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7.9 最小多项式,一、最小多项式的定义,二、最小多项式的基本性质,7.9 最小多项式,第七章 线性变换,7.9 最小多项式,由哈密尔顿凯莱定理,,是A的特征多项式,则,因此,对任定一个矩阵 ,总可以找到一个,多项式 使,多项式 以A为根.,引入,本节讨论,以矩阵A为根的多项式的中次数最低的,那个与A的对角化之间的关系.,此时,也称,7.9 最小多项式,一、最小多项式的定义,定义:,设 在数域P上的以A为根的多项,为A的最小多项式.,式中,次数最低的首项系数为1的那个多项式,称,7.9 最小多项式,二、最小多项式的基本性质,证:设 都是A的最小多项式.,由带余除法, 可表成,其中 或,于是有,7.9 最小多项式,由最小多项式的定义,,即,,同理可得,,又 都是首1多项式,故,7.9 最小多项式,2.(引理2)设 是矩阵A的最小多项式,则,以A为根,证:充分性显然,只证必要性,由带余除法, 可表成,其中 或,于是有,7.9 最小多项式,由最小多项式的定义,,由此可知:,若 是A的最小多项式,则 整 除 任何一,个以A为根的多项式,从而整除A的特征多项式. 即,7.9 最小多项式,例1、数量矩阵 kE的最小多项式是一次多项式,特别地,单位矩阵的最小多项式是 ;,零矩阵的最小多项式是 .,反之,若矩阵A的最小多项式是一次多项式,则,A一定是数量矩阵.,例2、求 的最小多项式.,7.9 最小多项式,解:A的特征多项式为,又, A的最小多项式为,7.9 最小多项式,证:设矩阵A与B相似, 分别为它们的,最小多项式.,由A相似于B,存在可逆矩阵T , 使,从而,也以B为根,,同理可得,从而,又 都是首1多项式,,7.9 最小多项式,反之不然,即最小多项式相同的矩阵未必相似.,如:,的最小多项式皆为 但A与B不相似.,注:,即,所以,A与B不相似.,7.9 最小多项式,5.(引理3)设A是一个准对角矩阵,并设 的最小多项式分别为 .,则A的最小多项式为 的最小公倍式.,证:记,首先,,即A为 的根.,7.9 最小多项式,所以 被A的最小多项式整除.,则,从而,其次,如果,从而,故 为A的最小多项式.,7.9 最小多项式,若A是一个准对角矩阵,且 的最小多项式为,则A的最小多项式是为,推广:,特别地,若 两两互素,即,则A的最小多项式是为,7.9 最小多项式,6.(引理4) 级若当块,的最小多项式为,证:J的特征多项式为,7.9 最小多项式,而,的最小多项式为,7.9 最小多项式,6.(定理13) 与对角矩阵相似,的最小多项式是P上互素的一次因式的积.,证:由引理3的推广,必要性显然. 只证充分性.,根据矩阵与线性变换之间的对应关系,,设V上线性变换 在某一组基下的矩阵为A,,则,则 的最小多项式与A的最小多项式相同,设为,7.9 最小多项式,若 为P上互素的一次因式的乘积:,则,其中,(此结论的证明步骤同定理12),把 各自的基合起来就是V的一组基.,从而A相似于对角矩阵.,特征向量.,所以, 在这组基下的矩阵为对角矩阵.,在这组基中,每个向量都属于某个 , 即是 的,7.9 最小多项式,8.
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