工程电磁场数值方法编程实验3－数值积分方法.ppt

第3章 数值积分法,工程电磁场数值方法编程实验数值积分法 电子科技大学 赖生建,,主要内容,概述 数值积分 基于场量积分公式的数值积分法 基于场源离散化的数值积分法 编程实践,,3.1 概述,数值积分法是数值计算方法应用中的基本内容之一。 在电磁场分析计算中，对于无限大、均匀各向同性的媒质，当已知场源分布求场分布时，基于库仑定律或比奥沙伐定律均可以导出关于场量、位函数的积分表达式。可以计算场分布以及有关电磁参数、能量和力等积分量。 它是多种电磁场数值计算方法(等参数有限元法、边界元法和模拟电荷法)数值解的必要基础。,,数值积分实质,数值积分实质上是一种近似的求积方法，即通过构造被积函数的某种线性组合的逼近函数来近似求其积分值。 如函数f(x)的定积分 ，当被积函数f(x)的原函数F(x)无法用初等函数表达，则可以用另一个具有足够逼近精度的简单函数g(x)来近似替代函数f(x)，函数g(x)的构造通常取f(x)的代数插值函数或样条函数。,,数值积分实质,函数g(x)不同的构造函数，产生不同的数值求积公式。 为提高数值积分精度，常将积分空间分成n等份，在每个小区间上采用相应的求积公式计算，称为复合的数值求积公式。,,3.2 梯形求积公式,梯形求积是一种直观的近似方法，由边界上近似直线围成的梯形面积近似代替原来曲边梯形面积。,上面误差较大，为得到求积的精度，可将积分区间细分k次，得到分段数 ，其梯形积分公式为,,梯形求积公式,如果精度不够，再各子区间平分，得2n=2k+1,当满足,,辛普生求积公式,如用二次插值多项式抛物线g(x)所围成的曲边梯形面积近似代替y=f(x)围成的曲边梯形面积,为得到求积的精度，将积分区间细分k次，得到分段数 ，其复合辛普生求积公式为,,辛普生求积公式,计算二重积分时，数值积分的处理是将二重积分分解为两个单积分，每个积分使用辛普生求积公式，即在第一重积分内采用辛普生求积公式，公式中每产生一个固定某变量值x，在另一重积分也用辛普生求积公式计算。,分解为两个单积分,,高斯求积公式,高斯求积法，在积分区间，选择某些积分点（设为n个积分点），计算出函数在这些积分点上的数值，然后用相应的权系数乘以这些函数值，并求和。 在相同数量积分点的选取条件下，高斯积分的精度最佳。,求积节点 为高斯积分点。 称为积分区间a,b上的权函数，不同的权函数选取，不同的高斯型求积公式，其中 是最常用的权函数。,,高斯求积公式,当给定权函数 ，可假定积分区间为-1,1,利用正交多项式来确定求积点（高斯积分点）时，该正交多项式为勒让德多项式，这样积分点为 n次勒让德多项式的n个零点，由此得到相应的求积公式的权系数,上式为高斯勒让德求积公式。高斯积分点与权系数的值参考表。,,高斯求积点,,参考高斯积分表,高斯求积公式,对于一般区间a,b，利用积分变量代换，转换为-1,1积分区间。,其中,,高斯求积公式,对于多重积分，可以化重积分为多次积分的方法，与前面辛普生的多重积分相似，每一重积分采用相同或不同的高斯积分点,,编程实践一,编写辛普生积分计算函数,,编程实践二,编写高斯积分计算函数,,椭圆积分的数值计算,在电磁场的数值计算中，椭圆积分的应用广泛。应用较多的是第一与第二类椭圆积分 第一类完全椭圆积分 第二类完全椭圆积分,称为积分模数,,椭圆积分的数值计算,级数展开式,算术几何平均法,,椭圆积分的数值计算,近似计算公式（由兰登变换的递推公式）,当 值足够小，如 时，,,编程实践三,编写椭圆积分计算函数,,4.3 基于场量积分公式的数值积分法,在无限大、均匀且各向同性媒质中，已知场源分布 时，求场量E、B或位函数 和A的分布时，均归结为相应的积分关系式。,平行平面磁场,,平行平面磁场,磁感应强度,场图绘制 所谓B线，即该线上任一点的切线方向，与B的方向一致，共线条件,,轴对称磁场,当场源具有轴对称分布，激励的场也必然具有轴对称性质,第一、二类完全椭圆积分,,轴对称磁场,向量磁位Ap计算出来后，可计算磁感应强度,当场点在圆环轴线，,,载流螺线管的磁场,载流为I的n匝螺线管看成无限多个环形为dI=Jds的线圈的组合,,载流螺线管的磁场,场图绘制 在圆柱坐标系中，具有轴对称分布特征的磁感应强度B线满足,,3.4 基于场源离散化的数值积分法,电压源激励的磁场 磁场激励源通常为外施电压源，需要补充电路方程，就要知道线圈的阻抗计算电流，这样涉及线圈的电感计算,螺线管线圈的电感 互感系数的计算,Ia产生与线圈B所铰链的磁通为,互感系数,,电压源激励的磁场,自感系数的外自感计算,ra=R,rb=R-a,h=0,模数k,Ra,模数k=1,,电压源激励的磁场,自感系数的内自感计算,单匝环形线圈的自感,,电压源激励的磁场,N匝螺线管,cemuest