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文档简介

一、不定积分的概念,二、不定积分的性质基本积分公式,三、换元积分法,第一节 不定积分,第三章 一元函数积分学,一、不定积分的概念,定义3-1 若在某区间上 ,则称 为 在该区间上的一个原函数,例,（2）若 和 都是 的原函数,则,（ 为任意常数）,（3） 为 原函数的全体,定义3-2 若函数 是 的一个原函数, 则 原函数的全体 称为 的不定积分. 记为 .,由此可知, 求 不定积分只需求出 一个原函数, 再加上任意常数 .,例3-1：求经过点 (1, 3)，且其切线的斜率为 3x2 的曲线方程,解：因为 (x3)=3x2 3x2dx=x3+C 得曲线族 y=x3+C,将 x =1, y=3 代入得 C=2, 故所求曲线为: y =x3+2,不定积分的几何意义,是积分曲线 上、下平移所得到一族积分曲线，称为积分曲线族,在点 处有相同的斜率 ，即这些切线互相平行,二、不定积分的性质和基本积分公式,性质3-3,性质3-4,基本积分公式,(3),(4),例3-2 求,解,例3-3: 求,解:,例3-4（1）求,解,例3-4（2）求,解,(4),例3-4（3）求,解,例 求,解,但是,解决方法 利用复合函数，设置中间变量.,三、换元积分法,因为,第一类换元法(凑微分法),注意 使用此公式的关键在于,定理3-1,则有换元公式,证明,解,例3-5（1）求,例3-5（2）求,解,对换元积分比较熟练以后,不必写出中间变量,例3-6 求,解,例 求,解,例 求,解,例3-7 求,解,同理可得,例3-8 求,解,例3-9： sin2x cos3x dx= sin2x cos2x d(sinx),= sin2x(1-sin2x)dsinx =1/3sin3x-1/5sin5x+C,例3-10： sin2xdx= (1-cos2x)/2dx =x/2-sin2x/4+C,例3-11 sin6xcos2xdx = 1/2(sin8x+sin4x)dx =-1/16cos8x-1/8cos4x+C,解法1,例3-12 求,解法2,解法3,凑微分常见的类型,第一类换元法是通过变量替换 将积分,第二类换元法是通过变量 将积分,2第二类换元法,设 单调、可导，且 ， 则有,例3-13 求,解 令,对被积函数中含有无理根式的积分，通过适当的变换去掉根式后再积分，也称根式代换.,例3-14 求,解 令,若被积函数中含有 时, 可采用三角替换的方法化去根式, 这种方法称为三角代换.,三角代换常有下列规律,解 设,例3-15 求,解 令,例3-16 求,解 令
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