，属于中档题.12.，且，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】构造函数，利用其导函数判断出单调区间，根据奇偶性和对称性可得正确选项.【详解】构造形式，则，时导函数，单调递增；时导函数，单调递减又 为偶函数，根据单调性和对称性可知选D.故本小题选D.【点睛】本小题主要考查构造函数法，考查利用导数研究函数的单调性以及求解不等式，属于中档题.二填空题：（本题共4小题）.13.已知点向量，则向量的坐标是_【答案】【解析】试题分析：设，因为,则有，则有，故,则.考点：平面向量的运算.14.若，则的最小值是 _【答案】【解析】【分析】先根据得到，再利用基本不等式求得最小值.【详解】由得，故，当且仅当时等号成立.故最小值为.【点睛】本小题主要考查对数运算，考查利用基本不等式求和式的最小值，属于基础题.15.若直线与圆相交于A,B两点，且（O为坐标原点），则=_.【答案】【解析】试题分析：若直线3x-4y+5=0与圆交于A、B两点，O为坐标原点，且AOB=120，则圆心（0，0）到直线3x-4y+5=0的距离，即，解得r=2，考点：直线与圆相交的性质16.已知，若对任意的，总存在，使得，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】原命题等价于，利用基本不等式求得的最小值.对分成三类，利用一次函数的单调性列不等式，解不等式求得的取值范围.【详解】原命题，因为f(x)x2 3431，当且仅当x 时取等号当m0时，函数递增，g(x)min2m1，即0m1，显然成立；当m1，即m0.综上，m.【点睛】本小题主要考查恒成立问题和存在性问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知 的三个内角 的对边分别为 ，且的面积为（1）若，求角 的大小 （2）若 ，且，求边 的取值范围【答案】1）；（2）。【解析】试题分析：由三角形面积公式和已知条件可求出；（1）由余弦定理及可得出，又因为该三角形为直角三角形，所以可得；（2）由角的范围可求出，再用三角知识求得，从而可求出边的取值范围。试题解析：由三角形面积公式及已知得化简得. 3分（1）由余弦定理得,4分,知6分（2）由正弦定理得.7分由,得.10分又由知故13分考点：正弦定理、余弦定理、三角函数性质。18. 从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：质量指标值分组75，85)85，95)95，105)105，115)115，125)频数62638228（I）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：（II）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（III）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？【答案】（1）（2）质量指标值的样本平均数为100，质量指标值的样本方差为104（3）不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.【解析】试题分析：（1）根据频率分布表与频率分布直方图的关系，先根据：频率=频数总数计算出各组的频率，再根据：高度=频率组距计算出各组的高度，即可以组距为横坐标高度为纵坐标作出频率分布直方图;（2）根据题意欲计算样本方差先要计算出样本平均数，由平均数计算公式可得：质量指标值的样本平均数为，进而由方差公式可得：质量指标值的样本方差为;（3）根据题意可知质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为，由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.试题解析：（1）（2）质量指标值的样本平均数为.质量指标值的样本方差为.所以这种产品质量指标值（3）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为，由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.考点：1.频率分布表;2.频率分布直方图;3.平均数与方差的计算19.如图，在四棱锥中，底面是菱形，点在线段上，且为的中点（1）求证：平面；（2）若平面平面，求三棱锥的体积【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）由为的中点可得，在底面菱形中结合已知条件证得，然后由线面垂直的判断得到平面；（2）由可得，根据平面平面结合面面垂直的性质得到，然后根据，即可求解试题解析：（1）为的中点，又底面是菱形，为等边三角形，又平面，（2）又平面平面，平面平面，平面平面，又20.如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴相交于两点（点在点的下方），且(1)求圆的方程；(2)过点任作一条直线与椭圆相交于两点，连接，求证：【答案】（）（）详见解析【解析】分析：(1)设圆心坐标为，根据.可由勾股定理求出r，求得圆的方程。(2)讨论当斜率不存在时；当斜率存在时，设出直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理表示出，表示出，即可判定。详解：(1)由题可知圆心的坐标为 圆方程为:(2) 由圆方程可得当斜率不存在时，当斜率存在时，设直线方程为:. 设 综上所述点睛：本题考查了求圆标准方程，直线与椭圆的关系，通过韦达定理解决相交弦问题，也是高考的常考点，属于难点。21.已知函数，且曲线在点M处的切线与直线平行.（1）求函数的单调区间；（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）单调递减区间是，单调递增区间是；（2）.【解析】【分析】（1）根据切线的斜率可求出,得，求导后解不等式即可求出单调区间.（2）原不等式可化为恒成立，令，求导后可得函数的最小值，即可求解.【详解】（1）函数的定义域为，又曲线在点处的切线与直线平行所以，即，由且，得，即的单调递减区间是由得，即的单调递增区间是.（2）由（1）知不等式恒成立可化为恒成立即恒成立令当时，在上单调递减.当时，在上单调递增.所以时，函数有最小值由恒成立得，即实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，利用导数求函数的单调区间，最值，恒成立问题，属于中档题.22.【选修44：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线的参数方程为以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程是（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）已知点若点的极坐标为，直线经过点且与曲线相交于，两点，求，两点间的距离的值【答案】(1)见解析;(2)8.【解析】【分析】（1）参数方程化为普通方程可得直线的普通方程为；极坐标方程化为直角坐标方程可得曲线的直角坐标方程为；（2）由题意可得直线的参数方程为联立直线的参数方程与抛物线的直角坐标方程，结合参数的几何意义可得【详解】（1）由参数方程可得，消去参数可得直线的普通方程为：，即； 即，转化为直角坐标方程可得曲线的直角坐标方程为；（2）的极坐标为，点的直角坐标为 ，直线的倾斜角直线的参数方程为代入，得 设，两点对应的参数为，则，【点睛】本题主要考查参数方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，直线参数方程的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.23.【选修4-5：不等式选讲】已知函数（1）求不等式的解集；（2）关于的不等式的解集不是空集，