虚功原理和结构的位移计算.ppt

9虚功原理和结构的位移计算,9-1 位移计算概述,一、静定结构的位移,静定结构在荷载、温度变化、支座移动以及制造误差等因素作用下，结构的某个截面通常会产生水平线位移、竖向线位移以及角位移。,1. 截面位移,桁架受荷载作用,刚架受荷载作用,2. 广义位移,通常把两个截面的相对水平位移、相对竖向位移以及相对转角叫做广义位移。,支座B下沉,温度变化,(b),(c),A、B截面相对竖向位移,A、B截面相对水平位移,(e),(d),为AB杆转角,为A左、右截面相对转角,一 、虚功,力P在由非该力引起的位移上所作的功叫作虚功。,9-2 虚功和虚功原理,实功：,虚功：,虚功强调作功的力与位移无关。,二、 变形体虚功原理,定义：设变形体在力系作用下处于平衡状态，又设该变形体由于其它原因产生符合约束条件的微小连续变形，则外力在位移上做的外虚功W恒等于各微段应力的合力在变形上作的内虚功Wi ，即W=Wi 。,下面讨论W及Wi 的具体表达式。,外力虚功：,微段ds的内虚功dWi：,整根杆件的内虚功为：,根据虚功方程W=Wi，所以有：,结构通常有若干根杆件，则对全部杆件求总和得：,变形体虚功原理有两种应用形式，即虚力原理和虚位移原理。虚力原理：虚设平衡力系求位移; 虚位移原理：虚设位移求未知力。 用变形体虚力原理求静定结构的位移，是将求位移这一几何问题转化为静力平衡问题。,所以,在变形体虚功方程中，若外力只是一个单位荷载 ，则虚功方程为 ：,9-3 单位荷载法计算位移和位移计算一般公式,下面以图示刚架为例对位移计算的一般公式加以具体说明。,给定位移、变形,虚设平衡力系,1. 欲求 ，则在C截面加上竖向单位载荷 ，则该静定刚架就产生了一组平衡力系。,2. 位移计算一般公式 外力虚功 内虚功 所求位移,给定的位移和变形。力和位移无关。,3. 小结 单位载荷 在结构中产生的内力和支座反力，,一、荷载作用在下位移的计算公式及计算位移的步骤,虚设平衡力系,给定位移、变形,求下图示结构在荷载作用下的位移 。,9-4 荷载作用下的位移计算,若结构只有荷载作用，则位移计算一般公式为：,上式适用的条件是：小变形，材料服从虎克定律，即体系是线性弹性体。,在荷载作用下，应变 与内力,的关系式如下：（式中k为剪应力不均匀系数）,正负号规则：,2） 和 以拉力为正，压力为负；,3） 和 的正负号见下图。,求位移步骤如下： 沿拟求位移方向虚设性质相应的单位载荷； 求结构在单位载荷作用下的内力和支座反力； 利用位移计算一般公式求位移。,二、各类结构的位移计算公式,1. 梁和刚架,在梁和刚架中，由于轴向变形及剪切变形产生的位移可以忽略，故位移计算公式为：,在高层建筑中，柱的轴力很大，故轴向变形对位移的影响不容忽略。,对于深梁，即h/l 较大的梁，剪切变形的影响不容忽略。,2. 桁架,桁架各杆只有轴力，所以位移计算公式为：,4. 拱,拱轴截面轴向变形的影响通常不能忽略：,3. 组合结构,用于弯曲杆,用于二力杆,例9-1 求简支梁中点竖向位移 ，并讨论剪切变,形对位移的影响。,解：,若杆截面为矩形，则k=1.2；又=1/3，则E/G=2(1+ )=8/3，I/A=h2/12。,若h/l=1/10，则,h/l=1/2， 则,可见，剪切变形的影响不能忽略。,9-5 图乘法,图乘法是一种求积分的简化计算方法，它把求积分的运算转化为求几何图形的面积与竖标的乘积的运算。,一、图乘法基本公式,说明： (1）条件：AB杆为棱柱形直杆，即EI等于常数；Mi与Mk图形中有一个是直线图形。 (2）y0与的取值： y0一定取自直线图形， 则取自另一个图形，且取的图形的形心位置是已知的，不必另行求解。 (3）若y0与在杆轴或基线的同一侧，则乘积y0取正号；若y0与不在杆轴或基线的同一侧，则乘积y0取负号。,二、 常见图形的几何性质,三 、 图乘法举例,运用图乘法进行计算时,关键是对弯矩图进行分段和分块,尤其是正确的进行分块。,分段 图均应分为对应的若干段，然后进行计算。,分块只对 或 中的一个图形进行 分块，另一个图形不分块。,例9-2 求 。,解：,作 图 图，如上图所示。,分段： ， 分为AC、CB两段。 分块： 图的CB段分为两块。,MP,此题还可以这样处理：先认为整个AB杆的刚度是 ，再加上刚度为 的AC段，再减去刚度为 的AC段即可。,例9-3 求 , EI等于常数。,解：,作 图 图，如右图所示。,分段： ， 分为AC、CB两段。 分块： 图的AC段分为两块。,如果将AC段的 图如下图那样分块，就比较麻烦。,图,例9-4 求 , EI等于常数。,作 图 图，如下页图所示。,解：,1/2,1,y1,2,y3,8,12,4,4,MP图,1,3,y2,图,1,A,C,B,B,A,C,（kN.m),例9-5 求 , EI等于常数。,解：,作 图及 图， 如右所示。,分段： ， 分 为AB、BC两段。 分块： 图的 BC段分为两块。,例9-6 求CH，EI等于常数。,解：,作MP图和 图见下页图。 分块：MP图的AB段分为两块。,静定结构在温度变化作用下各杆能自由变形，所以结构不产生内力。,1. 是温度改变值，而非某时刻的温度。,9-6 温度作用时的位移计算,2. 温度沿杆件截面厚度方向成线性变化。,截面上、下边缘温差：,对于矩形截面杆件， ， 。,杆轴线处温度改变值 ：,3. 微段ds的应变,拉应变,弯曲应变,剪应变,4. 位移计算公式,小结：,(2）,例9-7 求图示刚架C截面水平位移 。已知杆件线,膨胀系数为 ，杆件矩形横截面高为h。,解：,9-7 支座移动时的位移计算,2）若 与 方向相同，则乘积 为正，,反之为负。,若静定结构只有支座移动而无其他因素作用，则结构只产生刚体位移而无变形，故对于杆件的任意微段，应变 均为零。所以支座移动时的位移计算公式为：,例9-8 已知刚架支座B向右移动a,求 。,解：,1）求,2）求,3）求,9-8 线性变形体的互等定理,互等定理适用于线性变形体系，即体系产生的是小变形，且杆件材料服从虎克定律。,一、 功的互等定理,功的互等本质上是虚功互等。,下图给出状态I和状态II。,令状态I的平衡力系在状态II的位移上做虚功，得到：,同样，令状态II的平衡力系在状态I的位移上做虚功，得到：,所以,即,定理 在任一线性变形体系中，第一状态的外力在第二状态的位移上所做的虚功W12等于第二状态的外力在第一状态的位移上所做的虚功W21。,二、 位移互等定理,定理 在任一线性变形体系中，由荷载P1引起的与荷载P2相应的位移影响系数 等于由荷载P2引起的与荷载P1相应的位移影响系数 。 即,即,由功的互等定理可得：,在线性变形体系中，位移ij与力Pj的比值是一个常数，记作 ，即：,或,于是,所以,例9-9 验证位移互等定理。,所以,例9-10 验证位移互等定理。,解：,所以,三、反力互等定理,反力互等定理只适用于超静定结构，因为静定结构在支座移动时只产生刚体位移，其内力和支座反力均等于零。,根据功的互等定理有：,在线性变形体系中，反力Rij与Cj的比值为一常数，记作rij，即,或,所以,得,例9-11 验证反力互等定理。,可见：r12=r2