论线性规划企业利润最大化

引 言线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出。涉及更多个变量的线性规划问题不能用初等方法解决。线性规划问题的难点表现在三个方面：一是将实际问题抽象为线性规划模型；二是线性约束条件和线性目标函数的几何表征；三是线性规划最优解的探求。线性规划的发展史法国数学家 J.- B.- J.傅里叶和 C.瓦莱普森分别于1832和1911年独立地提出线性规划的想法，但未引起注意。 1939年苏联数学家.康托罗维奇在生产组织与计划中的数学方法一书中提出线性规划问题，也未引起重视。 1947年美国数学家G.B.丹齐克提出线性规划的一般数学模型和求解线性规划问题的通用方法单纯形法，为这门学科奠定了基础。 1947年美国数学家J.von诺伊曼提出对偶理论,开创了线性规划的许多新的研究领域，扩大了它的应用范围和解题能力。 1951年美国经济学家T.C.库普曼斯把线性规划应用到经济领域，为此与康托罗维奇一起获1975年诺贝尔经济学奖。 50年代后对线性规划进行大量的理论研究，并涌现出一大批新的算法。例如，1954年C.莱姆基提出对偶单纯形法，1954年S.加斯和T.萨迪等人解决了线性规划的灵敏度分析和参数规划问题，1956年A.塔克提出互补松弛定理，1960年G.B.丹齐克和P.沃尔夫提出分解算法等。 线性规划的研究成果还直接推动了其他数学规划问题包括整数规划、随机规划和非线性规划的算法研究。由于数字电子计算机的发展，出现了许多线性规划软件，如MPSX，OPHEIE，UMPIRE等，可以很方便地求解几千个变量的线性规划问题。 1979年苏联数学家L. G. Khachian提出解线性规划问题的椭球算法，并证明它是多项式时间算法。 1984年美国贝尔电话实验室的印度数学家N.卡马卡提出解线性规划问题的新的多项式时间算法。用这种方法求解线性规划问题在变量个数为5000时只要单纯形法所用时间的1/50。现已形成线性规划多项式算法理论。50年代后线性规划的应用范围不断扩大。随着经济的发展，关于线性规划在企业中的应用越来越广泛。林海明早在1996年就立足于较强的普及性，从经济常识的角度来认知线性规划问题的解法，初步论述这一问题；熊福力、张晓东等在2004年作了基于利润最大化的油田开发非线性规划一文，他们根据油田开发的实际情况，将油田和利润细分为几个部分，以获得最大利润为目标，建立了油田开发的数学模型；吴海华和王志江在关于影子价格作为企业资源配置依据的探讨根据线性规划模型资源影子价格的经济意义，讨论了在企业以收入最大化和利润最大化两种情况下，影子价格作为企业资源配置依据时存在的问题。胡徐胜、刘娟和汪发亮在最优控制在汽车企业利润最大化中的应用一文中从汽车企业职工结构角度出发，研究在企业提供职工工资总量不超过某一限定值的情况下,如何分配汽车企业中普通职工与高级职工的比例来达到实现汽车企业利润最大化的目标。随着经济社会的发展，线性规划在资源配置和企业管理方面发挥着独特的作用。在企业的各项管理活动中，例如计划、生产、运输、技术等问题，从各种限制条件的组合中，通过对实际数据的分析处理和数学模型的建立，选择出最为合理的计算方法，建立线性规划模型从而求得最佳结果，给出了更多的决策参考信息。这也将成为未来企业生产与管理的普遍方法。 不单如此，企业现如今更着重于对各种条件组合中限制条件作局部调整以达到对获得利润的一种控制，而这恰恰也是线性规划问题中灵敏度分析所研究的对象。本文共分为四章。在第一章，介绍本文的背景和线性规划的发展状况；在第二章，介绍线性规划本身和一系列相关性质问题及企业利润最大化数学模型的基础知识；在第三章，介绍利用线性规划建立企业利润最大化数学模型；最后，求解模型最优解。第2章线性规划问题本章主要介绍线性规划本身和一系列相关性质问题，并相应举出一些简单的例子更好的阐述了线性规划问题。本章主要借鉴于胡运权、郭耀煌等编著，清华大学出版社出版的运筹学教程（第二版）的内容。2.1线性规划模型及标准型211线性问题的数学模型例1：美佳公司计划制造，两种家电产品。已知各制造一件时分别占用的设备A，B的台时、调试工序及每天可用于这两种家电的能力、各售出一件时的获利情况，如表1所示。问该公司应制造两种家电各多少件，使获取的利润为最大。表1项目每天可用能力设备A（h）0515设备B（h）6224调试工序（h）113利润（元）21 对上例用和分别表示美佳公司制造家电和的数量。这时此例数学模型可表示为 由此例可以看出，规划问题的数学模式型由三个要素组成：变量，或称决策变量，是问题中要确定的未知量，它用以表明规划中的用数量表示的方案、措施，可由决策者决定和控制；目标函，它是决策变量的函数，按优化目标分别在这个函数前加上或；约束条件，指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制，通常表达为含决策变量的等式或不等式。假定线性规划问题中含个变量，分别用（）表示，在目标函数中的系数为（通常称为价值系数），的取值受项资源的限制，用（）表标第种资源的拥有量，用表示变量取值为1个单位时所消耗或含有的第种资源的数理量，通常称为技术系数或工艺系数。刚上述线性规划问题的数学模型可表示为：上述模型的简写形式为用向量形式表达时，上述模型可写为：式中；用矩阵和向量形式来表示可写为：称为约束方程组（约束条件）的系数矩阵。 变量的取值一般配为非负，即；从数学意义上可以有。又如果变量表示第种产品期内产量相对于前期产量的增加值，则的取值范围为，称取值不受约束，或无约束。2112线性规划问题的标准形式线性规是问题的标准形式如下：标准形式的线性规划模型中，目标函数为求极大值，约束条件全为等式，约束条件右端常数项全为非负值，变量的取值全为非负值。对不符合标准形式的线笥规划问题，可分别通过下列方法化为标准形式。1）目标函数为求极小值，即为：因为求等价于求，令，即化为：2）约束条件的右端项时，只需将等式或不等式两端同乘（-1），则等式右端项必大于零。3）约束条件为不等式。当约束条件为“”时，如，可令，得，显然。当约束条件为“”时，如有，可令，得，。和是新加上去的变量，取值均为非负，加到原约束条中去的变量其目的是使不等式转化为等式，其中称为松弛变量，一般配称为剩余变量，但也有称松弛变量的。松弛变量或剩余变量在实际问题中分别表示未被充分利用的资源和超出的资源数，均未转化为价值和利润，所以引进模型后它们在目标函数中的系数均为零。4）取值无约束的变量是。如果变量代表某产品当年计划数与上一年计划数之差，显然的以值可能是正也可能是负，这时可令，其中，将其代入线性规划模型即可。5）对的情况，令，显然。22线性规划模型的求解221线性规划问题的基与解 线性无关：对于n维空间的一组向量，若数域F中有一组不全为0的数（），使 成立，则称这组向量在F上线性相关。否则称这组向量在F上线性无关。秩：设A是mn矩阵。若A的n个列向量中有r个线性无关（），而所有个数大于r的列向量组都线性相关，则称数r为矩阵A的列秩。类似可定久矩阵A的行秩。矩阵A的列秩与行秩一定相等，它也称为矩阵A的秩。基：已知A是约束条件的mn系数矩阵，其秩为m。若B是A中mm非奇异子矩阵（即可逆矩阵，有），则称B是线性规划问题的一个基，B是由A中m个线性无关的系数列向量组成的。基向量：B中一列（共m个）基变量非基向量：B外（A中）一列（共nm个）非基变量可行解：满足、的解最优解：满足的可行解基本解：令所有非基变量=0，求出的满足的解基本可行解：满足的基本解最优基本可行解：满足的基本可行解基本解退化的基本解：有基变量=0的基本解退化的基本可行解退化的最优化基本可行解222线性规划的图解法l 适于求解二维问题l 不必化为标准型2211图解法步骤例2： 1）由全部约束条件作图求出可行域2）作出一条目标函数的等值线3）平移目标函数等值线，作图得最优点，再算出最优值 图1最优点Q： ；最优值Z： .2212从图解法看线性规划问题解的几种情况1）有唯一最优解（一般情况）2）有无穷多组最优解（平行；最优值相同）对例2，修改为：3） 无可行解（可行域空集）对例2，增加一个约束条件：4） 无有限最优解（无界域；取决于求还是？）对例2，去掉第一个约束条件l 线性规划的可行域为凸集，特殊情况下为无界域（有有限个顶点）或空集。l 线性规划若有最优解，一定可在可行域顶点上得到。223单纯形法2231单纯形法迭代原理1）确定初始基可行解 当线性规划问题的所有约束条件均为号是，松弛变量对应的系数矩阵即为单位矩阵，以松弛变量为基变量可确定基可行解。 对约束条件含或号时，可构造人工基，人为产生一个单位矩阵，用大法或两阶段法获得初始基可行解。2）最优性检验与解的判别（目标函数极大型） 当所有变量对应的检验数均非正时，现有的基可行解即为最优解。若存在某个非基变量的检验数为零时，线性规划问题有无穷多最优解；当所有非基变量的检验数均严格小于零时，线性规划问题具有唯一最优解。 若存在某个非基变量的检验数大于零，而该非基变量对应的系数均非正，则该线性规划问题具有无界解（无最优解）。 当存在某些非变量的检验数大于零，需要找个一个新的基可行解，即要进行基变换。2232单纯形法迭代步骤1）求出初始可行解，列出初始单纯形表。 设为基变量，为非基变量基100001002）计算检验数进行最优性检验。 若已获得最优解（或确定无最优解），则停止；否则进行下一步。3）换基。根据的原则，确定为换入变量，计算（），按规则，确定为换出变量。4）通过初等行变换将系数矩阵中变量对应列变换为第个元素为1的单位列向量，用代为新的基变量，列出新的单纯形表，回到第二步骤。例3：用单纯形法求解线性规划问题 解 先将上述问题化成标准形式有 其约束条件系数矩阵的增广矩阵为 是单位矩阵，构成一个基，对应变量是基变量。令非基变量等于零，即找到一个初始基可行解以此列出初始单纯形表记作表2如下：表221000基0150510002462010051100121000因表中有大于零的检验数，故表中基可行解不是最优解。因，故确定为换入变量。将列除以的同行数字得，由此6为主元素，作为标志对主元素6加上方括号 ，主元素所在行基变量为换出量。用替换基变量，得到一个新的基，按上述单纯形法计算步骤第三步，可以找到新的基可行解，并列出新的单纯形表，记作表3如下：表321000基015051002412/601/600104/60-1/6101/30-1/30由于上表中还存在大于零的检验数，故重复上述步骤得下表，记作表4：表421000基015/20015/4-15/227/21001/4-1/213/2010-1/43/2000-1/4-1/2上表中所有，且基变量中不含人工变量，故表中的基可行解为最优解，代入目标函数得。223对偶单纯形法2231单纯形法计算的矩阵描述对称形式线性规划问题的矩阵表达式加上松弛变量后为： (1)上式中为松弛变量，为单位矩阵。单纯形法计算时，总选取为初始基，对应基变量为。设迭代若干步后，基变量为，在初始单纯形表中的系数矩阵为。将在初始单纯形表中单独列出，而中去掉后的若干列后剩下的列组成矩阵，这样(1)的初始单纯形表可列成如表5的形式。 表5项目非基变量基变量00当迭代若干步，基变量为时，则该步的单纯形表中由系数组成的矩阵为。又因单纯形法的迭代是对约束增广矩阵进行的行的初等变换，对应的系数矩阵在新表中应为。故当基变量为时，新的单纯形表具有表6形式。 表6项目基变量非基变量10从表5和表6看出，当迭代后基变量为时，其在初始单纯形表中的系数矩阵为，则有：1）对应初始单纯形表中的单位矩阵，迭代后的单纯形表中为； 2）初始单纯形表中基变量,，迭代后的表中；3）初始单纯形表中约束系数矩阵为，迭代后的表中约束系数矩阵为，。4）若初始矩阵中变量的系数向量为迭代后为，则有 （2）5）当为最优解时，在表6中应有 （3） （4） 因的检验数可写为 （5） 故(3)(5)式可重写为 （6） （7）称为单纯乘子，若令 则（6）、（7）式可改写为 （8） 看出这时检验数行，若取其相反数恰好是其对偶问题的一个可行解。将这个解代入对偶问题的目标函数值 有 （9）由（9）式看出，当原问题为最优解时，这时对偶问题为可行解，且两者具有相同的目标函数值。2232对偶问题的基本性质 1）弱对偶性。如果是原问题的可行解，是其对偶问题的可行解，则恒有 由弱对偶性，可得出以下推论： 原问题任一可行解的目标函数值是其对偶问题目标函数值的下界；反之对偶问题任一可行解的目标函数值是其原问题目标函数值的上界。 如原问题有可行解且目标函数值无界(具有无界解)，则其对偶问题无可行解；反之对偶问题有可行解且目标函数值无界，则其原问题无可行解(注意：本点性质的逆不成立，当对偶问题无可行解时，其原问题或具有无界解或无可行解，反之亦然)。 若原问题有可行解而其对偶问题无可行解，则原问题目标函数值无界；反之对偶问题有可行解而其原问题无可行解，则对偶问题的目标函数值无界。2）最优性。如果是原问题的可行解, 是其对偶问题的可行解，且有 则是原问题的最优解，是对偶问题的最优解。3）强对偶性(或称对偶定理)。若原问题及其对偶问题均具有可行解，则两者均具有最优解，且它们最优解的目标函数值相等。4）互补松弛性。在线性规划问题的最优解中，如果对应某一约束条件的对偶变量值为非零，则该约束条件取严格等式；反之如果约束条件取严格不等式，则其对应的对偶变量一定为零。也即 若，则有， 即， 若，即，则有， 因此一定有。将互补松弛性质应用于其对偶问题时可以这样叙述：如果有，则；如果有, 则。2233对偶单纯形法的基本思路 求解线性规划的单纯形法的思路是：对原问题的一个基可行解，判别是否所有检验数。若是，又基变量中无非零人工变量，即找到了问题最优解；若为否，再找出相邻的目标函数值更大的基可行解，并继续判别，只要最优解存在，就一直循环进行到找出最优解为止。根据对偶问题的性质，因为，当，即有或，也即其对偶问题的解为可行解，由此原问题和对偶问题均为最优解。反之，如果存在一个对偶问题的可行基，即对，有或，这时只要有，即原问题的解也为可行解，即两者均为最优解。否则保持对偶问题为可行解，找出原问题的相邻基本解，判别是否有，循环进行，一直使原问题也为可行解，从而两者均为最优解。对偶单纯形法的基本思路：先找出一个对偶问题的可行基，并保持对偶问题为可行解条件下，如不存在，通过变换到一个相邻的目标函数值较小的基本解(因对偶问题是求目标函数极小化)，并循环进行，一直到原问题也为可行解(即)，这时对偶问题与原问题均为可行解。2234对偶单纯形法的计算步骤设某标准形式的线性规划问题 （10） 存在一个对偶问题的可行基，不妨设，列出单纯形表（见表7）。 表7基100010001000 表7中必须有，的值不要求为正。当对，有时，即表中原问题和对偶问题均为最优解。否则，通过变换一个基变量，找出原问题的一个目标函数值较小的相邻基本解。1）确定换出基的变量因为总存在0的，令，其对应变量为换出基的变量。2）确定换入基的变量为了使下一个表中第行基变量为正值，因而只有对应的非基变量才可以考虑作为换入基的变量。为了使下一个表中对偶问题的解仍为可行解，令 （11）称为主元素，为换入基的变量。设下一个表中的检验数为，由式 （12）分两种情况说明满足（11）式来选取主元素时，式（12）中（对）。（a）对 ，因 故 ，又因主元素，故，由此式（12）方括弧内的值0，故有。（b）对，因，故有。 3）用换入变量替换换出变量，得到一个新的基。对新的基再检查是否所有。如是，找到了两者的最优解，如为否，回到第1步再循环进行。因为由对偶问题的基本性质知，当对偶问题有可行解时，原问题可能有可行解，也可能无可行解。对出现后一种情况的判断准则是：对，而对所有有。因为这种情况，若把表中第行的约束方程列出有 （13）因，又，故不可能存在的解。故原问题无可行解，这时对偶问题的目标函数值无界。第三章线性规划中灵敏度分析31含义和研究对象311什么是灵敏度分析？是指研究线性规划模型的某些参数（）或限制量（，约束条件）的变化对最优解的影响及其程度的分析过程也称为优化后分析。 312灵敏度分析的研究对象l 目标函数的系数变化对最优解的影响；l 约束方程右端系数变化对最优解的影响；l 约束方程组系数矩阵变化对最优解的影响；综合体现在两个问题上： 这些系数在什么范围内发生变化时，最优解不变？ 系数变化超出上述范围，如何用最简便的方法求出新的最优解？32进行灵敏度分析的基本原则 在最终单纯形表的基础上进行。 尽量减少附加的计算工作量。33灵敏度分析的步骤1）将参数的改变通过计算反映到最终单纯形表上来；2）检查是否仍为原问题的可行解；3）检查是否仍为对偶问题的可行解；4）依据表8所列情况决定继续计算或得到结论。表8原问题对偶问题结论或继续计算的步骤可行解可行解问题的最优解或最优基不变可行解非可行解用单纯形法继续迭代求最优解 非可行解可行解用对偶单纯形法继续迭代求最优解 非可行解非可行解引进人工变量，编制新的单纯形表重新计算34灵敏度分析的主要内容341分析的变化线性规划目标函数中变量系数的变化仅仅影响到检验数的变化.所以将的变化直接反映到最终单纯形表中,只可能出现如表8中的前两种情况.下面举例说明。例3 在例1的美佳公司例子中，（1）若加电的利润降至1.5元/件，而家电的利润增至2元/件时，美佳公司最优生产计划有何变化；（2）若加电的利润不变，则加电的利润在什么范围内变化时，则该公司的最优生产计划将不发生变化。 解 （1）将家电，的利润变化直接反映到最终单纯形表（表4）中得表9。 表91.52000基015/200 15/4-15/21.57/21001/4-1/223/2010-1/43/20001/8-9/4因变量的检验数大于零，故需继续用单纯形法迭代计算得表10。表10基0600 4/51-61.5210-1/50123011/50000-1/100-3/2即美佳公司随加电，的利润变化应调整为生产2件，3件。 （2）设家电的利润为（）元，反映到最终单纯形表中，得表11。表11项 目2000基015/200 15/4-15/227/21001/4-1/23/2010-1/43/2000为使表11中的解仍为最优解，应有 , 解得 即加电的利润的变化范围应满足 342分析的变化右端项的变化在实际问题中反映为可用资源数量的变化。由式看出变化反映到最终单纯形表上将引起列数字的变化，在表8中可能出现第一或第三的两种情况。出现第一种情况时，问题的最优基不变，变化后的列值为最优解。出现第三种情况时，用对偶单纯形法迭代继续找出最优解。例4 在上述美佳公司的例子中：(1)若设备和调试工序的每天能力不变，而设备每天的能力增加到32小时，分析公司最优计划的变化；(2)若设备和每天可用能力不变，则调试工序能力在什么范围内变化时，问题的最优基不变。解 （1）因有由式有 将其反映到最终单纯形表中得表12 表1221000基035/200 15/4-15/2211/21001/4-1/21-1/2010-1/43/2000-1/4-1/2因表12中原问题为非可行解，故用对偶单纯形法继续计算得表13。 表1321000基01505 1002511001020-401-60-100-2由此美佳公司的最优计划改为只生产加电5件。（2）设调试工序每天可用能力为（）小时，因有将其反映到最终单纯形表中，其列数字为 当时问题的最优基不变，解得。由此调试工序的能力应在4小时6小时之间。343增加一个变量的分析增加一个变量在实际问题中反映为增加一种新的产品。其分析步骤为：1）计算2）计算3）若，原最优解不变，只需将计算得到的和直接写入最终单纯形表中；若，则按单纯形法继续迭代计算找出最优。例5 在美佳公司例子中，设该公司又计划推出新型号的家电，生产一件所需设备、及调试工序的时间分别为3小时、4小时、2小时，该产品的预期盈利为3元件，试分析该种产品是否值得投产；如投产，对该公司的最优生产计划有何变化。解 设该公司生产家电件，有，。 将其反映到最终单纯形表（表4）中得表14。表14210 003 基015/20015/4-15/2-727/21001/4-1/2013/2010-1/43/22000-1/4-1/21因 ，故用单纯形表继续迭代计算得表15。表15210 003 基b051/407/213/8-9/4027/21001/4-1/2033/401/20-1/83/410-1/20-1/8-5/40由表15，美佳公司新的最优生产计划应为每天生产件家电I，件家电。344分析参数的变化的变化使线性规划的约束系数矩阵发生变化。若变量在最终单纯形表中为非基变量，其约束条件中系数的变化分析步骤可参照本节之三，若变量在最终单纯形表中为基变量，则的变化将使相应的和发生变化，因此有可能出现原问题和对偶问题均为非可行解的情况。出现这种情况时，需引进人工变量将原问题的解转化为可行解，再用单纯形法求解，下面举例说明。例6 在美佳公司的例子中，若家电每件需设备，和调试工时变为8小时、4小时、1小时，该产品的利润变为3元件，试重新确定该公司最优生产计划。解 先将生产工时变化后的新家电看作是一种新产品，生产量为，仿本节三的步骤直接计算和并反映到最终单纯形表中。其中： 将其反映到最终单纯形表(表4)中得表16。 表16213 000 基015/20011/215/4-15/227/2101/20 1/4-1/213/2011/20-1/43/2003/20-1/4-1/2因已变换为，故用单纯形法将替换出基变量中的，并在下一个表中不再保留，得表17。表1723000基0-900 14-24221001/2-233010-1/230001/2-5表17中原问题与对偶问题均为非可行解，故先设法使原问题变为可行解。表17第1行的约束可写为 （14）式（14）两端乘以（-1），再加上人工变量得 （15）将式（15）替换表17的第l行得表18。表 1823000基900-1 -4241221001/2-2033010-1/230000因对偶问题为非可行解，用单纯形法计算得表19。表 1923000基03/800-1/24 -1/611/24211/410-1/121/601/12315/8011/800-1/800-5/24-1/30由表19知，美佳公司的最优生产计划为每天生产件家电，件新家电。345增加一个约束条件的分析增加一个约束条件在实际问题中相当增添一道工序。分析的方法是先将原问题最优解的变量值代入新增的约束条件，如满足，说明新增的约束未起到限制作用，原最优解不变。否则，将新增的约束直接反映到最终单纯形表中再进一步分析。 例7 仍以美佳公司为例，设家电，经调试后，还需经过一道环境试验工序。家电每件须环境试验3小时，家电每件2小时，又环境试验工序每天生产能力为12小时.试分析增加该工序后的美佳公司最优生产计划。 解 先将原问题的最优解, 代入环境试验工序的约束条件。因，故原问题最优解不是本例的最优解。 在试验工序的约束条件中加松弛变量得 （16） 以为基变量，将式(16)反映到最终单纯形表(表4)中得表20。表20210 000基015/20015/4-15/20 27/21001/4-1/2013/2010-1/43/20012320001000-1/4-1/20上表中、列不是单位向量，故需进行变换，得表21。表21中第，行同原表第行，表中第行由以下初等变换得到=32。 表 21210 000基015/20015/4-15/20 27/21001/4-1/2013/2010-1/43/200-3/2000-1/4-3/21000-1/4-1/20因表21中对偶问题为可行解，原问题为非可行解，故用对偶单纯形法迭代计算得表22表22210 000 基015 0015/20-5 241001/30-1/310010-1/201010001/61-2/3000-1/60-1/3由表22知，添加环境试验工序后，美佳公司的最优生产计划为只生产4件家电。35灵敏度分析的应用1）投入产出法中灵敏度分析 可以用来研究采取某一项重大经济政策后将会对国民经济的各个部门产生怎样的影响。例如，美国政府曾经利用投入产出表研究了提高职工工资10对国民经济各部门商品价格的影响。研究的结果表明，在职工工资增加10时，建筑业产品的价格将上涨7，农产品的价格将上涨1.3，其余各部门产品价格将上涨1.37不等,生活费用将上升3.8，职工的实际得益为6.2。2）方案评价中灵敏度分析 可以用来确定评价条件发生变化时备选方案的价值是否会发生变化或变化多少。例如，在利用评价表进行评价时，需要确定每一个分目标的权重系数和各分目标的评分数。这中间或多或少地会存在当事人的主观意识，不同的人可能会有截然不同的价值观念。因此就必须考虑当分配的权重系数或评分数在某一个范围内变化时，评价的结果将会产生怎样的变化。3）定货批量的灵敏度分析 在分析整批间隔进货模型中，经济订货批量可用下式计算： 式中为单位时间需求量，为每次订货的固定费用，为单位时间内每单位物资的保管费。它们一般都是根据统计资料估算的，与实际情况有所出入，需要进行灵敏度分析。用，和分别表示实际的需求量、订货量、保管费和调整后的经济订货批量。，,和分别代表需求量、订货量、保管费和经济订货批量的相对变化值，即： 通过计算后可得 代入具体的数值后便可用上式说明, 和对订货批量的综合影响程度。第四章利用线性规划建立企业利润最大化数学模型企业管理是一种典型的复杂系统，利用模型描述这类系统是一件非常困难的工作，为此建模和求解过程中对研究对象做出一些简化是非常必要的，这也各类线性模型受到重视和广泛应用的原因之一，尽管经济系统是非常复杂的，但应用线性模型仍然能够描述和解决大量的实际问题。本章就企业经营管理中的目标利润最大化和目标成本最小化问题数学模型的构造作了介绍，并举出一些相应的例子阐述这一问题。41企业利润最大化原则厂商从事生产或出售商品的目的是为了赚取利润。如果总收益大于总成本，就会有剩余，这个剩余就是利润。值得注意的是，这里讲的利润，不包括正常利润，正常利润包括在总成本中，这里讲的利润是指超额利润。如果总收益等于总成本，厂商不亏不赚，只获得正常利润，如果总收益小于总成本，厂商便要发生亏损。厂商从事生产或出售商品不仅要求获取利润，而且要求获取最大利润，厂商利润最大化原则就是产量的边际收益等于边际成本的原则。边际收益是最后增加一单位销售量所增加的收益，边际成本是最后增加一单位产量所增加的成本。如果最后增加一单位产量的边际收益大于边际成本，就意味着增加产量可以增加总利润，于是厂商会继续增加产量，以实现最大利润目标。如果最后增加一单位产量的边际收益小于边际成本，那就意味着增加产量不仅不能增加利润，反而会发生亏损，这时厂商为了实现最大利润目标，就不会增加产量而会减少产量。只有在边际收益等于边际成本时，厂商的总利润才能达到极大值。所以成为利润极大化的条件，这一利润极大化条件适用于所有类型的市场结构。42利润最大化模型421问题提出：某工厂用甲，乙两种原料生产A，B，C，D四种产品，每种产品的利润现有原料数量及每种产品消耗原料的定额如下表：每万件产品所用原料（KG）ABCD现有原料（KG）甲3210418乙0020.53每件产品利润985019问应怎样组织生产才能使总利润最大？如果产品A的价格有波动问波动应限制在什么范围内，才能使原最优解不变？422问题分析：这个问题的目标是在满足条件的情况下，使得工厂就生产出的产品获得的总利润最大，所要做的决策是组织生产的方案，即工厂分别要生产多少数量的A，B，C，D四种产品。决策主要受到2个条件的限制：原料甲的数量、原料乙的数量。423模型建立：4231决策变量组织生产A、B、C、D四种产品的数量分别记作（单位万件）4232目标函数记工厂就生产出的产品获得的总利润为,产品A、B、C、D每件利润分别是9元、8元、50元、19元，故。4233约束条件生产四种产品所消耗的原料甲不超过现量18KG，即。生产四种产品所消耗的原料乙不超过现量3KG，即。当然还有非负实数约束，为非负实数。综上可得：为非负实数。这就是该问题的基本模型，由于目标函数和约束条件均为线性且决策变量是连续的非负实数，所以这是一个纯线性规划模型（LP）。424模型求解原问题一般形式 转化为标准形： 利用单纯形法可得其最优解基对应单纯形表如下98501900基19224/3012/3-10/3501-1/2-1/310-1/64/3-4-2/300-13/3-10/3从上表我们得出最优解是生产1万件产品C，生产2万件产品D，不生产A，B两种产品问可得最大总利润为88万元。讨论：1）现假设上题的工厂要引进新产品E，已知生产E产品1万件要消耗材料甲3KG，材料乙1KG，问E的利润应为多少时，投入才有利？解：设生产E产品万件，1万件产品E的利润是万元。则原问题的数学模型变为： 标准化后变为 因为是原题标准型的一个最优解，那么是这个新问题的一个可行解。 当时，即也就是时，E的投入才有利。.下面讨论该变化的最优解。假设，则得到对应的单纯形表如下：9850190017基19224/3012/3-10/3-4/3501-1/2-1/310-1/64/35/6-4-2/300-13/3-10/32/3上表中，所以不是最优解。应用单纯形法进行换基迭代得新基对应的单纯形表如下：9850190017基1918/56/54/58/512/5-6/50176/5-3/5-2/56/50-1/58/51-18/5-2/5-4/50-21/5-22/50则最优解为对应的目标函数值为即当每万件新产品E的利润为17万元时，应生产品18/5万件产品D，6/5万件产品E，不生产A，B，C，这时可得最大总利润万元，比原最优方案增加利润4/5万元。2）如果原问题中产品的利润发生改变，即模型目标函数中变量系数变化时，又会给最优解造成怎么样的影响。由原题的最优解知： 现假设目标函数中有改变，令则对应的单纯形表：8501900基19224/3012/3-10/3501-1/2-1/310-1/64/3-2/300-13/3-10/3如果要原最优解不变，根据最优判别准则，应有即又于是即当时，原问题的最优解仍然是新问题的最优解，最大总利润仍为88万元。 当每万件产品A的利润超过13万元，即时，则，原优解已不是最优的，用单纯形法进行换基迭代，可得新基对应的单纯形表如下表：8501900基112/301/21/3-5/3503/20011/401/200如果使为最优基，应有 得 即当时最优解变是对应的目标函数值为： 即因此，每万件产品A的价格在13-15万之间变化时，原最优生产方案应改变为生产1万件产品A，生产1.5万件产品C，这时最大总利润在88-90万元之间。3）我们再来探讨原料限制发生改变的情况，例如：假设有变动时，令。由于得改变与最优判别准则无关，只影响最优基B，对应的单纯形表中是否非负。如果非负，那么B仍为最优基。因此，当变动时，如果原来的所得的基仍为最优基，应有。此时：解方程组 则时，原来的基仍为最优基，但是最优解和目标函