《固体物理学》房晓勇思考题参考解答.pdf

第一章 晶体的结构习题 1 第一章第一章 晶体的结构晶体的结构 思考题 1.1 为什么自然界中大多数固体以晶态形式存在？为什么面指数简单的晶面往往暴露在外表面？ 解答： 在密勒指数（面指数）简单的晶面族中，面间距 d 较大。对于一定的晶格，单位体积内格点数目一定， 因此在晶面间距大的晶面上，格点（原子）的面密度必然大。面间距大的晶面，由于单位表面能量小，容 易在晶体生长过程中显露在外表面，所以面指数简单的晶面往往暴露在外表面。 1.2 任何晶面族中最靠近原点的那个晶面必定通过一个或多个基矢的末端吗？ 解答： 根据固体物理学式（1-10a） () () () () 1 11 2 22 3 33 cos, cos,1 10 cos, aa nhd aanh d aa nh d = = = ? ? ? ? a 1.3 解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？ 解答：解答：晶体容易沿解理面劈裂，说明平行于解理面的原子层之间的结合力弱，即平行解理面的原子层 的间距大. 因为面间距大的晶面族的指数低, 所以解理面是面指数低的晶面. 1.4 在 14 种布喇菲格子中，为什么没有底心四方、面心四方和底心立方？ 解答：参考陈金富 P33 页，徐至中 1-13 1）图（a）代表向 c 轴俯视所观察到的体心四方的格点分布。格点距离由格点组成的 晶面的 C/2 处。如 C=a，则点阵为 bcc;如图所示，为已经伸长的 bcc，ca，它是体心四 方点阵。如 图（b）与图（a）代表同样的点阵，只是观察的角度不同，图中构成四方面心格点， 面心格点间的距离2aa = ，如 22 aa C =，则点阵为 fcc；对于一般的 C 值，图（b） 是沿 c 轴伸长后的点阵，因此相同的点阵从（a）是体心点阵，从（b）看是面心点阵，本质上相同，都称 为体心四方点阵。 2）类似的底心四方和简单四方是同一种点阵。 3）底心立方不再具有立方对称性。所以不存在。 1.5 许多金属既可以形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。从一种结构转变为另一种结构时体积 第一章 晶体的结构习题 2 变化很小。设体积的变化可以忽略，并以 f R和 b R代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离， 试问/ fd RR等于多少？ 解答：在面心立方晶胞结构的空间面对角线为4 f R，晶胞的边长 4 2 f f R a =；一个晶胞包含 4 个原子，单 位体积中的原子数为 () 3 44 4/2 f f f n V R =。 在体心晶胞结构的空间体对角线为4 b R，晶胞的边长 4 3 b b R a =；一个晶胞包含两个原子，单位体积中的 原子数为 () 3 22 4/3 b b b n V R =。 依题意，在两种晶格变化时设体积的变化可以忽略，即密度相等。 fb nn= 即 ()() 33 42 4/24/3 fb RR = 得 1 3 2 /21.029 3 fd RR = 1.6 将等体积的硬球在平面上密积排列时，空间利用率等于多少？ 解答：在平面上排列时可以理解为是圆在二维平面上的排列， 1）每一个圆如图所示排列时，最紧密，空间利用率最大。 每一个圆在平面四边形一个顶角上，为四个四边形共有，每个四边形有 四个圆，所以每个四边形包含一个圆。 每个四边形的面积() 2 22 11 2cos22sin23 2323 SaRR = 每个圆的面积 2 SR = 空间利用率面利用率 2 2 2 32 3 S SR SR = 空间利用率体利用率 3 2 4 3 2 323 3 S R V VRR = = 2）球排成正方形格子 每个正方形的面积 () 2 22 24SaRR= 每个圆的面积 2 SR = 第一章 晶体的结构习题 3 空间利用率面利用率 2 2 44 S SR SR = 空间利用率体利用率 3 2 4 3 426 S R V VRR = = 1.7 在立方晶系中，晶列 hkl 垂直于同指数的晶面（hkl） 。这个结论对别的晶系，例如四方晶系 (, 2 abc) =，是否成立？ 解答：设 d 为晶面族的（hkl）的面间距，n ? 为法向单位矢量，根据晶面的定义，晶面族（hkl）将, ,a b c ? ? ? 分 别截为,h kl等分，即 () () () cos, cos, cos, a naa nhd b nbb nkd c ncc nld = = = ? ? ? ? ? ? ? ? ? 于是有 ( )1 ddd nhikili abc =+ ? 其中分别是三个坐标轴的单位矢量，面晶列, ,i k l ? ? ? , ,a b c ? ? ? hkl的方向矢量为 ( )2Rhaikb jlck=+ ? ? 如果是立方晶系， abc= ()( ) 1 dddd nhikjlkhik jlk abca =+=+ ? ()( ) 2Rhaikb jlckha ik jlk=+=+ ? ? 比较两式得 2 d nR a = ? ? ，nR ? ? 与 平行，即晶列 hkl 垂直于同指数的晶面（hkl） () () () 222 222 222222 222 cos ddd hikjlkhaikb jlck hkl n Rabc ddd nRhkl hikjlkhaikb jlck h ak bl c abc abc + + = + + ? ? ? ? ? ? ? 如果是立方晶系，cos1=，表示平行，即晶列 hkl 垂直于同指数的晶面（hkl） 如果不是立方晶系，例如四方晶系(, 2 abc) = () 222 222 222222 222 cos hkl n R nRhkl h ak al c aac + = + ? ? ? ? ? 第一章 晶体的结构习题 4 显然，cos1 ， 即晶列 hkl 不垂直于同指数的晶面（hkl） 。 nR ? ? 即 与 不平行， 1.8 验证晶面( ) ()( 210110012、)是否属于同一晶带？若是同一晶带，其带轴方向的晶列指数是什么？ 解答：参考王矜奉 1.1.6；根据习题 1.10，三个晶面属于同一晶带的条件是 123 123 123 0 hhh hhh hhh = ，而() ()() 210 11121 2 1 111 0120 012 = + = 所以晶面( ) ()( 210110012、)是属于同一晶带。 三晶面属于同一晶带uvw其带轴方向的晶列指数是uvw， （交线为晶带轴，此即为晶带轴的方向指数） ， 则满足 ()()() 123 0 h Kuavbwch ah bh cuavbwc +=+= ? ? ? ? ? 因为2aabbcc = ? 得 123 0huh vh w+= 同理有 123 0huh vh w+= 123 0huh vh w+= 得 1223 1223 hhhh w uhhhh = ， 3123 3123 hhhh v uhhhh = 得 233112 233112 100221 : :1:2:1 111111 hhhhhh u v w hhhhhh = = 1.9 晶面指数为（123）的晶面 ABC 是离原点 O 最近的晶面，OA、OB、和 OC 分别与基矢重合， 除 O 点外， ，OA、OB、和 OC 上是否有格点？若 ABC 的面指数为（234） ，情况又如何？ 123 ,a a a ? ? ? ? ? 解答：参考 1.2.5 晶面族（123）截分别为 1,2,3 等份，ABC 面是离原点 O 最近的晶面，OA 的长度等于 123 ,a a a ? ? ? ? ? 1 a ? 长 度， OB 的长度等于长度的 1/2， OC 的长度等于 2 a ? ? 3 a ? ? 长度的 1/3， 所以 A 是格点。 若 ABC 的面指数为 （234） ， 则 A、B、C 都不是格点。 1.10 与晶列 1 2 3 ll l垂直的倒格面的面指数是什么？ 第一章 晶体的结构习题 解答：王矜奉 1.1.8 正格子与倒格子互为倒格子，正格子晶面() 123 ,hh h与倒格式 12 123 hKh bh bh b=+3 ? ? ) 垂直，则倒格晶面 与正格矢正交，即晶列( 1 2 3 ll l 112233l Rl al al a=+ ? ? ? ? 1 2 3 l l l与倒格面() 1 2 3 ll l垂直。 1.11 面心立方和体心立方晶格中原子线密度最大的是哪个方向？ 解答：参考王矜奉 1.2.11 面间距最大的晶面上的格点 最密， 格点最密的线一定分布在 格点最密的面上。 根据固体物理学习题 1.12，面心立方晶格中格点面密 度最大的面是面指数为（111） 的晶面， 所以面心立方晶格中原 子线密度最大的方向是晶面 （111）内如图所示，最小的晶 列周期为2 /2a. 体心立方晶格中，面密度最大的面是面指数为（110）的晶面，所以面心立方晶格中原子线密度最大的 方向是晶面（110）内如图所示，最小的晶列周期为3 /2a. 1.12 二维布喇菲点阵只有五种，试列举并画图表示之。 解答：参考基泰尔 P6 有斜方晶格、正方晶格、长方晶格、六角晶格和有心长方晶格五种。 5 1 a ? 2 a ? ? 12 a ,a a ? ? ? （ ）斜方晶格， 任意， 任意. 1 a ? 2 a 1 a ? 2 a ? ? ? ? 12 b ,/2.aa= ? ? （ ）正方晶格， 12 c ,/2.aa= ? ? （ ）长方晶格， 2 a ? ? 1 a ? 12 d ,2 /3.aa= ? ? （ ）六角方晶格， 1 a ? 1 a ? 2 a ? ? 2 a ? ? 12 e ,/2.aa= ? ? （ ）长方晶格， 左边为原胞，右为晶胞， 且 第一章 晶体的结构习题 6 1.13 具有 4 度象轴而没有 4 度旋转对称轴的晶体，有没有对称中心？举例说明。 解答： 1.14 如晶体中存在两个相互交角为/4 的对称面，试问这两个对称面的交线是几度旋转对称轴？ 解答： 1.15 面心立方元素晶体中最小的晶列周期为多大？该晶列在那些晶面内？ 解答：参考王矜奉 1.1.12 周期最小的晶列一定在原子面密度最大的晶面内。若以密堆积模型，则原子密度 最的晶面就是密排面。如固体物理学图 1-9 所示，可知密勒指数（111）可以 证明原胞坐标系中的面指数也为(111)是一个密排面晶面族，最小的晶列周期为 2 /2a.根据同族晶面族的性质，周期最小的晶列处于（111）晶面内。 1.16 对晶体做结构分析时，为什么不使用可见光？ 解答：固体物理学式（1-39）布拉格反射公式() 1 2 3 2sin1 39 h h h dn=，当入射波长一定时，入射 角只有符合 1 2 3 sin2 h h h nd=时才能发生衍射。由于sin1，则当 n=1 时，必有 1 2 3 2 h h h d。晶体中 原子间距的数量级为，要使原子晶格成为光波的衍射光栅，光波的波长应小于。但可见光 的波长为，是晶体中原子间距的 1000 倍。因此，在晶体衍射中，不能用可见光。 10 10m 10 10m () 7 4.07.610 m 1.17 在晶体的 X 射线衍射中，为了实现来自相继晶面的辐射发生相长干涉，对于高指数的晶面，应采用 长的还是短的波长？ 解答： 1.18 高指数的晶面族与低指数的晶面族相比，对于同级衍射，哪一晶面衍射光弱？为什么？ 解答： （参考王矜奉 1.1.14） 对于同一级衍射，高指数的晶面族衍射光弱，低指数的晶面族衍射光强。低指数的晶面族面间距大， 晶面上的原子密度大，这样的晶面对射线的反射（衍射）作用强。相反，高指数的晶面族面间距小，晶面 上的原子数密度小，这样的晶面对射线的反射（衍射）作用弱。 另外，由固体物理学式（1-39）布拉格反射公式 () 1 2 3 2sin1 3 h h h dn= 9 可知，面间距大的晶面，对应一个小的光的掠射角，面间距小的晶面，对应一个大的光的掠射角， 越大，光的透射能力越强，反射能力越弱。 1.19 温度升高时，衍射角如何变化？X 光波长变化时，衍射角如何变化？ 解答： （参考王矜奉 1.1.15）由固体物理学式（1-39）布拉格反射公式 () 1 2 3 2sin1 3 h h h dn= 9 可知，对于同一级衍射，当 X 光波长不变时，面间距之间变大，衍射角逐渐变小，所以温度 升高，由于热膨胀，面间距逐渐变大，衍射角变小。 1 2 3 h h h d 1 2 3 h h h d 当温度不变时，X 光波长变大时，对于同一晶面族，衍射角随之变大。 1.20 体心立方元素晶体，密勒指数（100）和（110）面，原胞坐标系中的一级衍射，分别对应晶胞坐标系 第一章 晶体的结构习题 7 中几级衍射？ 解答： （参考王矜奉 1.1.16,1.2.15，王矜奉教材 29 页） 根据固体物理学1.5 节， 根据固体物理学式（1-9）体心立方晶体的固体物理学原胞和结晶学晶胞的中基矢分别为 () () () 1 2 3 2 2 2 a aij a aijk a aijk = + =+ =+ ? ? ? k ? 和 aai ba j cak = = = ? ? ? 倒格矢分别为 () () () 1 2 3 2 2 2 bjkb a bika a bija a =+=+ =+=+ =+=+ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? c c b 和 () () () 123 123 123 21 2 21 2 21 2 aibb a bjbbb a ckbbb a =+ =+ =+ ? ? b ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 与固体物理学原胞晶面族() 1 23 hh h和结晶学晶胞晶面族()hkl对应的倒格矢分别为 ()()() ()()()( ) 1 2 3 1 12233123 231312 h h h Kh bh bh bh bchachab hhahh bhhca =+=+ =+ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ()()() ()()()( ) 123123123 123 222 1 2 hkl hkl Khakblcbbbbbbbbb hkl bhkl bhkl bb =+=+ = + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 根据固体物理学式（1-18）晶面间距离分别为 1 2 3 1 2 3 22 , h h hhkl h h hhkl dd KK =? ? ? 又根据固体物理学式（1-39）布拉格反射公式， ( ) 1 2 3 2sin h h h dn=c d ) e ( )2sin hkl dn= 衍射角相同意味着与为同一晶族，对应的倒格矢平行，即 () 1 23 hh h(hkl ( ) 1 2 3 h h hhkl KpK= ? ? ? 其中 p 是一个常数。 比较得式（a）和（c） 第一章 晶体的结构习题 8 ()()()()( ) 231312 hklphhhhhhf=+ p 为()的公约数。 () ( 231312 ,hhhhhh+) 比较比较得式（b）和（c） ( ) 1 2 3 2 hklh h h p KK = ? ? ? g ()()()()( ) 1 23 1 hh hhklhklhklh p = + p 为()的公约数。 () (,hklhklhkl +) 对于体心立方元素晶体，对应密勒指数()100的原胞体系的指数根据式（h） ()()()()()()()() 1 23 11 1 00 1 00 1 00111hh hhklhklhkl pp = += += 1p =，由式（c） 、 （d）和（g）可知2n n =，即对于体心立方元素晶体，对应密勒指数(晶面族的 原胞体系中一级衍射，对应晶胞坐标系中的二级衍射。 )100 对于体心立方元素晶体，对应密勒指数()110的原胞体系的指数根据式（h） ()()()()()()()() 1 23 11 1 1 0 1 1 0 1 1 0001 2 hh hhklhklhkl pp = += + + + = 1 2p =，由式（c） 、 （d）和（g）可知n n =，即对于体心立方元素晶体，对应密勒指数(晶面族的原 胞体系中一级衍射，对应晶胞坐标系中的一级衍射。 ) 9 d 100 1.21 如果间距为 d 的两个相邻原子面上 X 射线反射彼此加强，间距为 2d，3d，4d，的两个原子面上的 反射是否也彼此加强？反之，如果间距为 2d 的两个面的反射满足布喇格公式，间距为 d 的面上的反射是 否加强？ 解答：根据固体物理学式（1-39） () 1 2 3 2sin1 3 h h h dn= 时满足衍射加强，是晶面族的面间距，与原子间间距成正比，即 1 2 3 h h h d 1 2 3 h h h dm=。 显然当间距为 d 的两个原子满足式（1-39）时，间距为 2d，3d，4d，的两个原子面也满足衍射加强。 反之，如果间距为 2d 的两个面的反射满足布喇格公式时，如 n 为奇数时，间距为 d 的面不满足衍射方程， 而当 n 为偶数时，间距为 d 的面满足衍射方程，表示此面上的反射是加强的。 1.22 金刚石和锗的几何结构因子有何异同？ 解答： （参考王矜奉 1.1.18）几何结构因子的表达式（1-52） 第一章 晶体的结构习题 9 () 2 e jjj in hukvlw hklj j Ff + = 其中, jj u v wj是一个晶胞内，第 j 个原子的位置矢量在, ,a b c ? ? ? 轴上投影的系数。 金刚石和锗具有相同的结构，尽管它们的, ,a b c ? ? ? 大小不相同，但第 j 个原子的位置矢量在轴上投 影的系数相同。如果认为晶胞内各个原子的散射因子 , ,a b c ? ? ? i f都一样，则几何结构因子化为 () 2 e jjj in hukvlw hkl j Ff + = 在这种情况下金刚石和锗的几何结构因子的求和部分相同。由于金刚石和锗原子中的电子数和分布不同， 几何结构因子中的原子散射因子 f 不会相同。 1.23 旋转单晶法中，将胶片卷成以转轴为轴的圆筒，胶片上的感光线是 否等间距？ 解答： （参考王矜奉 1.1.19、1.2.23）转动单晶衍射法，晶体正格矢转动， 倒格矢也转动。倒格点可以看成分布在与转轴垂直的、等间距的一个个倒 格晶面上。由于倒格晶面旋转，落在反射球面上的倒格点的轨迹形成一个 个圆。反射球心到迹线上任一点的连线即是 X 射线极大地方向。反射球 心到任一迹线的连线构成了一个个圆锥面。 设（如面心立方）晶体与转轴垂直的倒格面面指数为() 1 2 3 ll l，则倒格面 的面间距 1 2 3 112233 22 l l l d Rl al al a = + ? ? ? 正格矢 1 2 3 112233l l l Rl al al a=+ ? ? ? 与倒格面垂直，即与转轴平行，由图有 ( 1 2 3 ll l) sin 2 / m md = 其中2 / 是 X 光的波矢，即反射球的半径、现已知与转轴垂直的晶面的米勒指数为(，在立方晶系 中，晶列 )hkl 3 hkl Rhakblc=+ ? ? 3 与转轴平行。利用面心立方结构晶胞基矢与原胞基矢的关系 12 123 123 aaaa baaa caaa = + =+ =+ ? ? ? ? ? ? ? ? ? 可得 第一章 晶体的结构习题 10 ()()() 1 2 3 123hkll l l Rhakblchkl ahkl ahkl apR=+= += ? ? ? 其中 p 是公约数，由立方晶体的 () () (,hklhklhkl +) 3 22 hkl 2 Rhakblca hkl=+=+ ? ? 可得 222 sin m mp a hkl = + 得到sin m 与整数成正比。 而将胶片卷成以转轴为轴的圆筒，衍射线构成了一个个圆锥面，每个圆锥面在半径为 R 的圆筒形胶片上的 间距 s 为 mm sRtg= 显然不是成正比的，所以胶片上的感光线不是等间距的。 第二章 晶体的结合和弹性 习题 第二章 晶体的结合和弹性 2.1 是否有库仑力无关的晶体结合类型？ 解答： （参考王矜奉 2.1.1，中南大学 2.1.1） 共价结合中，电子虽然不能脱离电负性大的原子，但靠近的两个电负性大的原子可以各出一个电子，形 成电子共享的形式， 即这一对电子的主要活动范围处于两个原子之间， 通过库仑力， 把两个原子连接起来。 离子晶体中，正离子与负离子的吸引力就是库仑力。金属结合中，原子实依靠原子实与电子云之间的库仑 力紧紧地吸引着。分子结合中，是电偶极矩把原本分离的原子结合成了晶体。电偶极矩的作用力实际就是 库仑力。氢键结合中，氢先与电负性大的原子形成共价结合后，氢核与负电中心不在重合，迫使它通过库 仑力再与另一个电负性大的原子结合。 可见，所有晶体结合类型都与库仑力有关。 2.2 如何理解库仑力是原子结合的动力？ 解答： （参考王矜奉 2.1.2，中南大学 2.1.2） 晶体结合中, 原子间的排斥力是短程力, 在原子吸引靠近的过程中, 把原本分离的原子拉近的动力只 能是长程力, 这个长程吸引力就是库仑力. 所以, 库仑力是原子结合的动力. 2.3 为什么组成晶体的粒子（分子、原子或离子）间的相互作用力除吸引力还要有排斥力？排斥力的来源 是什么？ 解答： （参考王矜奉 2.1.4，中南大学 2.1.4） 邻的原子靠得很近, 以至于它们内层闭合壳层的电子云发生重叠时, 相邻的原子间便产生巨大排斥 力. 也就是说, 原子间的排斥作用来自相邻原子内层闭合壳层电子云的重叠. 2.4 晶体的结合能、内能、以及原子间的相互作用势能有何区别？ 解答： （参考王矜奉 2.1.3，中南大学 2.1.3） 自由粒子结合成晶体过程中释放出的能量, 或者把晶体拆散成一个个自由粒子所需要的能量, 称为晶 体的结合能. 原子的动能与原子间的相互作用势能之和为晶体的内能. 在 0K 时, 原子还存在零点振动能. 但零点振动能与原子间的相互作用势能的绝对值相比小得多. 所以, 在 0K 时原子间的相互作用势能的绝对值近似等于晶体的结合能. 2.5 试述范德瓦耳斯力的起源和特点。 解答： 范德瓦耳斯力是依靠分子中的电偶极矩间的相互作用产生的作用力。一般分为三种类型： （1）由极性 分子中的固有偶极矩产生的力，称为范德瓦耳斯-葛生力； （2）有极性分子和极性分子间感应偶极矩产生的 力，称为范德瓦耳斯-德拜力； （3）由非极性分子中的瞬时偶极矩产生的力，称为范德瓦耳斯-伦敦力。 范德瓦尔斯力的特点是键的结合没有饱和性和方向性， 结合力很微弱。 这种力形成的晶体一般低熔点， 低沸点，硬度小，易压缩，电绝缘，透射光谱从红外线直至远紫外线。 具有球对称电子云分布的中性原子之间，由于核周围电子运动的涨落，这种由中性原子等组成的非极 性分子之间存在着瞬间、周期变化的偶极矩，这种瞬时偶极矩间的相互作用，产生了非极性分子晶体的结 合力（这种结合力是由于瞬时电偶极矩的感应作用产生） ，称为范德瓦尔斯力-伦敦力。 2.6 对于由正负离子组成的系统，当存在极化时，系统的总能量增大还是减少？ 解答： 2.7 原子间的排斥作用和吸引作用有何关系？起主导的范围是什么？ 解答： （参考王矜奉 2.1.5，中南大学 2.1.5） 在原子由分散无规的中性原子结合成规则排列的晶体过程中, 吸引力起到了主要作用. 在吸引力 的作用下, 原子间的距离缩小到一定程度, 原子间才出现排斥力. 当排斥力与吸引力相等时, 晶体达 到稳定结合状态. 可见, 晶体要达到稳定结合状态, 吸引力与排斥力缺一不可. 设此时相邻原子间的 距离为, 当相邻原子间的距离时, 吸引力起主导作用; 当相邻原子间的距离时, 排斥力 起主导作用. 0 rr 0 rr时, 吸引力起主导作用; 当相邻原子间的距离, 原子间的 吸引力抗击着这一形变. 因此, 固体呈现宏观弹性的微观本质是原子间存在着相互作用力, 这种作用力既 包含着吸引力, 又包含着排斥力. 补充 2 你认为固体的弹性强弱主要由排斥作用决定呢, 还是吸引作用决定? 解答：参考（参考王矜奉 2.1.12，中南大学 2.1.12） 5 第二章 晶体的结合和弹性 习题 如上图所示, 附近的力曲线越陡, 当施加一定外力, 固体的形变就越小. 附近力曲线的斜率决 定了固体的弹性性质. 而附近力曲线的斜率主要取决于排斥力. 因此, 固体的弹性强弱主要由排斥作用 决定. 补充补充 3 拉伸一长棒, 任一横截面上的应力是什么方向? 压缩时, 又是什么方向? 解答：参考（参考王矜奉 2.1.15，中南大学 2.1.15） 如上图所示, 在长棒中取一横截面, 长棒被拉伸时, 从截面的右边看, 应力向右, 但从截面的左边 看, 应力向左. 压缩时, 如下图所示, 应力方向与拉伸时正相反. 可见, 应力方向依赖于所取截面的外法线 矢量的方向. 补充补充 4 固体中某一面积元两边的应力有何关系? 解答：参考（参考王矜奉 2.1.16，中南大学 2.1.16） 以上题为例, 在长棒中平行于横截面取一很薄的体积元, 拉伸时体积元两边受的应力如图所示. 压缩时体积元两边受的应力如下图所示. 当体积元无限薄, 体积元将变成面积元. 从以上两图可以看出, 面积元两边的应力大小相等方向相反. 补充 5. 试述离子键、共价键、金属键、范德瓦尔斯和氢键的基本特征。 解答： （参考中南大学 2.2.1） （1）离子键：无方向性，键能相当强； （2）共价键：饱和性和方向性，其键能也非常强； （3）金属 键：有一定的方向性和饱和性，其价电子不定域于 2 个原子实之间，而是在整个晶体中巡游，处于非定域 状态，为所有原子所“共有” ； （4）范德瓦尔斯键：依靠瞬时偶极距或固有偶极距而形成，其结合力一般 与 7 r成反比函数关系，该键结合能较弱； （5）氢键：依靠氢原子与 2 个电负性较大而原子半径较小的原子 （如 O，F，N 等）相结合形成的。该键也既有方向性，也有饱和性，并且是一种较弱的键，其结合能约 6 第二章 晶体的结合和弹性 习题 为 50kJ/mol。 补充 6 有人说“晶体的内能就是晶体的结合能” ，对吗？ 解答： （参考中南大学 2.2.2） 这句话不对，晶体的结合能是指当晶体处于稳定状态时的总能量（动能和势能）与组成这晶体的 N 个 原子在自由时的总能量之差，即 0 EEE Nb =。 （其中为结合能，为组成这晶体的 N 个原子在自 由时的总能量，为晶体的总能量） 。而晶体的内能是指晶体处于某一状态时（不一定是稳定平衡状态） 的，其所有组成粒子的动能和势能的总和。 b E N E 0 E 补充 7 当 2 个原子由相距很远而逐渐接近时，二原子间的力与势能是如何逐渐变化的？ 解答： （参考中南大学 2.2.3） 当 2 个原子由相距很远而逐渐接近时，2 个原子间引力和斥力都开始增大，但首先引力大于斥力，总 的作用为引力，而相互作用势能逐渐减小；当 2 个原子慢慢接近到平衡距离时，此时， 引力等于斥力，总的作用为零，而相互作用势能达到最小值；当 2 个原子间距离继续减 小时，由于斥力急剧增大，此时，斥力开始大于引力，总的作用为斥力，而相互作用势能 也开始急剧增大。 0)(rf)(ru 补充 8 为什么金属比离子晶体、共价晶体易于进行机械加工并且导电、导热性良好？ 解答： （参考中南大学 2.2.4） 由于金属晶体中的价电子不像离子晶体、共价晶体那样定域于 2 个原子实之间，而是在整个晶体中巡 游，处于非定域状态，为所有原子所“共有” ，因而金属晶体的延展性、导电性和导热性都较好。 7 第三章 晶体振动和晶体的热学性质 1 第三章 晶体振动和晶体的热学性质 3.1 相距为某一常数（不是晶格常数）倍数的两个原子，其最大振幅是否相同？ 解答： （王矜奉 3.1.1，中南大学 3.1.1） 以同种原子构成的一维双原子分子链为例, 相距为不是晶格常数倍数的两个同种原子, 设一个原子 的振幅 A, 另一个原子振幅 B, 由固体物理学第 79 页公式，可得两原子振幅之比 (1) 其中 m 原子的质量. 由固体物理学式（3-16）和式（3-17）两式可得声学波和光学波的频率分别 为 , (2) . (3) 将(2)(3)两式分别代入(1)式, 得声学波和光学波的振幅之比分别为 , (4) . (5) 由于 =， 则由(4)(5)两式可得, 1B A= . 即对于同种原子构成的一维双原子分子链, 相距为不是晶格常数 倍数的两个原子, 不论是声学波还是光学波, 其最大振幅是相同的. 3.2 试说明格波和弹性波有何不同？ 解答：晶格中各个原子间的振动相互关系 第三章 晶体振动和晶体的热学性质 2 3.3 为什么要引入玻恩-卡门条件？ 解答： （王矜奉 3.1.2，中南大学 3.1.2） （1）方便于求解原子运动方程. 由固体物理学式（3-4）可知, 除了原子链两端的两个原子外, 其它任一个原子的运动都与相邻的 两个原子的运动相关. 即除了原子链两端的两个原子外, 其它原子的运动方程构成了个联立方程组. 但原 子链两端的两个原子只有一个相邻原子, 其运动方程仅与一个相邻原子的运动相关, 运动方程与其它原子 的运动方程迥然不同. 与其它原子的运动方程不同的这两个方程, 给整个联立方程组的求解带来了很大的 困难. （2）与实验结果吻合得较好. 对于原子的自由运动, 边界上的原子与其它原子一样, 无时无刻不在运动. 对于有N个原子构成 的的原子链, 硬性假定的边界条件是不符合事实的. 其实不论什么边界条件都与事实不 符. 但为了求解近似解, 必须选取一个边界条件. 晶格振动谱的实验测定是对晶格振动理论的最有力 验证(固体物理学3.1 与3.6). 玻恩卡门条件是晶格振动理论的前提条件. 实验测得的振动谱与理 论相符的事实说明, 玻恩卡门周期性边界条件是目前较好的一个边界条件. 3.4 试说明在布里渊区的边界上()/q=a，一维单原子晶格的振动解 n x不代表行波而代表驻波。 解答： 3.5 什么叫简正模式？简正振动数目、格波数目或格波模式数目是否是同一概念？ 解答： （王矜奉 3.1.3，中南大学 3.1.3） 为了使问题既简化又能抓住主要矛盾，在分析讨论晶格振动时，将原子间互作用力的泰勒级数中的非 线形项忽略掉的近似称为简谐近似. 在简谐近似下, 由 N 个原子构成的晶体的晶格振动, 可等效成3N 个独 立的谐振子的振动. 每个谐振子的振动模式称为简正振动模式, 它对应着所有的原子都以该模式的频率做 振动, 它是晶格振动模式中最简单最基本的振动方式. 原子的振动, 或者说格波振动通常是这 3N 个简正振 动模式的线形迭加. 简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是一回事, 这个数目等于晶体中所有原子的自由度 数之和, 即等于 3N. 3.6 有人说，既然晶格独立振动频率的数目等于晶体的自由度数，而代表一个声子。因此，对于一 给定的晶体，它所拥有声子的数目一定守恒。这种说法是否正确？ hv 解答： （王矜奉 3.1.5，中南大学 3.1.5） 频率为的格波的(平均) 声子数为 , 即每一个格波的声子数都与温度有关, 因此, 晶体中声子数目不守恒, 它是温度的变量. 第三章 晶体振动和晶体的热学性质 3 按照德拜模型, 晶体中的声子数目 N为 . 作变量代换 ， . 其中是德拜温度. 高温时, , 即高温时, 晶体中的声子数目与温度成正比. 低温时, , , 即低温时, 晶体中的声子数目与T 3成正比. 3.7 长光学支格波与长声学支格波的本质上有何区别？ 解答： （王矜奉 3.1.4，中南大学 3.1.4） 长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动, 振动频率较高, 它包含了晶格振动频 率最高的振动模式. 长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移, 原胞做整体运动, 振动 频率较低, 它包含了晶格振动频率最低的振动模式, 波速是一常数. 任何晶体都存在声学支格波, 但 简单晶格(非复式格子)晶体不存在光学支格波. 3.8 同一温度下，一个光学波的声子数目与一个声学波的声子数目相同吗？ 解答： （王矜奉 3.1.6，中南大学 3.1.6） 频率为的格波的(平均) 声子数为 . 第三章 晶体振动和晶体的热学性质 4 因为光学波的频率比声学波的频率高, ()大于(), 所以在温度一定情况 下, 一个光学波的声子数目少于一个声学波的声子数目. 3.9 对同一个振动模式，温度高时的声子数目多，还是温度低时的声子数目多？ 解答： （王矜奉 3.1.7，中南大学 3.1.7） 设温度THTL, 由于()小于(), 所以温度高时的声子数目多于温度低时的声 子数目. 3.10 由两种不同质量的原子组成的晶格，即使相邻原子间相互作用的恢复力常数相等，也将存在光学 波。试问：由质量相同的原子组成的晶格，若一个原子与两个近邻原子间有不同的恢复力常数，是否有光 学波存在？ 解答： 3.11 高频线性谐振子和低频线性谐振子中，在高温区和低温区哪个队热容的贡献大？ 解答： 3.12 在低温下，不考虑光学波对比热容的贡献合理吗？ 解答：王矜奉 3.1.17，中南大学 3.1.17） 参考固体物理学（3-84）式, 可得到光学波对热容贡献的表达式 . 在甚低温下, 对于光学波, , 上式简化为 . 以上两式中是光学波的模式密度, 在简谐近似下, 它与温度无关. 在甚低温下, , 即光学波对热容的贡献可以忽略. 也就是说, 在甚低温下, 不考虑光学波对热容的贡献 是合理的. 从声子能量来说, 光学波声子的能量很大(大于短声学波声子的能量), 它对应振幅很大 的格波的振动, 这种振动只有温度很高时才能得到激发. 因此, 在甚低温下, 晶体中不存在光学波. 3.13 若考虑非线性相互作用，当晶格发生伸长或压缩的形变时，晶格振动的频率是否变化？如何变 化？ 解答： 3.14 试简述固体中的非线性振动对固体的热膨胀、弹性模量、热容、热导、热阻等物理性质的影响。 解答： 3.15 喇曼散射方法中，光子会不会产生倒逆散射？ 解答： （王矜奉 3.1.10，中南大学 3.1.10） 第三章 晶体振动和晶体的热学性质 5 晶格振动谱的测定中, 光波的波长与格波的波长越接近, 光波与声波的相互作用才越显著. 喇曼 散射中所用的红外光， 对晶格振动谱来说, 该波长属于长波长范围. 因此, 喇曼散射是光子与长光学波 声子的相互作用. 长光学波声子的波矢很小, 相应的动量不大. 而能产生倒逆散射的条件是光的入 射波矢与散射波矢要大, 散射角也要大. 与大要求波长小, 散射角大要求大(参见下 图), . 但对喇曼散射来说, 这两点都不满足. 即喇曼散射中，光子不会产生倒逆散射. 3.16 长声学波能否导致离子晶体的宏观极化？ 解答： （王矜奉 3.1.11，中南大学 3.1.11） 长光学格波所以能导致离子晶体的宏观极化, 其根源是长光学格波使得原胞内不同的原子(正负离子) 产生了相对位移. 长声学格波的特点是, 原胞内所有的原子没有相对位移. 因此, 长声学格波不能导致离 子晶体的宏观极化. 3.17 何谓极化声子？何谓电磁声子？ 解答： （王矜奉 3.1.13，中南大学 3.1.13） 长光学纵波引起离子晶体中正负离子的相对位移, 离子的相对位移产生出宏观极化电场, 称长光学纵 波声子为极化声子. 由 固体物理学 式(3.80a)式可知, 长光学横波与电磁场相耦合, 使得它具有电磁性质, 人们称长 光学横波声子为电磁声子. 3.18 温度降到很低时。爱因斯坦模型与实验结果的偏差增大，但此时，德拜模型却与实验结果符合的 较好。试解释其原因。 解答： （王矜奉 3.1.16，18，中南大学 3.1.16,18） 按照爱因斯坦温度的定义, 爱因斯坦模型的格波的频率大约为, 属于光学支频率. 但光学 格波在低温时对热容的贡献非常小, 低温下对热容贡献大的主要是长声学格波. 也就是说爱因斯坦没 考虑声学波对热容的贡献是爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源. 在甚低温下, 不仅光学波得不到激发, 而且声子能量较大的短声学格波也未被激发, 得到激发的只是 声子能量较小的长声学格波. 长声学格波即弹性波. 德拜模型只考虑弹性波对热容的贡献. 因此, 在甚低 温下, 德拜模型与事实相符, 自然与实验相符. 3.19 绝对零度时还有格波存在吗？若存在，格波间还有能量交换吗？ 第三章 晶体振动和晶体的热学性质 6 解答： （王矜奉 3.1.19，中南大学 3.1.19） 频率为的格波的振动能为 , 其中是由个声子携带的热振动能, ()是零点振动能, 声子数 . 绝对零度时, =0. 频率为的格波的振动能只剩下零点振动能. 格波间交换能量是靠声子的碰撞实现的. 绝对零度时, 声子消失, 格波间不再交换能量. 3.20 石英晶体的热膨胀系数很小，问它的格林爱森常数有何特点？ 解答： （王矜奉 3.1.21，中南大学 3.1.21） 由本教科书(3.158)式可知, 热膨胀系数与格林爱森常数成正比. 石英晶体的热膨胀系数很小, 它 的格林爱森常数也很小. 格林爱森常数大小可作为晶格非简谐效应大小的尺度. 石英晶体的格林爱森常 数很小, 说明它的非简谐效应很小. 补充 1 温度很低时, 声子的自由程很大, 当时, , 问时, 对于无限长的晶体, 是否 成为热超导材料? 解答： （王矜奉 3.1.20，中南大学 3.1.20） 对于电绝缘体, 热传导的载流子是声子. 当时, 声子数n. 因此, 时, 不论晶体是长 还是短, 都自动成为热绝缘材料. 补充 2 对于光学横波, 对应什么物理图象? 解答： （王矜奉 3.1.15，中南大学 3.1.15） 格波的频率与成正比. 说明该光学横波对应的恢复力系数. 时, 恢复力 消失, 发生了位移的离子再也回不到原来的平衡位置, 而到达另一平衡位置, 即离子晶体结构发生了改变 (称为相变). 在这一新的结构中, 正负离子存在固定的位移偶极矩, 即产生了自发极化, 产生了一个稳定的 极化电场. 补充 3你认为简单晶格存在强烈的红外吸收吗？ 解答： （王矜奉 3.1.14，中南大学 3.1.14） 第三章 晶体振动和晶体的热学性质 7 实验已经证实, 离子晶体能强烈吸收远红外光波. 这种现象产生的根源是离子晶体中的长光学横波能 与远红外电磁场发生强烈耦合. 简单晶格中不存在光学波, 所以简单晶格不会吸收远红外光波. 补充 4 金刚石中的长光学纵波频率与同波矢的长光学格横波频率是否相等? 对 KCl 晶体, 结论又是什 么? 解答： （王矜奉 3.1.12，中南大学 3.1.12） 长光学纵波引起离子晶体中正负离子的相对位移, 离子的相对位移产生出宏观极化电场, 电场的方向 是阻滞离子的位移, 使得有效恢复力系数变大, 对应的格波的频率变高. 长光学格横波不引起离子的位移, 不产生极化电场, 格波的频率不变. 金刚石不是离子晶体, 其长光学纵波频率与同波矢的长光学格横波 频率相等. 而 KCl 晶体是离子晶体, 它的长光学纵波频率与同波矢的长光学格横波频率不相等, 长光学纵 波频率大于同波矢的长光学格横波频率. 补充5 从图3.6 所示实验曲线, 你能否判断哪一支格波的模式密度大? 是光学纵波呢, 还是声学纵波? 解答： （王矜奉 3.1.9，中南大 学 3.1.9） 从图 3.6 所示实验曲线可以看 出, 在波矢空间内, 光学纵波振动 谱线平缓, 声学纵波振动谱线较陡. 单位频率区间内光学纵波对应的波 矢空间大, 声学纵波对应的波矢空 间小. 格波数目与波矢空间成正比, 所以单位频率区间内光学纵波的格 波数目大. 而模式密度是单位频率 区间内的格波数目, 因此光学纵波 的模式密度大于声学纵波的模式密 度. 补充 6 高温时, 频率为的格波的声子数目与温度有何关系? 解答： （王矜奉 3.1.8，中南大学 3.1.8） 温度很高时, , 频率为的格波的(平均) 声子数为 . 可见高温时, 格波的声子数目与温度近似成正比. 补充 7 什么是简谐近似？ 解答： （参考中南大学 3.2.1） 当原子在平衡位置附近作微小振动时，原子间的相互作用可以视为与位移成正比的虎克力，由此得出 第三章 晶体振动和晶体的热学性质 8 原子在其平衡位置附近做简谐振动。这个近似即称为简谐近似。 补充 8 周期性边界条件的物理含义是什么？引入这个条件后导致什么结果？如果晶体是无限大，q的取值 将会怎样？ 解答： （参考中南大学 3.2.3） 由于实际晶体的大小总是有限的，总存在边界，而显然边界上原子所处的环境与体内原子的不同，从 而造成边界处原子的振动状态应该和内部原子有所差别。考虑到边界对内部原子振动状态的影响，波恩和 卡门引入了周期性边界条件。其具体含义是设想在一长为的有限