数学建模作业1

班组：1班13组姓名：王文淑（200806410118） 李晶晶（200806410156） 王春玲（200806410143）题目：药物在体内的分布模型摘要：本文针对药物在体内的分布情况，以药物在体内均匀分布，被吸收，分解,排泄为假设基础，利用药物动力学理论，通过对房室的分析，针对单房室系统，建立起药物变化所满足的关系式(微分方程 )，并以三种常见给药方式：快速静脉注射模型，恒速静脉点滴模型，口服和肌肉注射模型做了具体分析。该模型对于药物的使用时间、使用剂量及给药方式具有很强的指导意义，但该模型假设条件太多，建立的模型相对简单，因此提出应用多变量多因素的改进方案。关键词：广义指数分布 单房室系统 均匀分布 常微分方程正文 一、模型假设为了考查药物在机体内的分布情况, 将机体看作一个单房室系统, 药物在其中均匀分布, 被吸收、分解与排泄.根据以上假设给出一室模型的药物转移流程图。 机体二、模型建立通过对房室的分析, 建立药物变化所满足的关系式(微分方程) , 测定它所包含的关键参数, 从而求出药物浓度在机体内的分布变化规律.将机体看作一个单房室系统, 假设机体内药物在任一时刻都是均匀分布的, t 时刻机体内药物总量为 x(t), 系统处于一种平衡中, 也就是有关系式（1）其中 和分别表示药物输入 ( 进入) 和输出机体内的速率.药物的输出 ( 分解与排泄) 速率, 在同一个机体内通常可以认为与药物当前的浓度成正比.则=kx（2）药物的输入规律与给药方式有关.三、模型求解下面研究三种常见的给药方式下机体内药物的变化规律.1 快速静脉注射快速静脉注射时, 假设总量为 D 的药物在瞬间注入机体内, 记机体的总体积为V.可以将系统近似地看作初始总量D, 浓度为D/V , 只输出, 不输入的房室, 则可以列出微分方程: （3）这是简单的微分方程, 其解为 （4）机体内药物的浓度为 （5）在医学上, c(t)叫做血浆药物浓度.2 恒速静脉点滴在恒速静脉点滴时, 药物以恒速进入机体内,也就是=（6）由房室系统的假设, 机体内药物总量满足微分方程:（7）这是一阶常系数线性微分方程, 其解为（8）从而（9）可以看出 （10）叫做稳态血药浓度.虽然点滴不可能无限期进行下去, 但由于点滴的时间一般都比较长, 当点滴结束时, 血液中药物的浓度已经非常接近此值.在现实生活中, 点滴一般都要反复几次, 设点滴时间为 T1, 两次点滴的时间间隔为 T2, 则在第一次点滴结束时机体内药物的浓度为（11）然后在停止点滴的时间段内, 患者体内药物只输出, 不输入.在这一时间段内, 血液浓度(3) 式,区别在于初值不同,也就是 （12）则在点滴的情况下,血药浓度: 当0t ( 第一次)时,为t时, （13） 可以类似地讨论以后各次点滴时的情况,区别只在于初值上的不同.从第二次点滴起,患者体内的初始药物浓度不为零.3 口服或肌肉注射口服或肌肉注射时,虽然药物进入机体内可以看作瞬时完成的, 但是它集中于体内的某一部分,靠其表面与肌体的接触而逐步被吸收.假设:药物被吸收的速率与存量药物的数量成正比 ,记比例常数为,t时刻药物的残留量为y(t),D为一次用药总量,则 (14)因而y(t)=D (15)从而 (16)这是一阶线性常微分方程,它的解是 (17)从而血药浓度 (18)一般来说, , 也就是药物未吸收完时,输入速度大于分解与排泄速度.但也有例外,与药物的性质及机体对该药物的吸收、分解能力有关.当时,将（18) 看作t固定, k时型未定式, 应用罗比达法则, 可算出这种情况下血药浓度为: （19）口服单剂SPLX 400mg 后的药- 时曲线图表1及口服单剂SPLX 400mg 尿药排泄时间曲线图表2图表1 图表2 四、 模型分析对于快速静脉注射模型 (3),就是负增长率的Malthus模型.与放射性物质类似,容易算出药物的血浆半衰期: (20)对于恒速静脉点滴模型, 第一次点滴结束时,体内药物的浓度为(11).到体内药物浓度达到点滴结束时浓度的一半所需时间,姑且也叫半期，则由于，解得 （21）在这两种情形中,当注射和点滴结束时,体内药物浓度达到最大值( 峰值),然后浓度单调递减.对于口服和肌肉注射模型,考虑到药物在生物体内,各药物分子在机体内滞留时间的长短,受个体差异,药物的生化、药理等各种随机因素的影响,可假设为随机变量.它反映药物在机体内吸收、分解和消除所相应的总体效应.为了将药物随时间变化的曲线转化为概率密度曲线,定义药物在体内滞留时间的概率密度函数为: （22） 由(18)式: （23） 则 （24） 这正是文1中讨论的广义指数分布的概率密度函数,由文1可以得到如下结论:a.药物浓度的极大指点为,也就是两个速率常数和的倒对数平均值.b.药物在体内的平均滞留时间为其数学期望,也就是药物平均吸收时间与平均消除时间之和.c.药物在体内滞留时间的方差为,标准差为.由此也可以看到广义指数分布的应用及参数的实际意义。五、 模型优缺点优点 将模型应用到常见的给药方式中，具有一定的实际意义，模型建立过程中用到用到常微分方程，广义指数分布的概率密度函数，使模型直观易懂。缺点 没能够将机体较复杂的运行机制考虑进去，使模型相对简单。六、 参考文献1 刘国祥. 广义指数分布. 赤峰学院学报, 2007,( 3) : 1- 8.2 姜启源, 等.数学模型.北京: 高等教育出版社,2003.3 胡鹏. 新喹诺酮类抗菌药司帕沙星. 国外医药抗生素分册,1998; 19( 1) : 654 Johnson J H, Cooper M A, Andrew s J M, et a