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第四节 有理函数与 简单无理函数的积分 一、有理函数的积分 二、简单无理函数的积分,一、有理函数的积分 有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数，它 具有如下形式： 其中 n , m 为非负整数 , a0 , a1 , , an 和 b0 , b1 , , bm 都是实数，且 a00 , b00 。 假定分子与分母之间没有公因式,定理: 如果真分式的分母可分解为两个因式 Q(x) 与 R(x)的乘积, 则此真分式等于两个部分分式之和 (1) 如果分母的因式中含有单因子 x-a , 则部分分式 中含有 的项，其中 A 为待定常数。 例,(2) 分母中含有因子 (x-a)k (k 1), 则部分分式中含有 其中 A1 , A2 , ，Ak 为待定常数。 例 (3) 如果分母的因式中含有 x2+px+q, 则部分分式中含 有 其中 p2-4q 0 , A , B, 为待定常数。 例,(4) 如果分母的因式中含有 (x2+px+q)s , ( s1) ,则 其中, p2-4q 0 , Ai , Bi ( i=1,2, ,s )为待定常数。 例 便于求积分必须把真分式化为部分分式之和,同时要 把上面的待定的常数确定,这种方法叫待定系数法。,例3-40 求 解 由于 所以,例3-41 把真分式 化为部分分式之和。 解 方法一：令 两边去分母后，得 即 比较两端系数，得,方法二：令 两边去分母后，得 取 x=1 得：B=1；取 x=0 得：-A+1+D=0；取 x=-1 得：-4A+2+4D-4C=-2；取 x=2 得：5A+5+2C+D=2， 得方程组 解得 所以,例3-42 求 解 由例子3-41 的结果，得,例3-43 求 解 令 化去分母后,得 令 x=0 得A=1 ; x=1 , x=2 , x=-1 , 代入上式,得 其中,二、简单无理函数的积分 例3-44 求 解 令 ，则,例3-45 求 解 令 ，则,例3-46 求 解 由于 , 令 , 则,应当指出由于初等函数在其定义域内连续 , 所以其 原函数存在 , 但是有些初等函数的原函数却不能用初 等函数表示。例如： 如果一个初等函数的原函数不能用初等函数表示， 称这个函数的不定积分“积不出来”。 注意： 一个初等函数的不定积分“积不出来”，并不是指 这个不定积分不存在，而是指它的原函数不是初等函 数。,内容小结,1. 可积函数的特殊类型,有理函数,分解,多项式及部分分式之和,三角函数有理式,万能代换,简单无理函数,三角代换,根式代换,2. 特殊
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