递推求解new课件.ppt

2019/6/27,1,ACM 程序设计,计算机学院 刘春英,2019/6/27,2,今天，,你 了吗？,AC,2019/6/27,3,每周一星（2）：,06057231杨振华,2019/6/27,4,第三讲 递 推 求 解,2019/6/27,5,先来看一个超级简单的例题:,有5人坐在一起，当问第5个人多少岁,他说比第4个人大2岁，问第4个人多少岁,他说比第3个人大2岁，依此下去，问第一个人多少岁，他说他10岁，最后求第5个人多少岁？,如果所坐的不是5人而是n人，写出第n个人的年龄表达式。,2019/6/27,6,显然可以得到如下公式:,化简后的公式: F(n)=10+(n-1)*2,2019/6/27,7,再来一个简单题:,2019/6/27,8,再来一个简单题:,蟠桃记,2019/6/27,9,递推公式?,F(n)=(F(n-1)+1)*2,2019/6/27,10,Fibnacci 数列：,即：1、2、3、5、8、13、21、34,2019/6/27,11,思考:,递推公式的伟大意义？,有了公式，人工计算的方法？,常见的编程实现方法？（优缺点？）,2019/6/27,12,简单思考题:,在一个平面上有一个圆和n条直线，这些直线中每一条在圆内同其他直线相交，假设没有3条直线相交于一点，试问这些直线将圆分成多少区域。,2019/6/27,13,是不是这个,F(1)=2; F(n) = F(n-1)+n;,化简后： F(n) = n(n+1)/2 +1;,2019/6/27,14,太简单了?,来个稍微麻烦一些的,2019/6/27,15,例: （2050）折线分割平面,问题描述： 平面上有n条折线，问这些折线最多能将平面分割成多少块? 样例输入 1 2 样例输出 2 7,2019/6/27,16,思考2分钟:如何解决?,2019/6/27,17,结论:,Zn = 2n ( 2n + 1 ) / 2 + 1 - 2n = 2 n2 n + 1,为什么?,2019/6/27,18,趁热打铁，,来个差不多的,2019/6/27,19,说起佐罗，大家首先想到的除了他脸上的面具，恐怕还有他每次刻下的“Z”字。我们知道，一个“Z”可以把平面分为2部分，两个“Z”可以把平面分为12部分，那么，现在的问题是：如果平面上有n个“Z”,平面最多可以分割为几部分呢？ 说明1：“Z”的两端应看成射线 说明2：“Z”的两条射线规定为平行的,附加思考题（还没加到OJ）： “佐罗”的烦恼,2019/6/27,20,总结：递推求解的基本方法：,首先确认，是否能很容易的得到简单情况的解,假设规模为N-1的情况已经得到解决,重点分析：当规模扩大到N时，如何枚举出所有的情况，并且要确保对于每一种子情况都能用已经得到的数据解决。,强调： 1、编程中的空间换时间的思想 2、并不一定是从N-1到N的分析,2019/6/27,21,问题的提出： 设有n条封闭曲线画在平面上，而任何两条封闭曲线恰好相交于两点，且任何三条封闭曲线不相交于同一点，问这些封闭曲线把平面分割成的区域个数。,思考题：平面分割方法,2019/6/27,22,F(1)=2 F(n)=F(n-1)+2(n-1),2019/6/27,23,某人写了n封信和n个信封，如果所有的信都装错了信封。求所有的信都装错信封,共有多少种不同情况。,1465 不容易系列之一,2019/6/27,24,分析思路：,1、当N=1和2时，易得解，假设F(N-1)和F(N-2)已经得到，重点分析下面的情况：,4、后者简单，只能是没装错的那封信和第N封信交换信封，没装错的那封信可以是前面N-1封信中的任意一个，故= F(N-2) * (N-1),3、前者，对于每一种错装，可以从N-1封信中任意取一封和第 N封错装，故=F(N-1) * (N-1),2、当有N封信的时候，前面N-1封信可以有N-1或者 N-2封错装,2019/6/27,25,得到如下递推公式：,基本形式：d1=0; d2=1 递归式：dn= (n-1)*( dn-1 + dn-2),这就是著名的错排公式,2019/6/27,26,在2n的一个长方形方格中,用一个1 2的骨牌铺满方格, 例如n=3时,为2 3方格，骨牌的铺放方案有三种(如图), 输入n ,输出铺放方案的总数,思考题（2046）：,2019/6/27,27,有1n的一个长方形，用11、12、13的骨牌铺满方格。例如当n=3时为13的方格，此时用11，12，13的骨牌铺满方格，共有四种铺法。如图,输入 n（0=n=30）; 输出 铺法总数,再思考：,2019/6/27,28,仔细分析最后一个格的铺法,发 现无非是用11,12,13三种铺法,很容易就可以得出： f(n)=f(n-1)+f(n-2)+f(n-3); 其中f(1)=1,f(2)=2,f(3)=4,典型例题,最后一个思考题（有点难度）：,Childrens Queue,2019/6/27,30,用F(n)表示n个人的合法队列， 作如下分析：,按照最后一个人的性别分析，他要么是男，要么是女，所以可以分两大类讨论： 1、如果n个人的合法队列的最后一个人是男，则对前面n-1个人的队列没有任何限制，他只要站在最后即可，所以，这种情况一共有F(n-1);,2019/6/27,31,2、如果n个人的合法队列的最后一个人是女，则要求队列的第n-1个人务必也是女生，这就是说，限定了最后两个人必须都是女生，这又可以分两种情况： 2.1、如果队列的前n-2个人是合法的队列，则显然后面再加两个女生，也一定是合法的，这种情况有F(n-2); 2.2、但是，难点在于，即使前面n-2个人不是合法的队列，加上两个女生也有可能是合法的，当然，这种长度为n-2的不合法队列，不合法的地方必须是尾巴，就是说，这里说的长度是n-2的不合法串的形式必须是“F(n-4)+男+女”，这种情况一共有F(n-4).,2019/6/27,32,结论：,所以，通过以上的分析，可以得到递推的通项公式： F(n)=F(n-1)+F(n-2)+F(n-4) (n3) 然后就是对n=3 的一些特殊情况的处理了，显然： F(0)=1 (没有人也是合法的，这个可以特殊处理，就像0的阶乘定义为1一样) F(1)=1 F(2)=2 F(3)=4,2019/6/27,33,有排成一行的个方格，用红(Red)、粉(Pink)、绿(Green)三色涂每个格子，每格涂一色，要求任何相邻的方格不能同色，且首尾两格也不同色求全部的满足要求的涂法.,附加思考题： 不容易系列之(3) LELE的RPG难题,2019/6/27,34,一把钥匙有N个槽，2N26槽深为1，2，3，4,5,6。每钥匙至少有3个不同的深度且相连的槽其深度之差不得为5。求这样的钥匙的总数。 本题无输入 对2N26，输出满足要求的钥匙的总数。,附加思考题： 1480_钥匙计数之二,2019/6/27,35,详见解题报告：,/forum/read.php?tid=2294&page=1&toread=1 仔细阅读，耐心品味，关键掌握从n-1到n的推导过程。,2019/6/27,36,Any question?,2019/6/27,37,HDOJ作业：,一、课后在线练习: ACM ProgrammingExercise（3） 二、相关题目： 12