刚体力学基础动量矩.ppt

,第5章 刚体力学基础 动量矩,5.1 刚体和刚体的基本运动 5.2 力矩 刚体绕定轴转动微分方程 5.3 绕定轴转动刚体的动能 动能定理 5.4 动量矩和动量矩守恒定律,猫下落过程中的翻身问题,一、理解描写刚体定轴转动角速度和角加速度的物理意义，并掌握角量与线量的关系,二、理解力矩和转动惯量概念，掌握刚体绕定轴转动的转动定理,三、理解角动量概念，掌握角动量定律，并能处理一般质点在平面内运动以及刚体绕定轴转动情况下的角动量守恒问题.,5-0 教学基本要求,能运用以上规律分析和解决包括质点和刚体的简单系统的力学问题,四、理解刚体定轴转动的转动动能概念，能在有刚体绕定轴转动的问题中正确地应用机械能守恒定律,5.1 刚体和自由度的概念 及其基本运动,一、刚体,（质点间距离始终保持不变）,在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体 .,二、 刚体的基本运动 (平动 转动）,1. 平动,结论：刚体内所有质点的速度相同，加速度相同。,刚体运动时，刚体内任意一条直线都始终保持和自身平行 。,2. 转动,刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动，该直线为转轴.,分定轴转动和非定轴转动 .,3、 刚体定轴转动的角速度和角加速度,(2)角位移,(1) 角坐标,约定:与转动方向满足右手螺旋,0；反之0,(3)角速度,刚体定轴转动的运动方程,意义:描述绕定轴转动刚体的转动快慢和转动方向。,规定:沿角正方向转,0；反之0,(4)角加速度,0,表示角加速度的方向与角坐标的正方向一致；0，表示两者方向相反。,4、 刚体绕定轴的匀速和匀变速转动,刚体定轴转动与质点直线运动公式对比,5. 绕定轴转动刚体内各点的速度和加速度,(1)速度大小,(2)加速度,刚体运动随处可见,观览轮盘是一种具有水平转轴、能在铅垂平面内回转的装置。轮盘和吊箱的运动各有什么样的特点?如何描述?,飞轮 30 s 内转过的角度,例1 一飞轮半径为 0.2m、 转速为150rmin-1， 因受制动而均匀减速，经 30 s 停止转动 . 试求： （1）角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数； （2）制动开始后 t = 6 s 时飞轮的角速度； （3）t = 6 s 时飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度 .,解,（1）,t = 30 s 时，=0,设t = 0 s时，0=0，飞轮做匀减速运动,（2） t = 6 s时，飞轮的角速度,（3） t = 6 s时，飞轮边缘上一点的线速度大小,该点的切向加速度和法向加速度,转过的圈数,5.2 力矩 刚体绕定轴转动微分方程,一、力矩,刚体绕 O z 轴旋转 , 力 作用在刚体上点 P , 且在转动平面内, 为由点O 到力的作用点 P 的径矢 .,对转轴 Z 的力矩,改变质点的运动状态,质点获得加速度,改变刚体的转动状态,刚体获得角加速度,力,力矩,: 力臂,对转轴 Z 的力矩,(2)力不在垂直于轴的平面内,(1)力F 在垂直于轴的平面内,1. 力 对z 轴的力矩,第一项的方向与Z轴垂直，故在Z轴的分量为零。,2）合力矩等于各分力矩的矢量和,3） 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消,根据牛顿第二定律，第 i 个质元,圆周轨迹切线投影,同乘以 ri,对所有质元求和,mi,h,ri,-fi,fi,二、定轴转动定律,刚体的转动定律,讨论,(2) 转动惯量 转动惯性,(1) 与牛顿定律 比较,转动惯量 J,外力矩 M,内力矩为0,外力,内力,ai=ri,m 反映质点的平动惯性，J 则反映刚体的转动惯性。,三、 转动惯量的计算,质量连续分布物体,物理意义：转动惯性的量度 .,确定转动惯量的三个要素:,J 的单位（SI）：kgm2,(1) 总质量； (2) 质量分布； (3) 转轴的位置,质量连续分布物体,例 均质细棒L、M ，绕端点轴z和质心轴z 的转动惯量。,z,o,x,dx,x,解,质元质量,质元转动惯量,z,L/2-x,（1）J 与转轴的位置有关,例 等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量,（2）J 与刚体的总质量有关,例 圆环绕中心轴旋转的转动惯量,（3） J 与质量分布有关,例 求圆盘绕中心轴旋转的转动惯量的计算,R,o,m,r,dr,解,dm 转动惯量,平行轴定理,d,C,m,z,例 均匀细棒的转动惯量,m,L,:刚体绕任意轴的转动惯量,:刚体绕通过质心轴的转动惯量,:两轴间垂直距离,L/ 2,用平行轴定理、迭加法计算转动惯量,J = J大 J小,J = J大 + J小,大圆盘上挖去小圆盘,大圆盘上叠加上小圆盘,右图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？(棒长为L、圆半径为R）,(1) 滑轮的角加速度；,(2) 如以重量P = 98 N 的物体挂在绳端，计算滑轮的角加速度,解 (1),(2),四、 转动定律的应用举例,例1.,求,滑轮半径 r =20 cm ，转动惯量 J = 0.5 kg m2。在绳端施以 F = 98 N 的拉力，不计摩擦力,例2. 一定滑轮的质量为 m ，半径为 r ，不能伸长的轻绳两边分别系 m1 和 m2 的物体挂于滑轮上，绳与滑轮间无相对滑动. （设轮轴光滑无摩擦，滑轮的初角速度为零）,求：滑轮转动角速度随时间变化的规律.,解：以m1 ， m2 ， m 为研究对象, 受力分析如图所示,物体 m1：,物体 m2：,滑轮 m：,均匀细直棒m 、l ，可绕轴 O 在竖直平面内转动，初始时它在水平位置,求 它由此下摆 角时的 ,O,l,m,x,解,质元dm,gdm,转动定律,例3.,dm 重力矩,dx,x,重力对棒的合力矩等于重力全部集中于质心所产生的力矩,r,dr,圆盘以 0 在桌面上转动,受摩擦力而静止,例4.,求 到圆盘静止所需时间。,解,细圆环,圆盘摩擦力矩,dm 摩擦力,df 的力矩,转动定律,力矩的累积效果,力矩的时间累积作用,角冲量 的效果,力矩的空间累积作用,功 的效果,角动量守恒定律,机械能守恒定律,5.3 绕定轴转动刚体的动能 动能定理,一、 定轴转动刚体的动能,o,第 i 个质元的动能,刚体转动动能,转动惯量,说明,刚体平动动能,二、 力矩的功,对一有限过程,o,d,若 M = C,(2) 力矩的功就是力的功.,(3) 内力矩作功之和为零.,(1) 合力矩的功,讨论,三、定轴转动动能定理,对于一有限过程,讨论,外力做功等于定轴转动刚体的动能增量,(3) 刚体动能的增量，等于外力的功。,(2) 刚体的内力做功之和为零；,(1) 质点系动能变化取决于所有外力做功及内力做功；,刚体重力势能,定轴转动刚体的机械能,质心的势能,对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立,四、 刚体的机械能,刚体的势能等于质量集中在质心时所具有的重力势能,解,例1.,滑轮 r 、 M，在绳的一端挂一重物 m ，开始时静止，不计摩擦力。,m 的重力势能转化为滑轮和m 的动能,求 重物下落高度 h 时重物的速度v 。,根据机械能守恒定律,均匀细直棒m 、l ，可绕轴 O 在竖直平面内转动，初始时它在水平位置,求 它由此下摆 角时的 。,O,l,m,解一 机械能守恒( 以初始位置为0势能点),例2.,c,h,=,解二 定轴转动动能定理 m 动能的增量等于重力做的功,重力矩,一、动量矩,5.4 动量矩和动量矩守恒定律,1. 质点的角动量( 对O点 ),大小,质点的角动量与质点的动量及位矢有关.,特例 质点作圆周运动:,右手螺旋定则.,kgm2/s,方向,单位,动量矩与质点动量 对比， Jz m， v,2. 刚体定轴转动的动量矩,o,刚体对z 轴的动量矩,第 i 个质元对z 轴的动量矩,z,说明,(角动量定理的积分形式),(角动量定理的微分形式),二、 质点的动量矩定理和动量矩守恒定律,质点所受合力矩的冲量矩等于质点的角动量的增量,已知,积分,冲量矩,1. 质点的动量矩定理,2. 质点动量矩守恒定律,质点角动量守恒,(1) 守恒条件,(2) 向心力的角动量守恒。,讨论,(3)自然界普遍适用的一条基本规律.,冲量矩是质点角动量变化的原因.,质点角动量的变化是力矩对时间的积累结果.,说明,例1. 一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平面内.一质量为 m 的小球穿在圆环上, 并可在圆环上滑动. 小球开始时静止于圆环上的点 A (该点在通过环心 O 的水平面上),然后从 A 点开始下滑.设小球与圆环间的摩擦略去不计.求小球滑到点 B 时对环心 O 的角动量和角速度.,解: 小球受重力和支持力作用, 支持力的力矩为零,重力矩垂直纸面向里,由质点的角动量定理,考虑到,由题设条件积分上式,解,引力场（有心力）系统的机械能守恒质点的角动量守恒,例2. 发射一宇宙飞船去考察一 质量为 M ,半径为 R 的行星.当飞船静止于空间距行星中心 4 R 时，以速度v 0发射一质量为 m 的仪器。要使该仪器恰好掠过行星表面。求 角及着陆滑行时的速度多大？,二、 刚体定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律,1. 刚体定轴转动的动量矩定理,质点的角动量定理,质点系中任一质点所受力矩,质点系中所有质点,而,对定轴转动的刚体，Jz 为常量。,动量矩定理微分形式,将微分形式积分,得动量矩定理积分形式:,J 不变时,J 改变时,2. 刚体定轴转动的动量矩守恒定律,对定轴转动刚体,若,角动量L不变的含义:,刚体：J 不变 ，则 不变.,非刚体：因 J 可变，则 J 乘积不变.,变形体绕某轴转动时，若,则变形体对该轴的动量矩,(a) ，M，L，J 必须相对于同一转轴。,(b) ，M，L， J 相对于同一惯性系。转动系统因为不是惯性系，因此不能作为参考系。,说明,动量矩守恒举例,花样滑冰、跳水、芭蕾舞等,质量分别为M1、M2,半径分别为R1 、R2的两均匀圆柱,可分别绕它们本身的轴转动,二轴平行.原来它们沿同一转向分别以10 ，20 的角速度匀速转动,然后平移二轴使它们的边缘相接触,如图所示.,例3,求: 最后在接触处无相对滑动时,每个圆柱的角速度1、2 .,二圆柱系统角动量守恒：,有以下的解法:在接触处无相对滑动时,二圆柱边缘的线速度一样,故有：,由以上二式就可解出1，2 .,其中,这种解法对吗?,原解认为系统的总角动量为二圆柱各自对自己的轴的角动量之和是错误的, 因为系统的总角动量只能对某一个轴进行计算. 另当两柱体边缘没有相对滑动时1，2方向相反，所以应为,应对两圆柱分别使用角动量定理, 由于两柱接触时摩擦力大小相等、方向相反,力矩和冲量矩的大小正比于半径,方向相同:,解(1)(2)式, 得:,例4. 一均质棒，长度为 L，质量为M，现 有一子弹在距轴为 y 处水平射入细 棒 。,求 子弹细棒共同的角速度 。,解,其中,m,子弹、细棒系统的动量矩守恒,一长为 l 的匀质细杆，开始时杆静止于水平位置。一质量与杆相同的昆虫以速度 v0 垂直落到距中点 l /4 处的杆上，昆虫落下后立即向杆的端点爬行，如图所示。若要使杆以匀角速度转动，,O,r,昆虫落到杆上为完全非弹性碰撞，对于昆虫和杆构成的系统，昆虫重力忽略，系统动量矩守恒,例5.,解,求 昆虫沿杆爬行的速度。,v0,昆虫的爬行，会改变系统的转动惯量和受到的外力矩,定轴转动刚体的动量矩定理, 恒定,定轴转动刚体的动量矩定理,O,r,昆虫的爬行，会改变系统的转动惯量和外力矩,例6. 一匀质细棒长为l，质量为m，可绕通过其端点O的水平轴转动，如图所示。当棒从水平位置自由释放后，它在竖直位置上与放在地面上的物体相撞。该物体的质量为m，它与地面的摩擦因数为。相撞后物体沿地面滑行一距离s而停止。求:相撞后棒的质心C离地面的最大高度h，并说明棒在碰撞后将向左摆或向右摆的条件。,分析：这个问题可分为三个过程。 第一：棒自由摆落的过程。 第二：碰撞过程。 第三：碰撞后的过程。,解：（1）棒自由摆落的过程。,只有重力作功，所以机械能守恒。设棒在竖直位置的质心位置为势能零点。设棒运动到铅直位置时的角速度为,(2) 碰撞过程。因碰撞时间极短，自由的冲力极大，物体虽然受到地面的摩擦力，但可以忽略。这样，棒与物体相撞时，它们组成的系统所受的对转轴O的外力矩为零，所以，系统对O轴的角动量守恒。用v表示物体碰撞后的速度， 为棒在碰撞后的角速度，则,(3) 碰撞后的滑行过程。由牛顿第二定律得,由匀减速直线运动的公式,由式(1)、(2)与(4)联合求解，得,当取负值，则棒向右摆，其条件为,棒的质心C上升的最大高度为h，由机械能守恒定律得：,把式（5）代入上式，所求结果为,当取正值，则棒向左摆，其条件为,例7.一轻绳绕过一定滑轮，滑轮轴光滑，滑轮的质量为M/4，均匀分布在其边缘上，绳子的A端有一质量为M的人抓住了绳端，而在绳的另一端B系了一质量为M/4的重物，如图。已知滑轮对O轴的转动惯量J=MR2/4，设人从静止开始以相对绳匀速向上爬时，绳与滑轮间无相对滑动，求：B端重